中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.4 一元一次不等式组【十大题型】
【北师大版】
【题型1 一元一次不等式组的定义】 1
【题型2 求不等式组的解集】 2
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 2
【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 3
【题型5 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】 3
【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】 4
【题型7 方程与一元一次不等式组则综合运用】 4
【题型8 根据程序框图列不等式组求参数的取值范围】 5
【题型9 与不等式组有关的新定义问题】 6
【题型10 解特殊不等式组】 7
知识点：一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
【题型1 一元一次不等式组的定义】
【例1】（23-24八年级·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）是不小于的负数，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024春·黑龙江绥化·八年级统考期末）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：
甲：它的所有的解为非负数；
乙：其中一个不等式的解集为；
丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．
【题型2 求不等式组的解集】
【例2】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）计算下列不等式：
【变式2-1】（2024·山东淄博·八年级期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·单元测试）若，，且，则a的取值范围是 ．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】
【例3】（23-24八年级·河南商丘·期末）阅读下列计算过程，回答问题：
解不等式组并写出其中的正整数解．
解：解不等式①，得． 第一步
解不等式②，得． 第二步
∴不等式组的解集为． 第三步
∴不等式组的正整数解是2和3． 第四步
(1)以上过程中是从第________步开始出错的；
(2)写出这个不等式组的正确解答过程．
【变式3-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）不等式组的最大整数解为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
【变式3-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ．
【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解．
【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】
【例4】（23-24八年级·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式4-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·云南红河·期末）若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4
【题型5 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】
【例5】（23-24八年级·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【变式5-1】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ．
【变式5-2】（23-24八年级·天津和平·期末）已知关于x的不等式组 ．
（1）若，则该不等式组的最大整数解为 ；
（2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ．
【变式5-3】（23-24八年级·四川德阳·期末）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】
【例6】（23-24八年级·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【变式6-2】（23-24八年级·吉林·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·河南周口·期末）若不等式组无解，则正整数的值为 ．
【题型7 方程与一元一次不等式组则综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？
【变式7-1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
【变式7-3】（23-24八年级·四川内江·期末）若，且，，设，则m的取值范围为 ．
【题型8 根据程序框图列不等式组求参数的取值范围】
【例8】（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ．
【变式8-2】（23-24八年级·广西贺州·期末）如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
【变式8-3】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
【题型9 与不等式组有关的新定义问题】
【例9】（23-24八年级·福建福州·期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，
②，
③；
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
【变式9-1】（2024八年级·全国·专题练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集．
(1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）；
(2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________；
(3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________．
(4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________．
【变式9-2】（23-24八年级·广东惠州·期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
【变式9-3】（23-24八年级·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号）
【题型10 解特殊不等式组】
【例10】（23-24八年级·福建福州·期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24八年级·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
【变式10-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）设，是正整数，且满足，，则 ．
【变式10-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ．
1
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.4 一元一次不等式组【十大题型】
【北师大版】
【题型1 一元一次不等式组的定义】 1
【题型2 求不等式组的解集】 3
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 5
【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】 7
【题型5 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】 9
【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】 12
【题型7 方程与一元一次不等式组则综合运用】 14
【题型8 根据程序框图列不等式组求参数的取值范围】 17
【题型9 与不等式组有关的新定义问题】 19
【题型10 解特殊不等式组】 24
知识点：一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
【题型1 一元一次不等式组的定义】
【例1】（23-24八年级·四川凉山·期末）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：是一元一次不等式组．
故选：B．
【变式1-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是．
【详解】解：图中温度为：，则，
故选：D．
【变式1-2】（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）是不小于的负数，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可.
【详解】是不小于的负数，则可表示为.
故选D
【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表示.
