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专题1.5 垂直平分线的判定与性质【十大题型】
【北师大版】
【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】 1
【题型2 由垂直平分线的性质求周长】 2
【题型3 由垂直平分线的性质求角度】 3
【题型4 由垂直平分线的性质求最值】 4
【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 6
【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】 8
【题型7 证明是线段的垂直平分线】 9
【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 10
【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】 11
【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】 13
知识点1：垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】
【例1】（23-24八年级·重庆渝中·开学考试）如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ．
【变式1-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．
【变式1-3】（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm．
【题型2 由垂直平分线的性质求周长】
【例2】（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A．18 B．14 C．17 D．19
【变式2-1】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（ ）
A． B．10 C．12 D．
【变式2-2】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，在中，．的周长为6，则的周长是 ．
【变式2-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ．
【题型3 由垂直平分线的性质求角度】
【例3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ）
A．145° B．150° C．160° D．165°
【变式3-1】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 由垂直平分线的性质求最值】
【例4】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-1】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，的周长为30，，作边的垂直平分线分别交，于点．连接，若点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 ．
【变式4-2】（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，D为边的中点，点E、F分别是边、上的点．将沿直线翻折，使点A与点C重合．点P是直线上的任意一点，连接、．若，的面积为9．则周长的最小值为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山西临汾·期末） 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点．
求证：
分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是．
①求的长
②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由．
【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】
【例5】（2024八年级·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，，，点在的垂直平分线上.
（1）线段、、三者之间的长度有什么关系？
（2）线段与有怎样的关系呢？
【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·开学考试）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)请你判断与的大小关系，并说明理由．
【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：．
【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】
【例6】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【变式6-1】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：．
【变式6-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分；
(2)．
【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，平分，于点，交于点，交于点，求证：．
知识点2：垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
【题型7 证明是线段的垂直平分线】
【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于．
(1)求证：；
(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏·周测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若，求证：点P在的垂直平分线上．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏·周测）如图，是的平分线，D、E两点分别在边、上，且，点F在上，连接、、．
(1)与有何关系？为什么？
(2)求证：．
【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】
【例8】（2024·山东青岛·一模）已知，在上方求作一点P，使，且．
【变式8-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，已知 ，用尺规作图在线段上确定一点P，使得，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，．
(1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的面积．
【变式8-3】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接、，求证：．
【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】
【例9】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：．
【变式9-1】（23-24八年级·广东潮州·期中）已知：如图，，，点在上．求证：．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【变式9-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，，垂足为，垂足为B，E为的中点，．
（1）求证：．
（2）有同学认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若，求的度数．
【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】
【例10】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式10-1】（23-24八年级·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．
【变式10-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．
【变式10-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．
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专题1.5 垂直平分线的判定与性质【十大题型】
【北师大版】
【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】 1
【题型2 由垂直平分线的性质求周长】 5
【题型3 由垂直平分线的性质求角度】 7
【题型4 由垂直平分线的性质求最值】 11
【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 16
【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】 21
【题型7 证明是线段的垂直平分线】 25
【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】 30
【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】 33
【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】 38
知识点1：垂直平分线的性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】
【例1】（23-24八年级·重庆渝中·开学考试）如图，在中，于点，且，，于点，若，，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是通过辅助线构造全等三角形．
由线段垂直平分线的性质得到，由补角的性质推出，由证明，得到，，又，推出，得到，求出，即可得到．
【详解】解：过作交延长线于，连接，
于点，且，
，
，，
，
于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
【变式1-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解．
【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，
，
∴与的周长之差为4，即，
∵，
∴，
解得，
故答案为：3．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点D，E，已知与的周长分别为和，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长是，
，即，
的周长是，
，
，
．
故答案为：4
【变式1-3】（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm．
【答案】8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答．
【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8．
【题型2 由垂直平分线的性质求周长】
【例2】（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A．18 B．14 C．17 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出的周长．先根据线段垂直平分线的性质求出，然后根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
