专题2.7 一元一次不等式（组）中的含参问题【十三大题型】
【北师大版】
【题型1 由不等式的解集求参数】 1
【题型2 由不等式的整数解的值求参数】 1
【题型3 由不等式的整数解的个数求参数】 2
【题型4 由不等式有最值求参数】 2
【题型5 由不等式组的解集求参数】 3
【题型6 由不等式组的整数解的个数求参数】 3
【题型7 由不等式组解集的最值求参数】 3
【题型8 由不等式组的整数解的值求参数】 4
【题型9 由不等式组的至少/多整数解的个数求参数】 4
【题型10 由不等式组的有解无解情况求参数】 5
【题型11 由不等式组的整数解的和求参数】 5
【题型12 方程与不等式（组）综合运用求参数】 6
【题型13 不等式与不等式组综合运用求参数】 6
【题型1 由不等式的解集求参数】
【例1】（23-24八年级·山东德州·期末）如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则 ．
【变式1-1】（23-24八年级·江西南昌·期末）若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24八年级·山东烟台·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
【题型2 由不等式的整数解的值求参数】
【例2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）已知不等式3x﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3，4，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞12 B．12≤a≤15 C．12＜a≤15 D．12≤a＜15
【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ．
【变式2-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝ ．
【变式2-3】（2024八年级·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的值．
【题型3 由不等式的整数解的个数求参数】
【例3】（23-24八年级·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知不等式有个正整数解，则的取值范围是 ．
【变式3-2】（23-24八年级·湖北十堰·期中）若关于x的不等式只有两个负整数解，则a满足的条件是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【题型4 由不等式有最值求参数】
【例4】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ．
（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则的取值范围是 ．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知关于 x 的不等式 x－a<0 的最大整数解为 3a+5，则 a= ．
【题型5 由不等式组的解集求参数】
【例5】（23-24八年级·福建福州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的值为 ．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）不等式组的解集为．则的取值范围为 ．
【变式5-2】（23-24八年级·重庆·阶段练习）已知关于的方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·重庆渝中·期末）关于x的不等式组的解集为，且关于x的一次方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【题型6 由不等式组的整数解的个数求参数】
【例6】（23-24八年级·湖北黄石·期末）高斯函数，也称取整函数，即表示不超过的最大整数，例如：，，．若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围 ．
【变式6-2】（23-24八年级·四川眉山·期中）若不等式组的整数解共有8个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如果关于的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的所有整数的和是 ．
【题型7 由不等式组解集的最值求参数】
【例7】（23-24八年级·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组
（1）若不等式组的最小整数解为，则整数的值为 ；
（2）若不等式组所有整数解的和为，则的取值范围为 ．
【变式7-1】（2024八年级·全国·专题练习）若关于x的不等式组的最大整数解为3，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【变式7-2】（2024·江苏宿迁·三模）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ．
【题型8 由不等式组的整数解的值求参数】
【例8】（23-24八年级·四川眉山·开学考试）如果关于x的不等式组的整数解仅为2、3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．30对 B．20对 C．25对 D．16对
【变式8-1】（2024·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
【变式8-2】（23-24·江苏·八年级统考期末）若不等式组的整数解仅为1，2，3，4，则最小整数b和最大整数a的值分别为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·广东广州·期末）如果关于的不等式组的整数解仅为3，4，5，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．8对 B．12对 C．15对 D．20对
【题型9 由不等式组的至少/多整数解的个数求参数】
【例9】（23-24八年级·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式9-1】（2024·重庆九龙坡·二模）若关于的不等式组，有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ．
【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【变式9-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知关于的分式方程解为非负整数，且关于的不等式组有解且至多三个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．6 B．5 C．9 D．13
【题型10 由不等式组的有解无解情况求参数】
【例10】（23-24八年级·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：若不等式组无解，则；
乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【变式10-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如果不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ．
【变式10-3】（23-24八年级·重庆铜梁·期中）若关于的方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足条件的所有整数的值之和是 ．
【题型11 由不等式组的整数解的和求参数】
【例11】（23-24八年级·广东广州·期中）如果关于x的不等式组的所有整数解和为2，则a的取值范围为 ．
【变式11-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·开学考试）关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
【变式11-2】（23-24八年级·四川南充·期末）关于x的不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】（23-24八年级·江苏南京·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
【题型12 方程与不等式（组）综合运用求参数】
