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专题1.12 三角形的证明全章专项复习【3大考点14种题型】
【北师大版】
【考点1 等腰三角形】 1
【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】 2
【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】 4
【题型3 等边三角形的性质与判定】 5
【题型4 解决“一线”的最短路径问题】 7
【题型5 解决“两线”的最短路径问题】 8
【考点2 直角三角形】 9
【题型6 直角三角形全等的判定】 9
【题型7 直角三角形的性质的应用】 10
【题型8 勾股定理及其逆定理】 12
【题型9 命题与定理】 13
【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】 14
【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 14
【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 15
【题型12 角平分线性质的应用】 17
【题型13 角平分线判定的应用】 18
【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】 19
【考点1 等腰三角形】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
4．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】
【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题.
【例1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【变式1-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值．
【变式1-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
【变式1-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】
【例2】（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
【变式2-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在的边上，，．
(1)求证：．
(2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形．
【变式2-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
【变式2-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在中，D为边上一点，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，点E在延长线上，连接，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求证：．
【题型3 等边三角形的性质与判定】
【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图1，是等边三角形，点D，E，F分别为边的中点．
(1)求证：为等边三角形；
(2)连接交于点G，如图2，求证：；
(3)如图3，已知的面积为8，求的面积．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
【变式3-3】（23-24八年级·北京·期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：直线是线段的垂直平分线；
(2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【题型4 解决“一线”的最短路径问题】
方法总结：（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
【例4】（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
【变式4-1】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【变式4-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ．
【题型5 解决“两线”的最短路径问题】
【例5】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）
【变式5-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点D，使与互为补角，连接．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当，时，试说明与的位置关系；
(3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，，P，Q分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值．
【考点2 直角三角形】
1.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
2.直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
3.直角三角形判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【题型6 直角三角形全等的判定】
【例6】（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【变式6-1】（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：．
【变式6-2】（24-25·重庆江北·开学考试）如图，中，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【变式6-3】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
【变式7-3】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【题型8 勾股定理及其逆定理】
【例8】（2024八年级·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？
(1)想一想怎样找出最短路径；
(2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？
【变式8-1】（24-25八年级·全国·期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
(1)如图①，如果点和顶点重合，求的长；
(2)如图②，如果点落在的中点处，求的长．
【变式8-2】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
【变式8-3】（23-24八年级·四川广元·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
(1)如图1，与交于点；
①找格点，使且；
②直接写出的度数．
(2)如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使．
【题型9 命题与定理】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期末）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？ ．
【变式9-1】（2024八年级·全国·专题练习）下面定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
【变式9-2】（24-25八年级·上海杨浦·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
【变式9-3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】
【方法总结】此类题目一般是借助线段垂直平分线的性质,将一条线段用另一条线段来替换.
【例10】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
【变式10-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
【变式10-2】（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
【变式10-3】（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】
【例11】（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离.
【变式11-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）如图，中，，平分交于点D，过点C作于点O，交于点E．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若，求的度数．
【变式11-2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接．
(1)求证：；
(2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明．
【变式11-3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，，垂足为，垂足为B，E为的中点，．
（1）求证：．
（2）有同学认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若，求的度数．
【题型12 角平分线性质的应用】
【方法总结】角平分线上有一点到一条边有垂线段时,通常可作这一点到另一边的垂线段,得到两条垂线段的长度相等.
【例12】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线．
(1)若，，，可得到结论：__________；
(2)若，，，可得到结论：__________；
(3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________．
【变式12-1】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．
【变式12-3】（23-24八年级·云南红河·期末）如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【题型13 角平分线判定的应用】
【方法总结】证明一条射线(或线段)是角平分线,有两种方法:①利用三角形全等证两角相等;②利用到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【例13】（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，和都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，交于O点，连接，求证：平分．
【变式13-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【变式13-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处 (阴影部分不能修建超市)
【变式13-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，，于点E，于点F，、相交于点D，则①；②；③点D在的平分线上，以上结论正确的是 ．（填序号）
【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】
【方法总结】当遇到角平分线问题时,除了常见的作垂线的方法,还有截长法.遇到角平分线时的常见作辅助线方法:
①作垂线:已知AP平分∠BAC,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,得PD=PE且,可△ADP≌△AEP;
②截长:已知AP平分∠BAC,在AC上截取AF=AE,连接PF,可证得△AFPP≌△AEP.
