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专题1.6 角平分线的判定与性质【十大题型】
【北师大版】
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】 1
【题型2 由角平分线的性质求面积】 5
【题型3 由角平分线的性质比较大小】 9
【题型4 由角平分线的性质进行证明】 13
【题型5 证明是角平分线】 17
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】 21
【题型7 尺规作角平分线】 24
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】 27
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 33
【题型10 角平分线的实际应用】 40
知识点1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据的面积是，列式得，即可得到答案．
【详解】解：在中，于E，于F，为的平分线，
，
的面积是，
，即，
，
，
故答案为：．
【变式1-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，是的角平分线，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
作于点，于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得，代入数据计算即可．
【详解】解：过点作于点，于点，如图所示，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，平分，为高，的面积为6，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形．
延长，过点A作于点F，易得，则，进而推出，，则，通过证明，得出，结合三角形的面积公式，即可解答．
【详解】解：延长，过点A作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接，过点E作交的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分线的性质得，由得由全等三角形的性质得，同理可得，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过点E作交的延长线于点G，
为中点，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
同理可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案：．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
【例2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于E，于F，连接，
∵O为与的平分线的交点，，
∴，
∴的面积的面积的面积的面积
，
故选：B．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】作于，于，
∵平分，
∴，
∴，
设的面积为，则，
∵为的中点，
∴，
∵的面积比的面积大，
∴的面积比的面积大，
∴，
∴，
∴
故选：．
【变式2-2】（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
同理，，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为11，
故选：A
【变式2-3】（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角平分线的性质，得，通过同高，底边比就是面积比得，运用割补法得的面积，进行代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作，的面积分别记
∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
【例3】（23-24八年级·辽宁本溪·期末）如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．
根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：点O是三条角平分线的交点，
和和的高相等，
的面积记为，的面积记为，的面积记为，设高为h
，，
由的三边关系得：，
，
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，、分别是中、的平分线，，，，垂足分别为、、，则、、长度的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质，由平分，，，得出，同理可得即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
故选：．
【变式3-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图平分，于C，D在上，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，
∴，
∵D在上，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查的是角平分线的性质和垂线段最短的应用，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和垂线段最短是解题关键．
【变式3-3】（23-24八年级·广东惠州·开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】作，垂足为D，交延长线于点E，再根据角平分线的性质得出，证明，得出即可．
【详解】解：作，垂足为D，交延长线于点E，则，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是添加辅助线来证明三角形全等．
【题型4 由角平分线的性质进行证明】
【例4】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
如图所示，作于点，根据角平分线的性质可得，根据中点的性质可得，再根据全等三角形的判定可得，，由此可得，，由此即可求解．
【详解】证明：如图所示，作于点，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
【变式4-1】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，，垂足分别为E、F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．
根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式4-2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵，
∴
平分，，
【变式4-3】（23-24八年级·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．
(1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论．
(2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：．
【答案】(1)，（垂直平分），证明见解析
(2)详见解析
【分析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题关键．
（1）根据已知条件可证得，利用全等三角形的性质和已知条件可得，从而可得，，由此可得结论；
（2）过点分别作，，垂足分别为，，然后由角平分线的性质得，根据直角三角形全等的判定与性质可得结论．
【详解】（1）猜想：，（垂直平分），证明如下：
如图（1），，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，即．
知识点2：角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 证明是角平分线】
【例5】（2024八年级·全国·专题练习）如图，于于和交于D，且，求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论．
先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论．
【详解】证明：∵于于E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
【变式5-1】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是角平分线的判定定理“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”．过点分别向，作垂线，再根据，即可得出，由此可得出结论．
【详解】解：点在的平分线上．
理由：过点分别向，作垂线，
，，，，
，
点是在的平分线上．
【变式5-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知：如图，于点，于点，和交于点，，．求证：点在的平分线上．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据垂直可得，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应边相等可得，根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，，
∴点在的平分线上．
【变式5-3】（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明是解题的关键．
（1）欲证明，只要证明；
（2）由，推出，由，，又，，可得
（3）过B分别作，垂足分别为P，Q，根据可得，，可得，进而可证明结论．
【详解】（1），
，即，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
又，，
，
．
（3）过B分别作，垂足分别为P，Q，
∵，
∴，
∴，
∴B点在的平分线上，
即平分．
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】
【例6】（23-24八年级·甘肃定西·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线于点M，连接．若，则的大小为（ ）
A．48° B．52° C．56° D．64°
【答案】B
【分析】设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点P作，垂足为D，根据题意，得到，从而判定平分，得到，根据直尺的对边平行，得到，结合判断即可．
【详解】如图，设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，
过点P作，垂足为D，
所以，
所以平分，
所以，
因为直尺的对边平行，
所以，
所以．
故选B．
【点睛】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知点P到两边的距离相等，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查角平分线判定定理，由题意可知平分，即可得到解题．
【详解】解：∵点P到两边的距离相等，
∴平分，
∴，
故选D．
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【详解】解：∵点到三边的距离相等，
∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【变式6-3】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
【题型7 尺规作角平分线】
【例7】（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可．
【详解】解：①是尺规作图作角的平分线，故正确；
②作的是的垂直平分线，得到，故错误；
③作图可以得到平分，故正确；
④作图可以得到，故正确，
故选：C.
