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专题2.2 一元一次不等式【十大题型】
【北师大版】
【题型1 一元一次不等式的定义】 1
【题型2 一元一次不等式的解集】 2
【题型3 在数轴上表示不等式的解集】 2
【题型4 一元一次不等式的整数解】 3
【题型5 解含参数的一元一次不等式】 3
【题型6 解含绝对值的一元一次不等式】 4
【题型7 由一元一次方程解的取值范围求参数取值范围】 5
【题型8 由二元一次方程组解的关系求参数取值范围】 5
【题型9 一元一次不等式解的最值】 6
【题型10 一元一次不等式中的新定义问题】 6
知识点：一元一次不等式
1.一元一次不等式概念
含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的步骤
①去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；
②去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；
③移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；
④合并同类项：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；
⑤化系数为1：把不等式两边都除以同一个正数时，不等号的方向不变，而都除以同一个负数时，不等号的方向必须改变.
【题型1 一元一次不等式的定义】
【例1】（23-24八年级·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·福建福州·期末）请写出一个一元一次不等式______．
【变式1-2】（23-24八年级·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ．
【变式1-3】（23-24八年级·福建福州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________．
【题型2 一元一次不等式的解集】
【例2】（23-24八年级·江西上饶·期末）当x取何值时，代数式的值不小于与的和？
【变式2-1】（23-24八年级·四川遂宁·期中）如果关于x的不等式和的解集相同，则a的值为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）（1）解方程：；
（2）阅读下面解不等式的过程，完成任务：
解：……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
①第一步去分母的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；直接写出原不等式的正确解集是 ；
③请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议．
【变式2-3】（23-24八年级·宁夏中卫·期末）不等式的解集为，则
【题型3 在数轴上表示不等式的解集】
【例3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·期中）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·单元测试）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期末）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是 ( )
A. B. C. D.
【题型4 一元一次不等式的整数解】
【例4】（2024·浙江温州·八年级期末）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为
【题型5 解含参数的一元一次不等式】
【例5】（23-24八年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知关于的方程的根大于关于的方程的根，则应是（ ）
A．不为0的数 B．正数 C．负数 D．大于-1的数
【变式5-2】（23-24八年级·浙江·期末）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 ．
【变式5-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 ．
【题型6 解含绝对值的一元一次不等式】
【例6】（23-24八年级·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【变式6-1】（23-24八年级·广东梅州·开学考试）不等式的解集是 ．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ．
【变式6-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________________；
(2)解不等式：；
(3)解不等式：．
【题型7 由一元一次方程解的取值范围求参数取值范围】
【例7】（23-24八年级·贵州六盘水·期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·江苏扬州·八年级期末）若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为____．
【变式7-2】（23-24八年级·四川成都·期末）若关于x的方程的解是非正数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【题型8 由二元一次方程组解的关系求参数取值范围】
【例8】（23-24八年级·四川泸州·开学考试）若关于，的方程组的解满足，则的所有非负整数之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】．（23-24八年级·江苏盐城·开学考试）若方程组的解为且，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24八年级·广东广州·期末）已知关于的方程组，满足，则的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 一元一次不等式解的最值】
【例9】（23-24八年级·广东广州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ．
【变式9-1】（23-24八年级·甘肃定西·阶段练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知实数，满足，并且，，则的最大值是 ．
【变式9-3】（2016八年级·（2024·江苏扬州·八年级期末）若质数、满足：，，则的最大值为 ．
【题型10 一元一次不等式中的新定义问题】
【例10】（23-24八年级·贵州毕节·期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24八年级·河南洛阳·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”，其运算规则是：当时，；当时，．例如：，．有下列结论：①；②若，则x的取值范围是；③若，则x的取值范围是．其中结论正确的是 ．（填序号）
【变式10-2】（23-24八年级·重庆北碚·期中）定义一种法则“*”：，如：．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式．
(1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值；
(2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值；
(3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集．
1
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专题2.2 一元一次不等式【十大题型】
【北师大版】
【题型1 一元一次不等式的定义】 1
【题型2 一元一次不等式的解集】 3
【题型3 在数轴上表示不等式的解集】 5
【题型4 一元一次不等式的整数解】 8
【题型5 解含参数的一元一次不等式】 10
【题型6 解含绝对值的一元一次不等式】 12
【题型7 由一元一次方程解的取值范围求参数取值范围】 15
【题型8 由二元一次方程组解的关系求参数取值范围】 18
【题型9 一元一次不等式解的最值】 20
【题型10 一元一次不等式中的新定义问题】 22
知识点：一元一次不等式
1.一元一次不等式概念
含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的步骤
①去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母；
②去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中要注意符号的变化（注意分数线有括号的作用）；
③移项：将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边，将左边的常数项变号移到右边；
④合并同类项：把不等式整理成x＞a或x＜a的形式；
⑤化系数为1：把不等式两边都除以同一个正数时，不等号的方向不变，而都除以同一个负数时，不等号的方向必须改变.