【例14】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在中，点D是边上一点，已知平分交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ．
【变式14-2】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
【变式14-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
1
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专题1.12 三角形的证明全章专项复习【3大考点14种题型】
【北师大版】
【考点1 等腰三角形】 2
【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】 3
【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】 9
【题型3 等边三角形的性质与判定】 15
【题型4 解决“一线”的最短路径问题】 23
【题型5 解决“两线”的最短路径问题】 27
【考点2 直角三角形】 33
【题型6 直角三角形全等的判定】 33
【题型7 直角三角形的性质的应用】 37
【题型8 勾股定理及其逆定理】 42
【题型9 命题与定理】 46
【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】 48
【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】 49
【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】 52
【题型12 角平分线性质的应用】 59
【题型13 角平分线判定的应用】 64
【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】 68
【考点1 等腰三角形】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
4．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】
【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题.
【例1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（）通过证明得出 ，再由即可推出结果；
（）过点作，垂足为，通过证明 得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含 角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：过点作，垂足为，
∴.
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【变式1-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值．
【答案】(1)；
(2)，3；
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
（1）证明，进而解答即可．
（2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
（2）解，
，
，，，
，
当时，x最小，最大，，
，，
，
，
时，有最大值，即．
【变式1-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
；
即是等腰三角形；
（2）解：∵，
，
又平分，
，
由（1）可知，，
，
，
，
在中，，
，
又∵，
．
【变式1-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形
【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形；
（2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，
本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下；
由题意得，当时，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为，
∴，
∴，
如图1所示，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2所示，当时，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形．
【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】
【例2】（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
【答案】(1)①详见解析；②
(2)详见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．
（1）①根据题意证明即可得到结论；
②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）根据题意补全图形，根据题意证明即可得到结论．
【详解】（1）解：①证明：是的高，，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图：
由①知：，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
故是等腰直角三角形，
；
（2）解：补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
【变式2-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在的边上，，．
(1)求证：．
(2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形．
【答案】(1)详见解析
(2)除与外所有的等腰三角形为：
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可；
（2）由题意求出，再求出其他角的度数，即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点A作于点F，
，
，
，
，
；
（2）证明：解：，
，
，
，
，
，
，
，
除与外所有的等腰三角形为：．
【变式2-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由平分交于，可得；由交于可得；两者结合由三角形内角和定理可得，即可得，从而得到是等腰三角形；
（2）连接，先证，得到，，从而可得，由此即可得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）证明：，
理由如下：如图：连接，
∵和中：
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵中，，
∴，
∴，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在中，D为边上一点，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，点E在延长线上，连接，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是熟练运用相关知识．
（1）根据，，可得、、都为等腰三角形，从而可得，，，继而得到，将和化为的倍数，根据三角形内角和即可解题；
（2）根据可得，，从而得到，为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可解题；
（3）根据等腰三角形的性质将、化为和即可解题．
【详解】（1）解：，，
、、都为等腰三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，，
，为等腰三角形，
；
（3）证明：，，，
，
．
【题型3 等边三角形的性质与判定】
【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理．
（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可；
（2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等边三角形，
，
，
，
（3）证明：，
，，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等边三角形．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图1，是等边三角形，点D，E，F分别为边的中点．
(1)求证：为等边三角形；
(2)连接交于点G，如图2，求证：；
(3)如图3，已知的面积为8，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键，
（1）由等边三角形的性质得出，则可得出，即可证明结论；
（2）由（1）知，得出，由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质即可证明结论；
（3）证得是等边三角形，得出，由三角形积公式得出即可解答．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵E，F分别为边的中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴；
（3）解：点D，E，F分别为边的中点，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