【变式7-1】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，在直角中，，
(1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为点；
（2）作，由角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求：
（2）解：作，如图所示：
由（1）可得，平分，
∵
的面积为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质及尺规作图．掌握角平分线的性质是解题关键．
【变式7-2】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
【答案】作图见解析
【分析】连接，作出线段的垂直平分线和的平分线，线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点P．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【变式7-3】（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】本题主要查了尺规作图法作角平分线的性质，掌握基本的尺规作图成为解答本题的关键．如图，用尺规作的角平分线，交于点，即为所求．
【详解】如图，点即为所求；
作的角平分线，
，
，
，
，
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)的面积为9．
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的面积为9．
【变式8-1】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点，
(1)求证：点在的平分线上；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握角平分线上的点到这个角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．
（）作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可；
（）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，，再利用三角形内角和定理便可求出的度数；
【详解】（1）证明：作于，于，于，
∵平分，，，
∴，
同理，，
∴，
又∵，，
∴点在的平分线上；
（2）解：∵为两外角的平分线，，
∴，，
由三角形内角和定理得：
．
【变式8-2】（23-24八年级·河南许昌·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，则的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)15
【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到，然后根据即可解答；
（2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图：过点分别作于，与，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分．
（3）解：，，，
，
即，解得，
，
．
【变式8-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作于点，求证：．
【尝试探究】在图①中，过点O作于点E，于点F，连接．因为的平分线与的平分线交于点O，所以______=______．所以是的平分线……
请同学们补充后面的解答过程．
【类比延伸】如图②，在四边形中，各角的平分线交于点O，试判断、、、间的数量关系，并加以证明．
【答案】[尝试探究]，，证明见解析；[类比延伸]，证明见解析．
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义的性质，正确理解题意是解题的关键．
[尝试探究]利用角平分线的性质得出，然后利用证明，得出，同理得出，，，最后利用线段的和差关系即可得证
[类比延伸]过O作于E，于F，于M，于N，然后仿照[尝试探究]证明即可．
【详解】解：[尝试探究]，，
如图， 过点O作于点E，于点F，连接．
∵的平分线与的平分线交于点O，
∴．
∴是的平分线，
在与中，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
[类比延伸]
解∶，
理由∶过O作于E，于F，于M，于N，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，，，
∴，，
∴．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：
①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，②正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴，①正确；
作于G，于H，如图所示：
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④．
其中一定正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
过P作于M，于N，于S，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∵；故②不正确；
∵，平分，
∴垂直平分，故③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故④不正确．
本题正确的有：①③，
故选：D．
【变式9-2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论．
【详解】
解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
，
又，，
，
，，，故②正确．
在和中，
，，，
，
，故③正确．
的角平分线、相交于点P，
点P到、的距离相等，点P到、的距离相等，
点P到、的距离相等，
点P在的平分线上，
平分，故④正确．
故选：D．
【变式9-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质．利用手拉手模型证明，可得①②正确，根据全等推导出是的平分线可得④正确；利用反证法证明③不成立即可．
【详解】解：设、相交于点，过点作，垂足为，作，垂足为，
，
，即，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，，
平分，
，
，
，故④正确；
假设③正确，则一定有，又，则会有，
，，
，则，假设不成立，③错误．
综上，①②④正确；
故选：C．
【题型10 角平分线的实际应用】
【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键．
作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作．
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查角平分线的性质，尺规作图，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键．
利用角平分线的作法，得出两三角形内角平分线的交点即为小亭中心的位置．
【详解】解：如图所示，点P为小亭中心的位置．
【变式10-2】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】图见解析．
【分析】由点到三面围墙的距离都相等，所以是的角平分线的交点，作出两个角的角平分线的交点即可．
【详解】解：分别作的角平分线，如图，
∴交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
【变式10-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
∴满足条件的点P有四个，如图所示：
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意此题答案不唯一，小心别漏解．
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专题1.6 角平分线的判定与性质【十大题型】
【北师大版】
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】 1
