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专题1.4 直角三角形【十大题型】
【北师大版】
【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】 1
【题型2 判定三角形全等的依据】 2
【题型3 由HL证全等】 4
【题型4 由HL和全等三角形的性质求线段长度】 5
【题型5 由HL和全等三角形的性质求角度】 6
【题型6 由HL和全等三角形的性质进行证明】 7
【题型7 由HL解决坐标系中的全等问题】 9
【题型8 直角三角形的性质】 10
【题型9 直角三角形的判定】 11
【题型10 互逆命题】 12
知识点1：直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】
【例1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
【变式1-1】（23-24八年级·河南南阳·期中）南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·福建厦门·期中）两直角三角形如图放置，且，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是 ．
【变式1-3】（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）在和中，，下列条件中能判定的个数为（ ）
①，；
②，；
③，；
④，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 判定三角形全等的依据】
【例2】（23-24八年级·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【变式2-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，，，，，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，，，以下能作为与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24八年级·湖北恩施·期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，O画射线，由画法得的依据是 ．
【题型3 由HL证全等】
【例3】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1)求证：△ABH≌△DEG；
(2)求证：CE＝FB．
【变式3-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·吉林长春·期中）如图，在中，，分别以为斜边作和，使，，连接相交于点F，连接并延长交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：G为的中点．
【变式3-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成．
任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________．
任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成．
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善．
如图，在和中，，，．
求证：．
证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．
……
【题型4 由HL和全等三角形的性质求线段长度】
【例4】（23-24八年级·山东德州·期末）如图，在中，于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，则 ．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．
【变式4-3】（23-24八年级·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
【题型5 由HL和全等三角形的性质求角度】
【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，与相交于点G．求的度数．
【变式5-1】（23-24八年级·吉林·期中）如图，，，垂足分别为D，C，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式5-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 由HL和全等三角形的性质进行证明】
【例6】（23-24八年级·江西宜春·期末）已知：平分，点A，B分别在边，上，且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，作于点C．求证：．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南永州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．
【变式6-2】（23-24八年级·山东菏泽·期末）如图，中，，点A在直线上，，，垂足分别为点，，求证：．
【变式6-3】（23-24八年级·山东聊城·期末）在中，，点在边上，过点作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在边上，连接，使，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形．
【题型7 由HL解决坐标系中的全等问题】
【例7】（23-24八年级·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限，且，过点C作轴于点D，．求点C的坐标．
【变式7-1】（2024上·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·广东茂名·期末）如图，在直角坐标系中，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为点，，取的中点，连接，作点关于直线的对称点，直线与交于点，则直线的函数表达式为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·北京·期中）已知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，且C、D不重合，那么点D的坐标是 ．
知识点2：直角三角形性质
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
【题型8 直角三角形的性质】
【例8】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，，，．连接，则的长为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
知识点3：直角三角形判定
1.有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（23-24八年级·江西景德镇·期中）下列条件中，能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【变式9-2】（23-24八年级·贵州遵义·期中）如图，中，．
(1)试说明是的高；
(2)如果 ，求的长．
【变式9-3】（23-24八年级·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【题型10 互逆命题】
【例10】（23-24八年级·广东中山·期中）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
D．两直线平行，同位角相等
【变式10-1】（23-24八年级·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【变式10-2】（23-24八年级·全国·期末）把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ．
【变式10-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ．
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专题1.4 直角三角形【十大题型】
【北师大版】
【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】 1
【题型2 判定三角形全等的依据】 3
【题型3 由HL证全等】 6
【题型4 由HL和全等三角形的性质求线段长度】 10
【题型5 由HL和全等三角形的性质求角度】 15
【题型6 由HL和全等三角形的性质进行证明】 19
【题型7 由HL解决坐标系中的全等问题】 24
【题型8 直角三角形的性质】 28
【题型9 直角三角形的判定】 31
【题型10 互逆命题】 35
知识点1：直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】
【例1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
【答案】
【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
故答案为：．
【变式1-1】（23-24八年级·河南南阳·期中）南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可根据证明，B选项不符合题意；
若添加，可根据证明，C选项不符合题意；
若添加，可根据证明，D选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（23-24八年级·福建厦门·期中）两直角三角形如图放置，且，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形全等的判定解决此题．
【详解】解：添加：．
理由如下：
在和中，
∴≌（）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决本题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级·河南驻马店·阶段练习）在和中，，下列条件中能判定的个数为（ ）
①，；
②，；
③，；
④，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：①，，加上，可利用证明；
②，，可利用证明；
③，，加上，可利用证明；
④，，加上，可利用证明．
所有正确的个数是4个，
故选：D
【题型2 判定三角形全等的依据】
【例2】（23-24八年级·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】A
【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，，，，，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在和中
，
∴.