【例12】（23-24八年级·福建福州·期末）已知关于x，y的方程组，其中．若，，则m的取值范围是 ．
【变式12-1】（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为 ．
【变式12-2】（23-24八年级·福建福州·期中）已知有理数、满足，并且，，现有，则的最小值是 ．
【变式12-3】（23-24八年级·福建漳州·期末）已知、都是非负数，且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，则的值是 ．
【题型13 不等式与不等式组综合运用求参数】
【例13】（23-24八年级·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
【变式13-1】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立，则a的取值范围 ．
【变式13-2】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是 ．
【变式13-3】（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为，
∵在的范围内，
∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ．
1专题2.7 一元一次不等式（组）中的含参问题【十三大题型】
【北师大版】
【题型1 由不等式的解集求参数】 1
【题型2 由不等式的整数解的值求参数】 3
【题型3 由不等式的整数解的个数求参数】 5
【题型4 由不等式有最值求参数】 7
【题型5 由不等式组的解集求参数】 9
【题型6 由不等式组的整数解的个数求参数】 11
【题型7 由不等式组解集的最值求参数】 14
【题型8 由不等式组的整数解的值求参数】 16
【题型9 由不等式组的至少/多整数解的个数求参数】 19
【题型10 由不等式组的有解无解情况求参数】 22
【题型11 由不等式组的整数解的和求参数】 25
【题型12 方程与不等式（组）综合运用求参数】 27
【题型13 不等式与不等式组综合运用求参数】 29
【题型1 由不等式的解集求参数】
【例1】（23-24八年级·山东德州·期末）如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程，先分别解一元一次不等式，再根据不等式的解集相同可得，即可求解．
【详解】解：，
解得，
，
解得，
∵关于x的不等式的解集与的解集相同，
∴，
解得，
故答案为：2．
【变式1-1】（23-24八年级·江西南昌·期末）若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把x=2代入不等式，求出a的范围，再求出答案即可．
【详解】∵实数2是不等式3x-a-4＜0的一个解，
∴代入得：6-a-4＜0，
a＞2，
∴a可取的最小整数是3，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·山东烟台·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不等式的解集，先根据不等式的解集，求出的值，再将的值代入后面的不等式，进行求解即可．
【详解】解：∵x的不等式的解集为，
∴，
∴解，得：，
∴，
∴，
∴化为：，
∴．
故答案为：．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的解集是，可判断出，，从而可求出不等式的解集．
【详解】解：关于的不等式的解集是，
，，
，
∴不等式的解集为：，即．
故答案为：．
【点睛】此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出和的数量关系及和的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤．
【题型2 由不等式的整数解的值求参数】
【例2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）已知不等式3x﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3，4，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞12 B．12≤a≤15 C．12＜a≤15 D．12≤a＜15
【答案】D
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，然后根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】不等式的解集是：x≤，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴4≤＜5，
∴a的取值范围是12≤a＜15．
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围，是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式，得：，
不等式有最小整数解2，
，
解得：，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝ ．
【答案】6.5或7
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2a－6得出关于a的不等式组，解之即可求得a的取值范围，再根据2a－6为整数即可得出a的值．
【详解】解：解不等式x﹣a﹥0得，
∵最小整数解为2a－6，
∴，且2a－6为整数，
解得，
∴a＝6.5或7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．
【变式2-3】（2024八年级·全国·专题练习）已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的值．
【答案】3
【详解】根据一元一次不等式的解法以及一元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴x的最小整数为3，
把代入得，，
∴．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
【题型3 由不等式的整数解的个数求参数】
【例3】（23-24八年级·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式有且只有三个负整数解，
∴x的负整数解有：，
∴，
解得：，
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知不等式有个正整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解出不等式求出x的值，根据不等式有且只有5个正整数解列出不等式，解之可得答案．
【详解】解：由得：；
因为不等式有个正整数解，则最大的正整数解一定是．
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式整数解的个数得出关于某个字母的不等式组是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·湖北十堰·期中）若关于x的不等式只有两个负整数解，则a满足的条件是 ．
【答案】
【分析】求得不等式的解集为，根据关于x的不等式只有两个负整数解，即可得出，进而即可求出a满足的条件．
【详解】解：解不等式得：，
关于x的不等式只有两个负整数解，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，理解关于x的不等式的负整数解是，是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：由得：
，
关于x不等式只有3个正整数解，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
【题型4 由不等式有最值求参数】
【例4】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不等式的最大整数解为2，
关于的方程的解是，
，
，
故答案为：2．
【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ．
（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．
（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．
【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3，
∴，
故答案为：.