【题型2 由角平分线的性质求面积】 2
【题型3 由角平分线的性质比较大小】 3
【题型4 由角平分线的性质进行证明】 4
【题型5 证明是角平分线】 6
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】 7
【题型7 尺规作角平分线】 8
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】 9
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】 10
【题型10 角平分线的实际应用】 12
知识点1：角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 由角平分线的性质求线段长度】
【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
【变式1-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，是的角平分线，，则 ．
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，平分，为高，的面积为6，，则的长为 ．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图在中，D为中点，，，交于F，，， 则的长为 ．
【题型2 由角平分线的性质求面积】
【例2】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【变式2-3】（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）
A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【题型3 由角平分线的性质比较大小】
【例3】（23-24八年级·辽宁本溪·期末）如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏镇江·期末）如图，、分别是中、的平分线，，，，垂足分别为、、，则、、长度的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图平分，于C，D在上，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·广东惠州·开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【题型4 由角平分线的性质进行证明】
【例4】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
【变式4-1】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，，垂足分别为E、F．求证：．
【变式4-2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
【变式4-3】（23-24八年级·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．
(1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论．
(2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：．
知识点2：角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 证明是角平分线】
【例5】（2024八年级·全国·专题练习）如图，于于和交于D，且，求证：平分．
【变式5-1】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，求证：点P在的平分线上．
【变式5-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知：如图，于点，于点，和交于点，，．求证：点在的平分线上．
【变式5-3】（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：平分．
【题型6 由角平分线的判定求角的度数】
【例6】（23-24八年级·甘肃定西·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线于点M，连接．若，则的大小为（ ）
A．48° B．52° C．56° D．64°
【变式6-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知点P到两边的距离相等，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ．
【变式6-3】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【题型7 尺规作角平分线】
【例7】（2024·浙江湖州·模拟预测）在如图四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式7-1】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，在直角中，，
(1)请用尺规作图法在边上求作一点P，使得点P到边的距离相等，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的面积．
【变式7-2】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）尺规作图（保留做图痕迹）
如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且．
【变式7-3】（2024·陕西·模拟预测）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【题型8 角平分线的性质与判定综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，，且，求的面积．
【变式8-1】（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点，
(1)求证：点在的平分线上；
(2)若，求的大小．
【变式8-2】（23-24八年级·河南许昌·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，，且，则的面积．
【变式8-3】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作于点，求证：．
【尝试探究】在图①中，过点O作于点E，于点F，连接．因为的平分线与的平分线交于点O，所以______=______．所以是的平分线……
请同学们补充后面的解答过程．
【类比延伸】如图②，在四边形中，各角的平分线交于点O，试判断、、、间的数量关系，并加以证明．
【题型9 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：
①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式9-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④．
其中一定正确的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
【变式9-2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式9-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型10 角平分线的实际应用】
【例10】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
【变式10-2】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）校园的一角如图所示，其中线段，，表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点，使得点到三面围墙的距离都相等．请在图中找出点．（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）
【变式10-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，请画出符合要求的地址（保持作图痕迹，不要求写作法）
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