【题型1 一元一次不等式的定义】
【例1】（23-24八年级·青海海东·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：、不等式不含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、不等式含有个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
、不等式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式1-1】（23-24八年级·福建福州·期末）请写出一个一元一次不等式______．
【答案】答案不唯一
【解析】解：一元一次不等式有：．
故答案为：答案不唯一．
根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式就可以．
本题考查不等式的定义；写出的不等式只需符合条件．
【变式1-2】（23-24八年级·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键．
【详解】解： 是关于的一元一次不等式，
，且，解得，
题中的不等式为，解得，
故答案为：．
【变式1-3】（23-24八年级·福建福州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
利用一元一次不等式的定义得出且，由此解答即可．
【解答】
解：是关于的一元一次不等式，
，
解得：，
，又，即，
．
【题型2 一元一次不等式的解集】
【例2】（23-24八年级·江西上饶·期末）当x取何值时，代数式的值不小于与的和？
【答案】
【分析】根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
∴当时，代数式的值不小于与的和．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确理解题意列出一元一次不等式是解题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级·四川遂宁·期中）如果关于x的不等式和的解集相同，则a的值为 ．
【答案】7
【分析】解得，解得，由不等式和的解集相同，可得，计算求解即可．
【详解】解：，解得，
，解得，
∵不等式和的解集相同，
∴，解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式2-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）（1）解方程：；
（2）阅读下面解不等式的过程，完成任务：
解：……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
①第一步去分母的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；直接写出原不等式的正确解集是 ；
③请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议．
【答案】（1）（2）①不等式的性质②一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，③去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（合理准确即可）
【分析】本题考查解一元一次方程，不等式的性质，解一元一次不等式：
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可；
（2）①根据不等式性质，作答即可；
②根据不等式的性质作答求解即可；
③根据解不等式的过程中易出现的问题，进行作答即可．
【详解】解：（1）
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
（2）①去分母的依据是：不等式的性质；
故答案为：不等式的性质；
②第一步出现错误，错误的原因是去分母时，没有添括号，导致符号出错，
；
故答案为：一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，；
（3）去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化．
【变式2-3】（23-24八年级·宁夏中卫·期末）不等式的解集为，则
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后根据已知易得，从而可得，最后把m的值代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【题型3 在数轴上表示不等式的解集】
【例3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）解不等式并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
【答案】(1)；数轴见解析
(2)；数轴见解析
【分析】本题主要考查了解不等式，根据不等式的性质解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键．
（1）去分母，去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可；
（2）去括号，移项，合并后再系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
故不等式的解集为：；
在数轴上表示为：
（2）解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
故不等式的解集为：；
在数轴上表示为：
【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·期中）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集为，从而可求解．
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【详解】解：，
，
．
在数轴上表示为：
．
故选：．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·单元测试）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解题的关键．
由题图得不等式的解集为，解不等式得，因而，于是得解．
【详解】解：，
移项，得：，
解得：，
由题图得不等式的解集为，
，
解得：，
故答案为：．
【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期末）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为，求出，的解集为 ，根据解集在数轴上表示可得，解方程即可．
【解答】
解：设被墨迹污染的数字为，
解不等式，得 ，
由题图可知该不等式的解集为，
所以 ，解得．
【题型4 一元一次不等式的整数解】
【例4】（2024·浙江温州·八年级期末）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵不等式的负整数解只有,
∴符合题意的m取值范围如图所示，
∴，
故选B．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式有且只有三个负整数解，
∴x的负整数解有：，
∴，
解得：，
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：，然后根据题意可得：，，从而进行计算即可解答．
【详解】，
，
，
不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
∴，
∴，
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知方程组 的解满足，则k的非负整数值为
【答案】0，1/1，0
【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，先解二元一次方程组，得到，再把代入不等式，求出,即可得到k的非负整数值.