故选：C.
【变式2-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，，，以下能作为与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知，题中隐含，根据即可证得．
【详解】解：∵，
∴在和中，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·湖北恩施·期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，O画射线，由画法得的依据是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得，再利用即可证明．
【详解】解：由题意可得：，
在和中，
，
∴，
∴由画法得的依据是，
故答案为：．
【题型3 由HL证全等】
【例3】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1)求证：△ABH≌△DEG；
(2)求证：CE＝FB．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由可证明；
（2）证明．得出，则可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）在中，
∵，
由（1）可知，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·吉林长春·期中）如图，在中，，分别以为斜边作和，使，，连接相交于点F，连接并延长交于点G．
(1)求证：；
(2)求证：G为的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）利用即可证明；
（2）利用得到，，结合题意可证，进而证明，从而得到，利用全等三角形的性质可知，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中，
；
（2），
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
G为的中点．
【变式3-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成．
任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________．
任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成．
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善．
如图，在和中，，，．
求证：．
证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．
……
【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；（2）见解析
【分析】此题考查了全等三角形判定，等边对等角性质，命题的条件和结论，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据命题的条件和结论求解即可；
（2）由得到，然后证明出即可．
【详解】解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；
（2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．
∵
∴
∴．
【题型4 由HL和全等三角形的性质求线段长度】
【例4】（23-24八年级·山东德州·期末）如图，在中，于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，面积法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由勾股定理可求出的长，由证明，得到，，证明出是边上的高，再利用面积法可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∵，，，
∴．
故答案为：．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ．
【答案】3
【分析】如图，过作于，证明，，可得，再进一步解答可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
【变式4-3】（23-24八年级·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
（1）先证明，即有，结合，即可得；
（2）由（1），，进而可得，根据，可得，即可得，则可求．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴和是直角三角形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为1．
【题型5 由HL和全等三角形的性质求角度】
【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，与相交于点G．求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作于点M，过点D作于点N，利用等腰三角形的性质和含30度直角三角形的特征，证明，设，则，，进而得出，再由三角形外角的性质，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-1】（23-24八年级·吉林·期中）如图，，，垂足分别为D，C，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质．
（1）根据垂直的定义得到，根据得到，利用即可证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰直角三角形的性质得出，由三角形外角的性质得出答案．
解此题的关键是推出．
【详解】（1）证明：，，
，
，则，
，
，
∴．
（2）解：，，
，
，
．
的度数为．
【变式5-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到，，再根据可以判定，从而可以得到，然后即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。
【详解】解：分别过、两点作，于点、，
∵在和中，
∴
∴
∵，
∴
故选：．
【题型6 由HL和全等三角形的性质进行证明】
【例6】（23-24八年级·江西宜春·期末）已知：平分，点A，B分别在边，上，且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，作于点C．求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点．
（1）根据平分得，根据得，利用等角对等边即可得；
（2）作于点D，利用可证明，得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作于点D，
∵于点C，平分，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【变式6-1】（23-24八年级·湖南永州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考考查了利用“”证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．利用“”证明，即可作答．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴、是直角三角形，
在和中，，
∴，
∴．
【变式6-2】（23-24八年级·山东菏泽·期末）如图，中，，点A在直线上，，，垂足分别为点，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及一线三垂直模型证全等，全等三角形的判定与性质等知识，由，，得到，再由得到，由，结合三角形全等的判定定理得到，则，再由互余及平角定义即可得证，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明： ，
，
，，
，
在和中，
，
，
在中，，则，
，
．
【变式6-3】（23-24八年级·山东聊城·期末）在中，，点在边上，过点作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在边上，连接，使，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判断三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）首先根据和三角形内角和定理得到，然后利用得到，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）首先根据结合三角形内角和定理得到，然后利用，证明出，根据全等三角形的性质求解即可；
（3）连接，首先由得到，然后证明出，进而得到，，证明出是等边三角形，
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解∵，，，
∴．