（2）∵的解集中最小整数为-2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的最小整数解为2，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式，得：，
不等式有最小整数解2，
，
解得：，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知关于 x 的不等式 x－a<0 的最大整数解为 3a+5，则 a= ．
【答案】-3或-．
【分析】由x的不等式x-a＜0，得x＜a，因为x的不等式x-a＜0的最大整数解为3a+5，所以3a+5
【详解】由x的不等式x-a＜0，得x＜a，
∵x的不等式x-a＜0的最大整数解为3a+5，
∴3a+5∴-3≤a<-，
∵3a+5为整数，
可设m=3a+5，则a=，
即-3≤< ，
解得-4≤m< ，
∵m为整数，
∴m=-4，-3，
∴a=-3或-
故答案为-3或-．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
【题型5 由不等式组的解集求参数】
【例5】（23-24八年级·福建福州·期末）若关于的不等式组的解集是，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程组，先求出不等式组中两个不等式的解，再根据不等式组的解集可得一个关于a的一元一次方程组，解方程组可得a的值即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∵解集是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）不等式组的解集为．则的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得出，求解即可．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵该不等式组的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级·重庆·阶段练习）已知关于的方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解方程得得出，结合题意求出，解不等式组，结合题意得出，进而得出，继而得出所有满足条件的整数a的值之和，即可得出答案．
【详解】解：关于x的方程，
解得：，
，
，
，
解关于的不等式组，
解得，
不等式组的解集为，
，
，
，
所有满足条件的整数a的值之和为．
故答案为：25．
【变式5-3】（23-24八年级·重庆渝中·期末）关于x的不等式组的解集为，且关于x的一次方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】
【分析】先解不等式组，根据不等式组的解集为求出，再解方程，根据方程有非负整数解求出，则，由此即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解方程得：，
∵方程有非负整数解，
∴，
∴，
综上所述，，
∴所有满足条件的整数a的和为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组和方程相结合的问题，正确解不等式组和解方程是解题的关键．
【题型6 由不等式组的整数解的个数求参数】
【例6】（23-24八年级·湖北黄石·期末）高斯函数，也称取整函数，即表示不超过的最大整数，例如：，，．若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据取整函数的定义得出关于的不等式组是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据整数解恰有个，即可求解．
【详解】解：
解不等式①：
，
，
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解恰有个，
，
，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级·四川德阳·期末）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
【详解】解：
解不等式 得：，
解不等式得：.
则不等式组的解集是：，
∵不等式组只有两个整数解，是和0．
∴．
解得：．
故答案为：．
【变式6-2】（23-24八年级·四川眉山·期中）若不等式组的整数解共有8个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将当成已知数，求得不等式组的解集，再根据有8个整数解，确定的取值范围，即可．
【详解】解：
解不等式可得：
解不等式可得：
则不等式组的解集为：
∵不等式组的整数解共有8个
∴
解得
故选：B
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解集求解参数，解题的关键是正确求得不等式组的解集．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如果关于的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的所有整数的和是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、分式方程的解，有一定难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
解分式方程可得，求出为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出的范围，则满足条件的整数有两个，再求和即可．
【详解】解：解方程得，，
方程有正整数解，，
整数，3，6，
解不等式组得，
关于的不等式组至少有两个偶数解，
，
，
∴或3，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：4．
【题型7 由不等式组解集的最值求参数】
【例7】（23-24八年级·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组
（1）若不等式组的最小整数解为，则整数的值为 ；
（2）若不等式组所有整数解的和为，则的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，根据题意判断出的取值范围是解题关键．
根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组得，
（1）∵不等式组的最小整数解为，
∴，
∴，
则整数的值为，
故答案为：；
（2）∵不等式组所有整数解的和为，
若整数解为：，
解得：，
若整数解为：，
解得：，
综上，整数的值为或，
故答案为：或．
【变式7-1】（2024八年级·全国·专题练习）若关于x的不等式组的最大整数解为3，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集为，然后再确定，从而求出整数a可以取，0，即可求解．
【详解】解：由得，
由得，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组的最大整数解为3，
∴，
解得，
∴整数a可以取，0，
∴a的所有整数解的和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求不等式组中字母的值，解题的关键是能够确定字母的取值范围．
【变式7-2】（2024·江苏宿迁·三模）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和不等式组的最小整数解是2确定b的范围成为解题的关键，
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据最小整数解是2确定b的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴关于x的不等式的解集为；，