【变式1-3】（2024春·黑龙江绥化·八年级统考期末）有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质：
甲：它的所有的解为非负数；
乙：其中一个不等式的解集为；
丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向．
请试着写出符合上述条件的一个不等式组 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．
【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，
∴其中一个不等式的解集必为，
∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
∴其中一个不等式中x的系数为负数，
∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一．
【题型2 求不等式组的解集】
【例2】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）计算下列不等式：
【答案】
【分析】）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．
【详解】去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【变式2-1】（2024·山东淄博·八年级期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【详解】
解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为：
则不等式组的为空集．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·单元测试）若，，且，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了如何求一元一次不等式组的解集．求解规律是：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解．把，用含的代数式表示，列出不等式组，再解出的取值范围．
【详解】解：由题意可得：，
解得：；
解得：；
的取值范围，
故答案为：．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式组与方程组综合．熟练掌握解不等式组，不等式组解集定义，解方程组，是解决问题的关键．
根据的解集是，求出a，b的值，把a的值代入，解不等式，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的解集是，
∴，
∴，
解得，，
∴，
解得，．
故选：D．
【题型3 求一元一次不等式组的整数解】
【例3】（23-24八年级·河南商丘·期末）阅读下列计算过程，回答问题：
解不等式组并写出其中的正整数解．
解：解不等式①，得． 第一步
解不等式②，得． 第二步
∴不等式组的解集为． 第三步
∴不等式组的正整数解是2和3． 第四步
(1)以上过程中是从第________步开始出错的；
(2)写出这个不等式组的正确解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据不等式的性质即可判断；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并写出正整数解即可．
【详解】（1）解：从第一步开始出错的；
故答案为：一；
（2）解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴不等式组的解集为．
∴不等式组的正整数解是1和2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）不等式组的最大整数解为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
【答案】B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得最大整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
∴最大整数解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴不等式组的整数解有：，，，，或，，，
∴或．
故答案为：或．
【变式3-3】（23-24八年级·福建福州·期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出所有的负整数解．
【答案】，数轴表示见解析，负整数解为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，先解出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，即可得出负整数解，进行作答．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
数轴表示如下
∴x的所有负整数解为
【题型4 由一元一次不等式组的解集求参数】
【例4】（23-24八年级·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故选：D
【变式4-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24八年级·云南红河·期末）若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ．
【答案】或2/2或-1
【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵不等式组的解集中的整数和为-5，
∴或，
∴或，
则整数的值为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围．
【变式4-3】（23-24八年级·河南南阳·期中）不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（ ）
A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4
【答案】B
【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为： a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围．
【详解】试题解析：，
由①得：x≥a，
由②得：x≤1+a，
∴不等式的解集是a≤x≤1+a，
∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内，
∴
解得：2≤≤4．
所以a的取值范围是：2≤≤4．
故选B．
【点睛】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，等知识的理解和掌握，能根据不等式组的解集，和已知得出a≥5且1+a≤2是解此题的关键．
【题型5 由一元一次不等式组的整数解求参数取值范围】
【例5】（23-24八年级·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案．
【详解】解：解方程组得：，
∵方程组的解为整数，
∴、、，
解得：或0或1或或3或，
解不等式组，得：，
∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：，
∴，
解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4，
综上所述：满足条件的整数a的值是1、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故选：D．
【变式5-1】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ．
【答案】27
【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
由①得，；由②得，．
原不等式组的解集为．
这个不等式组的最大整数解为2．
又最大整数解与最小整数解的和为，
这个不等式组的最小整数解为．
．
．
满足题意的整数有13，14．
满足题意的整数的和为27．
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键．
【变式5-2】（23-24八年级·天津和平·期末）已知关于x的不等式组 ．
（1）若，则该不等式组的最大整数解为 ；
（2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围是 ．
【答案】 1 或
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题；
（1）根据，再确定最大整数解即可．
（2）根据题意可得不等式组的解集为，再由该不等式组的所有整数解的和为，即可求解．
【详解】解：（1）当时，不等式组为，
∴，
∵不等式组的最大整数解为，
故答案为：1；
（2）∵，
∴，
∵该不等式组的所有整数解的和为，
而或；
∴或，
故答案为：或．
【变式5-3】（23-24八年级·四川德阳·期末）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解．
先出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a的值，求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值即可．
【详解】解：解方程，得
∵关于x的方程有非负数解，
∴，
∴；
解不等式组，得，
∵不等式组有解且恰好有两个偶数解，
∴该偶数解为，0；
∴，可得，
∴，
则满足题意a的值有，
则符合条件的所有整数a的和是．
故选：C
【题型6 由一元一次不等式组的有解无解情况求参数取值范围】
【例6】（23-24八年级·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有解
∴，解得，不等式组的解集为，
∵不等式组的解都是不等式的解，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式6-1】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a＞b，
∴-a＜-b，
∴3-a＜3-b，
∴不等式组的解集是．
故选：C
【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林·期末）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数，正确求出每一个不等式的解集并能正确表示不等式组的解集是解题关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据不等式组有解即可得出的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于x的不等式组有解，
，
解得：．
故答案为：．
【变式6-3】（23-24八年级·河南周口·期末）若不等式组无解，则正整数的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了根据一元一次不等式组无解求参数，先把每个不等式的解集求出来，再根据不等式组无解求出的取值范围，进而求出的正整数值，理解不等式组无解即组成不等式组的两个不等式的解集无公共部分是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
不等式组无解，
∴，
∴正整数的值为或．
【题型7 方程与一元一次不等式组则综合运用】
【例7】（23-24八年级·河南商丘·期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？
【答案】(1)；
(2)和0．
【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合问题，不等式的性质；
（1）先解方程组，可得，再建立不等式组即可得到答案；
（2）由不等式的解为可得，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：解方程组，得，
根据题意，得，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
而的解为知：，
解得.