【详解】解：
①×2＋②×3得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
把代入得到，
解得，
∴k的非负整数值为0，1
故答案为：0，1
【题型5 解含参数的一元一次不等式】
【例5】（23-24八年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解．
【详解】解：由得：，
∵不等式的解集是，
且
设
则
∴的解集是，
即，
故选：A．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知关于的方程的根大于关于的方程的根，则应是（ ）
A．不为0的数 B．正数 C．负数 D．大于-1的数
【答案】C
【分析】分别用a表示出两方程的根，根据题意可得到关于a的不等式，可求出a所满足的条件，可得出答案．
【详解】解方程5（x-a）=-2a可得x=a，
解方程3（x-a）=2（x+a）可得x=5a，
∵方程5（x-a）=-2a的根大于关于x的方程3（x-a）=2（x+a）的根，
∴a＞5a，解得a＜0，即a为负数，
故选C．
【点睛】本题考了方程的解和一元一次不等式的应用，解题的关键是得到关于a的不等式．
【变式5-2】（23-24八年级·浙江·期末）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】对不等式可得，其解集是，故有，所以；将其代入不等式中即可求得该不等式的解集．
【详解】解：不等式系数化1得，
，且＞0，
该不等式的解集为是，
，
，
∵＞0，
∴＞0，
解得，
将代入不等式得，
，
移项得，
，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
【变式5-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
由，可得，由不等式的解集为，则，即且，可求，则，整理得，计算求解即可．
【详解】解：，
∴，
∵不等式的解集为，
∴，即且，
解得，，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
【题型6 解含绝对值的一元一次不等式】
【例6】（23-24八年级·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围．
【详解】
解：①当，即时，原式可化为：，
解得：，
；
②当，即时，原式可化为：，
解得：，
，
综上，该不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·广东梅州·开学考试）不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ．
【答案】
【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可．
【详解】∵
∴，即，
∴
∴或
∴或
∵不等式的解是，
∴应舍去，
∴，解得，
经检验，是方程的解．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解．
【变式6-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为．
例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程的解为________________；
(2)解不等式：；
(3)解不等式：．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识：
（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可；
（2）先求出的解，再求的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离．
【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
（2）在数轴上找出的解，
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8，
∴方程的解为或，
∴不等式的解集为．
（3）在数轴上找出的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值，
∵在数轴上3和对应的点的距离为7，
∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边．
若x对应的点在3的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为或．
【题型7 由一元一次方程解的取值范围求参数取值范围】
【例7】（23-24八年级·贵州六盘水·期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解一元一次方程，然后根据已知方程的解是负数，可得，从而可得，最后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
方程的解是负数，
，
，
，
，
故选：A．
【变式7-1】（2024·江苏扬州·八年级期末）若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为____．
【答案】
【解析】解：不等式，即的解集为，
，
代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
根据已知不等式解集确定出的值，代入方程计算即可求出的值．
本题考查了不等式的解法以及一元一次方程的解法，正确确定的值是关键．
【变式7-2】（23-24八年级·四川成都·期末）若关于x的方程的解是非正数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建一元一次不等式，最后解不等式即可．
【详解】∵，
∴，
∵关于x的方程的解是非正数，
∴，
解得，
故选：D．
【变式7-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不等式的最大整数解为2，
关于的方程的解是，
，
，
故答案为：2．
【题型8 由二元一次方程组解的关系求参数取值范围】
【例8】（23-24八年级·四川泸州·开学考试）若关于，的方程组的解满足，则的所有非负整数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两式相加可得，代入已知不等式求出的范围，再确定的所有非负整数解即可求出结果．
【详解】解：
①+②，得
的非负整数为3，2，1，0，
的所有非负整数之和为
故选D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式．