∵方程组的组最小整数解是2，
∴，即．
故选D．
【变式7-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为 ．
【答案】27
【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
由①得，；由②得，．
原不等式组的解集为．
这个不等式组的最大整数解为2．
又最大整数解与最小整数解的和为，
这个不等式组的最小整数解为．
．
．
满足题意的整数有13，14．
满足题意的整数的和为27．
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键．
【题型8 由不等式组的整数解的值求参数】
【例8】（23-24八年级·四川眉山·开学考试）如果关于x的不等式组的整数解仅为2、3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．30对 B．20对 C．25对 D．16对
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出m、n的值．求出不等式组的解集，根据已知求出、，求出、，即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的整数解仅有、，
则，，
解得：、，
，为整数，
，，，，，，，，，
，
所以适合这个不等式组的整数m，n组共有对，
故选：B．
【变式8-1】（2024·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．42对 B．36对 C．30对 D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于、的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出、的值．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵关关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，
∴，，
∵m、n为整数，
∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20，
，
所以适合这个不等式组的整数对共有30对，
故选：C．
【变式8-2】（23-24·江苏·八年级统考期末）若不等式组的整数解仅为1，2，3，4，则最小整数b和最大整数a的值分别为 ．
【答案】32，9
【分析】先解不等式组，再根据整数解的情况得到a和b的取值范围，即可得出答案．
【详解】解不等式组得：，
∵整数解仅为1，2，3，4，
∴，
解得，
∴最小整数b的值是32，最大整数a的值是9
故答案为：32，9．
【点睛】本题考查根据不等式组解集的情况求参数，熟练掌握解不等式组，根据解集的情况得出参数的不等式是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·广东广州·期末）如果关于的不等式组的整数解仅为3，4，5，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．8对 B．12对 C．15对 D．20对
【答案】C
【分析】首先解不等式组，用，表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解仅有3，4，5，即可确定，的值，从而求解．
【详解】解：解不等式组，得：，
整数解仅有3，4，5，
，，
解得：，，
，8，9，，27，28，29，30．
则整数，组成的有序数对共有15对．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的整数解及解不等式组的能力，根据整数解确定，的值是关键．
【题型9 由不等式组的至少/多整数解的个数求参数】
【例9】（23-24八年级·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（ ）个
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至少2个整数解，
∴，
∴；
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个，
故选：B．
【变式9-1】（2024·重庆九龙坡·二模）若关于的不等式组，有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了解一元一次不等式及解分式方程，先求出不等式组的解集，根据题意得，解分式方程得，根据题意得或1，符合，则再将符合条件的数相加即可求解，熟练掌握不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：化简得：，
解不等式组得：，
不等式组至多有两个偶数解，
，
，
方程，
解得：，
分式方程的解为正整数，
或1，
结合得：符合条件的整数的值的和为：，
故答案为：6．
【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）关于的不等式组至少有3个整数解，关于的方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式组和一元一次方程含字母参数问题的解决能力，关键是能准确根据题意运用以上知识进行求解．
先通过解一元一次不等式组确定的取值范围，再通过解一元一次方程确定的具体值，再代入计算．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集是，
该不等式组至少有3个整数解，
，
解得；
解方程得，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当m为小于的整数时，，不可能为整数，
所有满足条件的整数的值为，，，
所有满足条件的整数的值之和为：，
故答案为：．
【变式9-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知关于的分式方程解为非负整数，且关于的不等式组有解且至多三个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．6 B．5 C．9 D．13
【答案】A
【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和的范围求得的可能值即可．
【详解】解：
由，
解得，
由，
解得，
则不等式方程组的解为，，
∵关于的不等式组有解且至多三个整数解，
∴，
解得，
，
去分母得，，
去括号、移项得，，
系数化为得，，
∵为分式方程的增根，
∴，
解得，
∵的分式方程解为非负整数，
∴，
解得，
∴且，
∴当时，；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
当时，，舍去；
当时，；
则所有满足条件的整数的和为．
故选：．
【题型10 由不等式组的有解无解情况求参数】
【例10】（23-24八年级·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：若不等式组无解，则；
乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集情况求参数，理解不等式有解和无解的含义是解题关键．先分别解不等式，根据不等式组无解和有解的情况，求出的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
若不等式组无解，则，即，
则甲判断错误；
若不等式组有解，则不等式的解集为，
所有整数解的和为，且，
，
，
整数a的值为，
则乙判断正确，
故选：B．