由（2）知：是这两个三角形的对应高，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
【答案】(1)
(2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)5
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论；
（3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
∵是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：
如图，过作 交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴， ，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
∴， ，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式3-3】（23-24八年级·北京·期末）如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：直线是线段的垂直平分线；
(2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)当为钝角时，；当为锐角时，
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论；
（2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，，，
点与点关于射线对称，，
，，
，
，
为等边三角形，，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
垂直平分；
（2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知，
，
如图，当为锐角时，
，，
．
【题型4 解决“一线”的最短路径问题】
方法总结：（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
【例4】（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
是等边三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
【变式4-1】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解．
【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点，
∴在上，
连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，
∵在锐角三角形中，，的面积为7，
∴，
∴ ，
即的最小值为，
故答案为：．
【变式4-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【答案】B
【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．
【详解】解：连接，
平分交于点，
，，
，
，
且，
当点在线段上时，的最小值是，
，
的最小值为7．
故选：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．
【变式4-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为10．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵点是的角平分线上一动点，则 ，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，
又∵是等边三角形，，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
【题型5 解决“两线”的最短路径问题】
【例5】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小．
连接，，，．
∵点P与点C关于对称，
∴垂直平分，
，，，
同理，可得，，．
，，
．
又的周长为：，
，
是等边三角形，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了最短路径问题，平移的性质，如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求．
【详解】解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求；
易证明的长即为最短路径长．
【变式5-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，
由轴对称的性质得，，，，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点D，使与互为补角，连接．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当，时，试说明与的位置关系；
(3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，，P，Q分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）根据题意确定，再利用三角形的内角和计算即可；
（2）由题干条件推出为等边三角形，然后进一步证明，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可；
（3）首先将沿对称至，对称至，可确定且，分别在、上，并连接，此时与和交点即为所求、，此时，的周长最小，即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明，即可求得结论．
【详解】（1）解：∵，恰好平分，
∴，
∵在和中，
∴，
∴；
（2）证：∵，恰好平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵与互为补角，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，，
∵，恰好平分，
∴垂直平分，
如图所示，将沿对称至，沿对称至，且，分别在、上，
连接，此时与和交点即为所求、，
∴此时，的周长最小，且、两点重合，
此时，周长的最小值即为的长度，
由（2）可得，
由对称的性质可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
此时，过点作，交于点，如图所示，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，，
由（2）知，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴周长的最小值为4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法，熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键．
【考点2 直角三角形】
1.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
2.直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
3.直角三角形判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【题型6 直角三角形全等的判定】
【例6】（24-25八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析;
(2)是等边三角形，理由见解析．
【分析】（）先证明，再推出是等腰三角形，由三线合一可证；
（）先证明，再根据，即可证明是等边三角形；
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
【变式6-1】（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式6-2】（24-25·重庆江北·开学考试）如图，中，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）由直角三角形的性质可得，，从而得出再由“”可证，可得，再证明即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式6-3】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
∴；
（2）证明：连接，
由（1）证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；
（）由点是中点得，又，从而求解；
此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出，进而求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，即可求出．
【详解】解：延长交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵'平分，
∴，
∴．
故答案为：12
【变式7-3】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得；
（2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得；
（3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得．
【详解】（1）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：在中，，
，
平分.，
，
在中，，
，
，
，
．
（3）解：在中，，
平分，
，
在中
，
，
.