故选：D．
【变式2-1】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，则的周长是（ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由是的垂直平分线，是的垂直平分线，得出，即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∵
∴的周长，
故选：C．
【变式2-2】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，在中，．的周长为6，则的周长是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据垂直平分线的性质得出．由题意可知垂直平分，再根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合的周长，的周长 ，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵的周长为6，
∴，
∴的周长
．
故答案为：8．
【变式2-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是 ．
【答案】34
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长，据此可得答案．
【详解】解：∵分别是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长为34，
故答案为：34．
【题型3 由垂直平分线的性质求角度】
【例3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，，点O是，的垂直平分线，的交点，则的度数为（ ）
A．145° B．150° C．160° D．165°
【答案】C
【分析】本题考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、以及三角形内角和定理，根据垂直平分线性质和等腰三角形性质，得到，，再利用三角形内角和定理进行求解，即可解题．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵、的垂直平分线交于点O，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【变式3-1】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．
【详解】∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE
∴∠BEC=40°+40°=80°．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）在中，的垂直平分线分别交于点 D，E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由垂直平分线的性质得到，，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，
又∵，
∴，
∵垂直平分，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式3-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接并延长，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到．根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，求出．
【详解】解：连接并延长，
点是、的垂直平分线的交点，
，，
，，
是的一个外角，
，
同理，，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【题型4 由垂直平分线的性质求最值】
【例4】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可．
【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G，
由题意得，直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长．
∵，D为的中点，
∴，
∵，面积为10，
∴，
解得．
故选：B．
【变式4-1】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，的周长为30，，作边的垂直平分线分别交，于点．连接，若点是直线上的一个动点，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最短距离问题，根据是的垂直平分线，即可得出，当点M与点F重合时，，此时的周长最小，根据与的长即可得到周长的最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，
如图所示，当点M与点F重合时，，
此时的周长最小，
∵，的周长为30，
∴，
∴周长的最小值为，
故答案为：18．
【变式4-2】（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，D为边的中点，点E、F分别是边、上的点．将沿直线翻折，使点A与点C重合．点P是直线上的任意一点，连接、．若，的面积为9．则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，，先证明是线段的垂直平分线，再得出当交于点P时，的周长最小，利用三角形的面积得出的长，最后根据周长＝得出结论．
【详解】解：如图，连接，，
∵将沿直线翻折，使点A与点C重合，
∴，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴当交于点P时，的周长最小，
∵，D为边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴周长的最小值为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定和性质及三角形的面积公式等知识，解题的关键是理解题意，得出当交于点P时，的周长最小是解题的关键．
【变式4-3】（23-24八年级·山西临汾·期末） 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足为点C，，点P是直线上任意一点．
求证：
分析图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
(1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图2，在中，的垂直平分线交与点N，交于点M，连接，若，的周长是．
①求的长
②点P是直线上一动点，在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时的周长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②图见解析，的周长最小值是
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）证明即可证明；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式得到，再由，可得；②如图所示，连接，， 则当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值为．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：①∵垂直平分，
∴．
∵的周长是，
∴
∵，
∴；
②如图所示，连接，
∵的垂直平分线交与点N，交于点M，
∴，
∴的周长
∴当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值为．
【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】
【例5】（2024八年级·上海·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）
【答案】
【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】延长至，使，连接、，
在和中，
，
，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，，，点在的垂直平分线上.
（1）线段、、三者之间的长度有什么关系？
（2）线段与有怎样的关系呢？
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）因为AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB=AC=CE；
（2）AB+BD=DE，由（1）的结论得AB=AC=CE，因为AC+CD=AB+BD，所以DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=DE．
【详解】解：（1）∵，，
∴
又∵点在的垂直平分线上，
∴
∴、、之间的长度关系是
.
（2）∵
∴
.
∴与之间的关系是
【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·开学考试）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)请你判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）先利用判定，从而得出；
（2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出．
【详解】（1）证明：，
．
为的中点，
又，
在与中，
．
．
（2）证明：．
，
，．
又，
（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
在中，，
即．
【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ：
（1）由“”可证，可得；
（2）连接，证明；，得出是的垂直平分线，得出，故可得结论
【详解】（1）证明：∵于点D，
∴
∵
∴
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）证明：连接
∵E在垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】
【例6】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【详解】（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
【变式6-1】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：．
【答案】见解析
【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质即可证明结论成立.
【详解】证明：如图，连接，
∵于是的中点，即垂直平分，
∴（线段垂直平分线的性质），
∵为中点，，
∴（线段垂直平分线的性质），
∴．
【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的判定及性质，理解题意，作出辅助线是解题关键．
【变式6-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由所在直线垂直平分线段得到，从而得到，再利用平行线的性质可知，再用等量代换即可证明；
（2）由所在直线垂直平分线段得到，，从而得到，再根据即可得证．
【详解】（1）证明：∵所在直线垂直平分线段，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）∵所在直线垂直平分线段，
∴，
∴．
∵是的一个外角，
∴，
∴．