【变式10-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）如果不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得到，再根据不等式组有解进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式得，
∵不等式组有解，
∴，
故选：A．
【变式10-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解得出，即可解答．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式10-3】（23-24八年级·重庆铜梁·期中）若关于的方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足条件的所有整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】先求出方程的解，根据方程的解为正数求出的取值，再根据不等式组有解得出，得出的值，即可得出答案．
【详解】解：，
∴，
∴
解得：，
∵关于的方程的解为正数，
∴,
∴；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组有解，
∴，
∴，
∴，或或或
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式和解一元一次不等式组以及有理数的加减混合运算等知识点，能得出的取值范围和的值是解此题的关键．
【题型11 由不等式组的整数解的和求参数】
【例11】（23-24八年级·广东广州·期中）如果关于x的不等式组的所有整数解和为2，则a的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】先解出每个不等式的解集，然后即可求出该不等式组的解集，再根据该不等式组的所有整数解和为2，可得的取值范围．本题考查了解一元一次不等式组的整数解：先确定不等式组的解集，然后在此范围内找出满足条件的整数即可．
【详解】解：解不等式组，得，
解不等式，得，
关于的不等式组的所有整数解和为2，
∴或．
故答案为：或．
【变式11-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·开学考试）关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，首先求得不等式组的解集，然后根据所有整数解的和是，即可求得最大的整数解，即可确定的范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
由得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的所有整数解的和为，
∴整数解为，，或，，，，，，
当整数解为，，时，，
当整数解为，，，，，时，，
故答案为：或．
【变式11-2】（23-24八年级·四川南充·期末）关于x的不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，x的不等式组的整数解仅有3个得3个整数解为1，2，3，从而得出可得结论
【详解】解：关于x的不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解仅有3个，且这3个整数解的和为6，
∴这3个整数解为1，2，3，
∴
解得，
故选：D
【变式11-3】（23-24八年级·江苏南京·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，解不等式组得，结合原不等式组的所有整数解的和是，即可得出a的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式的解集为，
不等式组的所有整数解的和是，
不等式组的所有整数解，
，
故答案为：．
【题型12 方程与不等式（组）综合运用求参数】
【例12】（23-24八年级·福建福州·期末）已知关于x，y的方程组，其中．若，，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，利用加减消元法求得，，可知，根据，，求解不等式组得，再根据不等式的基本性质即可求解，解题的关键是掌握方程组的解，即为能使方程组中两方程成立的未知数的值及需要结合的取值范围．
【详解】解：，
由得，，解得：，
将代入②中，可得，解得：，
∴，
∵，，即，
∴，
则，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式12-1】（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组以及不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据远算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【变式12-2】（23-24八年级·福建福州·期中）已知有理数、满足，并且，，现有，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式组，将与联立方程，用来表示， 再根据，转化为关于的不等式组，求出解集得到最小值，用来表示是解题的关键．
【详解】解：由，
解得：
解得：
∴的最小值为，
故答案为：．
【变式12-3】（23-24八年级·福建漳州·期末）已知、都是非负数，且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，则的值是 ．
【答案】
【分析】先用a的代数式表示出x，y，再由、都是非负数列不等式组并求解出a的取值范围，再根据不等式的性质求出A的最大值和最小值即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∵、都是非负数，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【题型13 不等式与不等式组综合运用求参数】
【例13】（23-24八年级·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组有5个整数解，
∴，
解得，，
，
移项合并得，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
综上，，
∴的值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式13-1】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立，则a的取值范围 ．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集能使不等式成立，得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，正确求出不等式组的解集，进而得到关于a的不等式是解题的关键．
【变式13-2】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集为，再结合题意得出或，求解即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，
每一个的值均不在的范围中，
或，
解得：，
故答案为：．
【变式13-3】（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为，
∵在的范围内，
∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，先解出不等式组的解集，再根据题干“子集”的定义，得出关于k的不等式，问题随之得解．
【详解】解：解不等式组得，．
又关于x的不等式的解集为：，
∵关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，
∴．
∴．
故答案为：．
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