【题型8 勾股定理及其逆定理】
【例8】（2024八年级·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？
(1)想一想怎样找出最短路径；
(2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径；
（）由勾股定理即可求解；
本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径；
（2）解：根据题意，得，，
∴
答：它爬行一周的路程是．
【变式8-1】（24-25八年级·全国·期末）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
(1)如图①，如果点和顶点重合，求的长；
(2)如图②，如果点落在的中点处，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（2）解：∵点落在的中点，
∴；
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
【变式8-2】（23-24八年级·湖南娄底·阶段练习）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：在中，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴的长为．
【变式8-3】（23-24八年级·四川广元·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
(1)如图1，与交于点；
①找格点，使且；
②直接写出的度数．
(2)如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使．
【答案】(1)①见解析；②
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识．
（1）①利用把向上平移1格即可；
②由图形可得是等腰直角三角形，再利用平行线即可求解；
（2）构造等腰直角三角形，再利用平移解决问题即可．
【详解】（1）解：①如图1中，直线即为所求；
②连接，
由图可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2中，即为所求．
【题型9 命题与定理】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期末）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？ ．
【答案】两点之间线段最短
【分析】本题考查了三角形的三边关系及线段的性质，熟记线段性质是解题的关键；
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】如图：
以第三边为例
由图可知，三角形的两边之和为：，
相当于从A点到C点经过的距离为：，
两点之间，线段最短，
从A点到C点最短的距离应为，
其余边同理可得：，，
定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由基本事实：两点之间线段最短加以解释．
故答案为：两点之间线段最短．
【变式9-1】（2024八年级·全国·专题练习）下面定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质和判定，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、逆命题为两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意；
B、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，符合题意；
C、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；
D、逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意．
故选：B．
【变式9-2】（24-25八年级·上海杨浦·阶段练习）将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题主要考查了将命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，命题的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【详解】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：它的两腰上的中线相等，
故逆命题写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【变式9-3】（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
【答案】2/两
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．
首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
综上所述：③和④是定理，共2个．
故答案为：2．
【考点3 线段的垂直平分线、角平分线】
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】
【方法总结】此类题目一般是借助线段垂直平分线的性质,将一条线段用另一条线段来替换.
【例10】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果．
【详解】解：，，
，
垂直平分，
，
的周长为，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【变式10-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出，然后利用线段和差关系求解即可．
【详解】解：∵垂直平分交于点E，，
∴，
又，
∴，
故选：A．
【变式10-2】（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算．
【详解】解：的周长，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案为：．
【变式10-3】（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，
，，
的周长，
故的周长为；
（2），
，
，，
，
，
，，
，，
，
故的度数为．
【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】
【例11】（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】(1)首先根据可知，再根据点为的中点，可证得，根据全等三角形的性质即可得证；
(2)结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可得证；
(3)首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，据此即可求得．
【详解】（1）证明：，
，
又点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
又，
是线段的垂直平分线，
，即；
（3）解：，
，
是线段的垂直平分线
，，
，
即，
设点E到边的距离为h，
则，
解得，即点E到边的距离为4．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，关键是证明三角形全等．
【变式11-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）如图，中，，平分交于点D，过点C作于点O，交于点E．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．
（1）根据角平分线的性质，得到，易证，即可得出结论；
（2）根据题意，求出，由（1）易证，再根据三角形外角的性质即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵于点O，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又 ，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
∴，
∴．
【变式11-2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接．
(1)求证：；
(2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）延长交于H，则、，进而证得，可得和，再结合运用全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图：延长交于H，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形全等的判定与性质是解本题的关键．
【变式11-3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，，垂足为，垂足为B，E为的中点，．
（1）求证：．
（2）有同学认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）详情见解析；（2）对，理由见解析；（3）50°
【分析】（1）首先根据题意证明∠ADB=∠BEC，然后利用“AAS”证明△ADB与△BEC全等，最后利用全等三角形性质进一步证明即可；
（2）根据E是AB的中点可知AE=BE，从而得出AE=AD，然后根据AB=BC得出∠BAC=∠BCA，据此结合题意进一步证明△ADC △AEC，由此得出DC=CE，从而得出C点在线段DE的垂直平分线上，最后进一步证明出A点在线段DE的垂直平分线上，由此即可得出结论；
（3）首先利用全等三角形性质得出DB=CE，结合题意进一步得出∠CBD=∠BCD，据此求出∠CBD的度数，然后进一步求解即可.
【详解】（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，
∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BEC，
在△ADB与△BEC中，
∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，
∴△ADB △BEC（AAS），
∴BE=AD；
（2）对的，是线段的垂直平分线，理由如下：
∵E是AB中点，
∴AE=BE,
∵BE=AD，
∴AE=AD，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ADC与△AEC中，
∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，
∴△ADC △AEC（SAS），
∴DC=CE，
∴C点在线段DE的垂直平分线上，
∵AD=AE，
∴A点在线段DE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分DE；
（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD=CE，
∵△ADB △BEC（AAS），
∴DB=CE，
∴CD=BD，
∴∠CBD=∠BCD，
∵∠ABD=25°，
∴∠CBD=90° 25°=65°，
∴∠BDC=180° 2∠CBD=50°.