又∵，即，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，平分，于点，交于点，交于点，求证：．
【答案】见详解
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．先证明，得，再由线段垂直平分线的性质得，则，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
【详解】
证明： ，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
知识点2：垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
【题型7 证明是线段的垂直平分线】
【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)，详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质定理、垂直平分线的判定定理等知识点，
（1）根据可得，利用，进而证明；
（2）由则A在的垂直平分线上，再证明可得，故F在的垂直平分线上，则垂直平分；
正解理解题意是解决此问题的关键．
【详解】（1）与全等；
理由：∵，
∴即，
在与中，
，
∴；
（2）如图：连接，
由（1）∵，
∴A在的垂直平分线上，
∵，
∴，
在与，
，
∴，
∴，
∴F在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于．
(1)求证：；
(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得，，根据补角的性质，可得，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
（2）由，可得点B，F在AC的垂直平分线，即可得出结论
【详解】（1）在和中，
∵，
∴≌，
∴，
∴．
∵，
∴，
即
∴．
（2）．
理由：由（1）得，
∴点B在AC的垂直平分线上．
∵，
∴点F在AC的垂直平分线，
∴BF垂直平分AC，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，利用了全等三角形的判定与性质，补角的性质．
【变式7-2】（23-24八年级·江苏·周测）如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若，求证：点P在的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）连接、，通过证明，得到，即可求证．
【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
（2）证明：连接、，如下图：
由（1）可得：
又∵，
∴
∴
∴点P在的垂直平分线上
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
【变式7-3】（23-24八年级·江苏·周测）如图，是的平分线，D、E两点分别在边、上，且，点F在上，连接、、．
(1)与有何关系？为什么？
(2)求证：．
【答案】(1)垂直平分线，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可知，进而利用可证明，可得，即可证明垂直平分线；
（2）由（1），即可证得结论．
【详解】（1）垂直平分线，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分线；
（2）证明：由（1）可知，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】
【例8】（2024·山东青岛·一模）已知，在上方求作一点P，使，且．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图，线段垂直分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．先作出的垂直平分线，再过点作的等角，交的垂直平分线于点，此时，且，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
【变式8-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，已知 ，用尺规作图在线段上确定一点P，使得，则下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了垂直平分线的判定和作图，由题意可得，，，则，即点P在线段的垂直平分线上，据此判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上，
故选：D．
【变式8-2】（2024·福建·一模）如图，中，，点O为边中点，且，．
(1)请用尺规作图在上作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）在的延长线上截取，作的垂直平分线交于点D即可；
（2）如图，连接，，利用可计算出，则，再利用三角形面积公式可计算出，然后利用点O为边中点得到即可．
【详解】（1）解：如图所示：点D为在上一点，使得
（2）解：如图，连接，
∵
∴
即，则
∴
∴
∵点O为边中点
∴
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的面积．
【变式8-3】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接、，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质；
（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，连接，与交于点O，
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴
∴在和中，
∴ ，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴．
【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】
【例9】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB的垂直平分线EF，即可得出AE=BE,即可证明．
【详解】证明：连接AE，
∵，，
∴，
∴．
∵点D为线段CE的中点，
∴，
∴AD垂直平分线段CE，
∴，
∵EF垂直平分AB，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·广东潮州·期中）已知：如图，，，点在上．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴点A是线段垂直平分线上的点．
∵，
∴点D是线段垂直平分线上的点，
∴是线段垂直平分线，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和判定，灵活的应用定理是解题的关键．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解： 垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
【变式9-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，，垂足为，垂足为B，E为的中点，．
（1）求证：．
（2）有同学认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）详情见解析；（2）对，理由见解析；（3）50°
【分析】（1）首先根据题意证明∠ADB=∠BEC，然后利用“AAS”证明△ADB与△BEC全等，最后利用全等三角形性质进一步证明即可；
（2）根据E是AB的中点可知AE=BE，从而得出AE=AD，然后根据AB=BC得出∠BAC=∠BCA，据此结合题意进一步证明△ADC △AEC，由此得出DC=CE，从而得出C点在线段DE的垂直平分线上，最后进一步证明出A点在线段DE的垂直平分线上，由此即可得出结论；
（3）首先利用全等三角形性质得出DB=CE，结合题意进一步得出∠CBD=∠BCD，据此求出∠CBD的度数，然后进一步求解即可.
【详解】（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，
∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BEC，
在△ADB与△BEC中，
∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，
∴△ADB △BEC（AAS），
∴BE=AD；
（2）对的，是线段的垂直平分线，理由如下：
∵E是AB中点，
∴AE=BE,
∵BE=AD，
∴AE=AD，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ADC与△AEC中，
∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，
∴△ADC △AEC（SAS），
∴DC=CE，
∴C点在线段DE的垂直平分线上，
∵AD=AE，
∴A点在线段DE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分DE；
（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD=CE，
∵△ADB △BEC（AAS），
∴DB=CE，
∴CD=BD，
∴∠CBD=∠BCD，
∵∠ABD=25°，
∴∠CBD=90° 25°=65°，
∴∠BDC=180° 2∠CBD=50°.
【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定及线段垂直平分线性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】
【例10】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】连接，作线段的垂直平分线l交于点C，点C即为所求．
【详解】解：如图，点C即为所求．
【点睛】本题考查作图，复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题．
【变式10-1】（23-24八年级·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．
【答案】连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置；图见解析
【分析】连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置；
【详解】解：连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置，如图所示：
【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．
【答案】见解析
【分析】连接AB，BC，作它们的中垂线，交于点P，即可．
【详解】如图所示：
点P即为生活超市位置．
【点睛】本题主要考查根据题意确定点的位置，掌握尺规作垂直平分线的方法，是解题的关键．
【变式10-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．
【答案】见解析
【分析】以为圆心，适当长为半径画弧交直线于，分别以为圆心，长为半径画弧，交点为，连接，交直线于，连接，由线段垂直平分线的性质可得，则，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求；
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，尺规作垂线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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