结合（1）得，的取值范围是，
不等式的解为时，可以取整数值和0.
【变式7-1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴a的取值范围是.
故答案为：.
【变式7-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ．
【答案】/3≥a＞2
【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解．
【详解】解：由①与②进行如下运算：
①×3+②得到：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴，
∵，，
∴，
故，
∵x只能取两个整数，
故令整数的值为n，n+1，
则，，
故，
∴，且，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·四川内江·期末）若，且，，设，则m的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】先求出，再由，求出，求出，进而求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确根据题意求出x的取值范围是解题的关键．
【题型8 根据程序框图列不等式组求参数的取值范围】
【例8】（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据运算程序，列出算式：3x-1，由于运行了四次，所以将每次运算的结果再代入算式，然后再解不等式即可．
【详解】前四次操作的结果分别为
3x-1；
3（3x-1）-1=9x-4；
3（9x-4）-1=27x-13；
3（27x-13）-1=81x-40；
∵操作进行4次才能得到输出值，
∴，
解得：5≤x＜14．
故选：C
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式组，难度一般．
【变式8-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得，，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
【变式8-2】（23-24八年级·广西贺州·期末）如下图所示，运行程序从“输入整数x”到“结果是否大于21”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了2次就停止，则x的值是（ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查流程图与不等式，根据流程图列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴x的值可能是6；
故选：B．
【变式8-3】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据第二次运算结果不大于35，且第三次运算结果要大于35，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组．
【题型9 与不等式组有关的新定义问题】
【例9】（23-24八年级·福建福州·期末）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，
②，
③；
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围；
(3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”．若且满足条件的整数n有且只有一个，求m的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)
(3)
【分析】（1）根据“理想解”的定义进行求解即可；
（2）把代入相应的方程组和不等式，从而求得q的取值范围；
（3）根据当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，可求得， ，从而得到，结合且满足条件的整数n有且只有一个，此时n恰好有一个整数解－2，从而可求m的范围．
【详解】（1）解：3x-5=4，
解得：x=3，
当x=3时，
①，
解得：，故①不符合题意；
②，
解得：x≤3，故②符合题意；
③，
解得，
故不等式组的解集是：，故③符合题意；
故答案为：②③；
（2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：∵当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
∴，
解得，
由解得．
当时，
∴，
即.
∵方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
∴，
∴．
∵满足条件的整数n有且只有一个，
∴
∴
解得
∴，
，
∴此时n恰好有一个整数解-2，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用
【变式9-1】（2024八年级·全国·专题练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集．
(1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）；
(2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________；
(3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________．
(4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________．
【答案】(1)A
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
（1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可；
（2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可．
【详解】（1）解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为，
∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集，
故答案为：A；
（2）解：不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中，
∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）解：解不等式组M：得：，
∵不等式组M有解，
∴，
∵N：是不等式组的“子集”，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式9-2】（23-24八年级·广东惠州·期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，结合题意得出，求出的值即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：、、、，
∴该不等式组的整数解之和为，
故答案为：．
【变式9-3】（23-24八年级·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误．
【详解】解：当时，，①正确，故符合要求；
设，则，
∴，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
由题意知，的整数部分为，则小数部分为，
∴，
解得，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴的整数部分为，则小数部分为，且，
解得，，
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求；
故答案为：①②③．
【题型10 解特殊不等式组】
【例10】（23-24八年级·福建福州·期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．
【详解】解：，，
，，
，
、、都为正数，
∴，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式10-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）设，是正整数，且满足，，则 ．
【答案】
【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可．
【详解】解：∵，，是正整数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
，，
∴，
∵，是正整数，
∴或，
①当时，由，得：，这样的正整数不存在，
②当时，由，得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据，的取值范围，得出，的整数解，然后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【变式10-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）已知，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，且，，
∵，
∴，即，
解得：，
将代入，得，即，
解得，
的取值范围为：．
故答案为：．
1
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