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定及线段垂直平分线性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
【题型12 角平分线性质的应用】
【方法总结】角平分线上有一点到一条边有垂线段时,通常可作这一点到另一边的垂线段,得到两条垂线段的长度相等.
【例12】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，是的角平分线．
(1)若，，，可得到结论：__________；
(2)若，，，可得到结论：__________；
(3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，从而求得，再利用求解即可；
（2）由（1）可得，，即可求解；
（3）由，即可求解．
【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
（2）解：由（1）可得，，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）解：过点E分别作于点H，交的延长线于点G，则，过点C作于点N，
∴，
即，
故答案为：．
【变式12-1】（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图，
∵点P是的内角平分线的交点，
∴，
又的周长为，面积为，
∴，
∴
∴
∴点P到边的距离是3cm
故选：A．
【变式12-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积．利用角平分线的性质求得的边的高是解题的关键．
过点P作，垂足为M，，垂足为N，先由平行线的性质与角平分线证明，再利用角平分线的性质证明，求得，即可由三角形面积公式求解．
【详解】过点P作，垂足为M，，垂足为N，如图，
是的角平分线，
，
，，
，，
，
，，
，
点D到的距离为3，
，
，
点D到PF的距离为3，
∴，
故答案为：9．
【变式12-3】（23-24八年级·云南红河·期末）如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可；
（2）如图所示，过点D作交于点F，根据角平分线的性质定理得到，然后结合得到，然后代数求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴；
（2）如图所示，过点D作交于点F
∵平分，，
∴
∵
∴，即
∴．
【题型13 角平分线判定的应用】
【方法总结】证明一条射线(或线段)是角平分线,有两种方法:①利用三角形全等证两角相等;②利用到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【例13】（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，和都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，交于O点，连接，求证：平分．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理；
（1）由等边三角形的性质得，，，由可判定，由全等三角形的性质即可求证；
（2）作于，于，由全等三角形的性质得，由角平分线的判定定理即可求证；
掌握全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，
，
，
，
即，
在和中
，
（），
；
（2）证明：如图，作于，于，
，
，
平分．
【变式13-1】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
【变式13-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处 (阴影部分不能修建超市)
【答案】3
【分析】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．
【详解】解：如图所示，的内角平分线的交点，外角平分线的交点，
阴影部分不能修建超市，
不能修建超市，
故满足条件的修建点共有3处，即点；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是解答此题的关键．
【变式13-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，，于点E，于点F，、相交于点D，则①；②；③点D在的平分线上，以上结论正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】连接，根据垂直的定义，利用证明即可判断①；推出，由推出，再利用证明即可判断②；根据角平分线的判定即可判断③．
【详解】解：连接
于点E，于点F，
，
在和中
，故①正确；
在和中
，故②正确；
，
点D在的平分线上，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】
【方法总结】当遇到角平分线问题时,除了常见的作垂线的方法,还有截长法.遇到角平分线时的常见作辅助线方法:
①作垂线:已知AP平分∠BAC,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,得PD=PE且,可△ADP≌△AEP;
②截长:已知AP平分∠BAC,在AC上截取AF=AE,连接PF,可证得△AFPP≌△AEP.
【例14】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，在中，点D是边上一点，已知平分交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点E作于M，于N，于H，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：过点E作于M，于N，于H，如图：
，，
，
∴AE平分，
∴，
∵CE平分，
∴，
∴
∴DE平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分．
【变式14-1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ．
【答案】/64度
【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
∵的外角的平分线与内角平分线交于点，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式14-2】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【变式14-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，线段、分别平分、交于点G．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据平分、平分，得出，，求出，根据三角形内角和得出，即可求出结果；
（2）作平分交于点，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；
（3）作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，证明平分，根据，，得出，根据平分，，，得出，证明，证明，得出，证明，得出，作于点，于点，于点，根据，，得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∵
∴，
∵平分、平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：作平分交于点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于点，于点，于点，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
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