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵点G是中点，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
【题型7 由HL解决坐标系中的全等问题】
【例7】（23-24八年级·江西宜春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限，且，过点C作轴于点D，．求点C的坐标．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形．
证明，得，继而求得，，再根据点C在第二象限内，即可得出点C坐标．
【详解】解：轴，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
点C在第二象限，
．
【变式7-1】（2024上·广东惠州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】利用证明，得到，则．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级·广东茂名·期末）如图，在直角坐标系中，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为点，，取的中点，连接，作点关于直线的对称点，直线与交于点，则直线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，，根据轴对称的性质可证明，设，则，根据勾股定理求出x，即得点Q的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵点，
∴，
∵点P为中点，
∴，，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
∴，
解得，
∴，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
∴直线的函数表达式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形与坐标、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及利用待定系数法求函数的解析式等知识，熟练掌握相关图形的性质、求出点Q的坐标是解题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·北京·期中）已知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，且C、D不重合，那么点D的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】根据题意画出图形，如图所示，根据三角形全等的性质和A、B、C三个点的坐标不难求出，，．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴轴，
∵当时，点C到的距离等于点到的距离，
∴点到的距离为，
∴点的横坐标为4，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为；
当时，点与C关于对称，
∴点的坐标为；
当时，，此时点与关于对称，
∴点的坐标为；
综上分析可知，符合条件的点D的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等判定和性质，解题的关键是结合三角形全等的性质写出点的坐标．
知识点2：直角三角形性质
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
【题型8 直角三角形的性质】
【例8】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．
【答案】21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式8-2】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，，，．连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查旋转的性质、勾股定理等知识，由旋转得，，根据勾股定理可以求出的长．
【详解】解：由旋转可知：，
，
由旋转得，
，，
，
的长为．
故答案为：．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
【答案】 或
【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
【详解】解：①如图1，
等腰三角形为锐角三角形，
∵，
∴，
即顶角的度数为．
②如图2，
等腰三角形为钝角三角形，
∵，
∴，
∴．
故答案为：或．
知识点3：直角三角形判定
1.有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（23-24八年级·江西景德镇·期中）下列条件中，能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A、∵，不是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵，故不能判定是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵，即，∴，∴能判定是直角三角形，故该选项符合题意；
D、∵，，故能判定不是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式9-1】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】234
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．连接，勾股定理求得的值，进而根据，求得，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴,
∵，，
∴,
∴是直角三角形，且．
∴四边形的面积
．
【变式9-2】（23-24八年级·贵州遵义·期中）如图，中，．
(1)试说明是的高；
(2)如果 ，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即；
（2）由面积法可求得的长．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，即，
∴是的高；
（2）∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间
【详解】（1）解：海港受台风影响，
理由：，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港C受台风影响；
（2）解：当 时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【题型10 互逆命题】
【例10】（23-24八年级·广东中山·期中）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．
【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；
B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；
D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，
故选D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．
【变式10-1】（23-24八年级·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
【变式10-2】（23-24八年级·全国·期末）把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ．
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
【分析】本题考查逆命题及命题的扩充改写．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充．
【详解】解：命题“等边对等角”的逆命题改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等；
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．
【变式10-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ．
【答案】在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数
【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可．
【详解】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数，
故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．
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