【变式8-1】．（23-24八年级·江苏盐城·开学考试）若方程组的解为且，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组和不等式的综合运用能力，关键是能应用简单方法，计算准确
将代入原方程组，用含k的代数式表示出，再计算出此题结果．
【详解】解：将代入原方程组得，
，
得， ，
∵，
∴，
解得，，
故选：B．
【变式8-2】（23-24八年级·广东广州·期末）已知关于的方程组，满足，则的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式；由题意把方程组中两方程相关得；由题意得不等式，解不等式即可．
【详解】解：
得：，
而，
即，
解得：；
则的最大值是2．
故选：C．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）,为实数,若关于的方程组无解,则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式性质．熟练运算是解出本题的关键．
【详解】解:∵,整理得：,
∴把代入得,
,解得,
∵该方程组无解,
∴,
∴,
∴,
∴关于的不等式的解集为,
∴,
故选:C．
【题型9 一元一次不等式解的最值】
【例9】（23-24八年级·广东广州·期末）若关于的不等式的正整数解是1，2，3，则整数的最小值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：不等式的解集是：，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，
∴，
∴a的取值范围是．
∴整数a的最小值是10．
故答案为：10．
【变式9-1】（23-24八年级·甘肃定西·阶段练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最小正整数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，根据实数3是不等式的一个解，可得的取值范围，从而可以求得可取的最小正整数，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【详解】解：由不等式，得，
∵实数3是不等式的一个解，
∴，得，
∴可取的最小正整数为，
故选：C．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知实数，满足，并且，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次方程和一元一次不等式的解法的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算；运用一次方程和一元一次不等式的解法进行求解即可．
【详解】解：
即，
，
，
，
即的最大值是
故答案为：
【变式9-3】（2016八年级·（2024·江苏扬州·八年级期末）若质数、满足：，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了质数的定义以及不等式的解法等知识，根据已知分别得出，的取值范围，进而结合质数的定义得出，的最值，进而得出答案，分别得出，的取值范围是解题关键．
【详解】由得，
∴，显然的值随着质数的增大而增大，
当且仅当取得最大值时取得最大值，
∵，即，
∴，
∵为质数，
∴的可能的取值为，，，，，，，，，
当时，，不是质数；
当时，，是质数，
∴的最大值为，的最大值为，
故答案为：．
【题型10 一元一次不等式中的新定义问题】
【例10】（23-24八年级·贵州毕节·期中）规定：表示，中较小的数（，均为实数，且），例如：．若则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故选B．
【变式10-1】（23-24八年级·河南洛阳·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”，其运算规则是：当时，；当时，．例如：，．有下列结论：①；②若，则x的取值范围是；③若，则x的取值范围是．其中结论正确的是 ．（填序号）
【答案】②③/③②
【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，解一元一次不等式，根据新定义可得，据此可判断①；根据新定义可得，解不等式即可判断②；当，即时，可得，当，即时，可得，两种情况分别求解即可．
【详解】解：①，故①错误；
②∵，
∴，
∴，故②正确；
③当，即时，
∵，
∴，
解得，
∴不符合题意；
当，即时，
∵，
∴，
∴
解得，符合题意；
综上所述，x的取值范围是；
∴正确的有②③，
故答案为：②③．
【变式10-2】（23-24八年级·重庆北碚·期中）定义一种法则“*”：，如：．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知，，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
解得，，
故选A．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式．解题的关键在于理解题意．
【变式10-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式．
(1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值；
(2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值；
(3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集．
【答案】(1)1
(2)或或
(3)
【分析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键．
（1）利用题干中的同解不等式的定义求解；
（2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解；
（3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式．
【详解】（1）解：，解得：，
，解得：，
∵两不等式是同解不等式，
∴，解得：；
（2）解：，解得：，
，解得：，
∵两不等式是同解不等式，
∴，即，
∵，是正整数，
∴为1或4或2，
∴或或；
（3）解：，解得：，
∵不等式P和不等式Q是同解不等式，
∴，
，解得：，
∴，
∴，即，，
∴，即，
∴，
∴解得：，
即关于的不等式的解集为．
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