专题4.3 利用因式分解解决三类求值问题（40题）
【北师大版】
【题型1 利用因式分解求字母的值】
1．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解．先将展开，再合并同类项，根据同类项系数相等即可求解．
【详解】解：，
由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等，
可得：，，
解得：，，
故选：C．
2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解．
【详解】解：，
∴，
故选：D．
3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）若，则n的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可得到答案．
【详解】解：
，
则，
故选：C．
4．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键．
直接利用十字相乘解题即可．
【详解】解：∵把多项式分解因式后含有因式，
∴，
∴，
故选：D．
5．（24-25八年级上·安徽合肥·专题练习）若，那么k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式的应用；先把等式右边利用平方差公式进行计算；然后与左边的比较即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．（24-25八年级下·安徽安庆·专题练习）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（ ）
A．6 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解，根据题意，令，当时，代入求解即可．
【详解】解：令
当时，
∴
故选：B．
7．（24-25八年级上·安徽合肥·专题练习）若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用．先将因式分解，进而可以得出答案．
【详解】解：，
的值总可以被11整除，即，
故选：A．
8．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ）
A．或5 B．5 C．8 D．8或
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，根据即可求解．
【详解】解： ，
，
解得或，
故选D．
9．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案．
【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，
∴当时，的值也为0，
∴当时，的值也为0，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型2 利用因式分解直接求代数式的值】
10．（24-25八年级上·重庆开州·期末）已知，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识．
首先由得到，然后两边同时平方整理得到，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（2024·山东枣庄·二模）一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则的值为 ．
【答案】35
【分析】此题考查了因式分解的应用，先根据一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5得到，把原式因式分解后整体代入即可．
【详解】解：∵一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，
∴，
∴，
故答案为：35
12．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先进行因式分解，再利用整体代入法进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：
13．（24-25八年级上·河南周口·期中）关于的代数式分解因式得，则的值为 ．
【答案】1
【分析】根据因式分解的定义得，利用多项式乘以多项式展开右边，利用恒等式的性质，比较对应项系数，计算m，n的值，再求的值即可．
本题考查了有因式分解，恒等式的性质，求代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
14．（2024·江苏泰州·二模）已知，存在实数m使成立，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把代入，可得，再结合非负数的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：；
故答案为：
15．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）若，，，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题是因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形．
根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴
．
故答案为：3．
16．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ；
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，由已知得，然后将原式转化为，再整体代入计算即可．利用整体的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∴的值为．
故答案为：．
17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如果满足，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解--公式法，把代数式分解得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵满足，
∴
∴，
故答案为：
18．（21-22八年级上·广东揭阳·期中）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．首先将等号左边部分进行整理，可得，即可获得答案．
【详解】解：∵
，
∴．
故答案为：．
19．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意可得，再将所求式子进行因式分解，整体代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
20．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，由题意先利用已知条件计算出，然后利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，，
∴两式相加可得，
∵
，
∴.
故答案为：．
21．（24-25八年级上·河南开封·期中）已知，那么的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查了因式分解的意义．先计算，再根据对应的项相同，可求出结果．
【详解】解：，
，，
解得，，
，
故答案为：0．
22．（22-23八年级下·广西来宾·期中）已知，，则的值是 ．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式计算出的值，然后将多项式分解因式为，最后利用整体代入法求解即可．
本题主要考查了完全平方公式，以及分解因式，利用整体代入法求值是解题的关键．
【详解】解：，
，
即，
，
，
，
．
故答案为：．
23．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键．
将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可.
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
24．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若多项式可因式分解为，则的值为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，也考查了平方差公式，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，得出，即可作答．
【详解】解：依题意，∵多项式可因式分解为，
∴
∴
故答案为：25
25．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）若，，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的综合运用及整体代入思想，正确进行因式分解是解决问题的关键．将代数式因式分解然后整体代入求解即可．
【详解】∵
∴
．
故答案为：．
26．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知，则代数式的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．由可得，再利用提公因式法将所求式子变形后代入值计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为：．
27．（2024八年级下·江苏·专题练习）边长为a，b的长方形的周长14，面积10，则的值为 ．
【答案】490
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．根据题意可得：，，再将代数式进行因式分解，代入即可求解．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，
∴
．
故答案为：490．
28．（24-25八年级上·北京·期中）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知得出，原式化为即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
即
∴
故答案为：．
29．（24-25八年级上·天津河西·期末）已知，，，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用，设,根据因式分解的应用，先求的值，再求即可得解，熟练掌握完全平方公式的结构特征并能灵活对所求代数式进行恒等变形是解决此题的关键．
【详解】解：设,
,
,
，
，
，
，
，
的值为7.
30．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，则的值为 ．
【答案】2024
【分析】先因式分解凑出所给关于的整式，再代入整式的值即可．
【详解】解：
∵
∴
故答案为：2024
【点睛】本题考查因式分解代入数值求解，掌握计算方法步骤是关键．
31．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，将化为，再整体代入计算即可．利用整体代入思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
∴的值为．
故答案为：．
32．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，，则的值为 ．
【答案】2044
【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键．
先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴
．
故答案为：．
【题型3 利用因式分解降次求代数式的值】
33．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知，则代数式的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．根据平方差公式，把原式化为，然后用整体代入法即可求解．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：6．
34．（24-25八年级下·安徽芜湖·专题练习）（1）已知，则的值为 ；
（2）已知，则的值为 ．
【答案】 2 0
【分析】本题考查了代数式求值，因式分解，熟练掌握代数式求值的方法是解答本题的关键．
（1）先将分解因式得到再代入得到化简得再代入得到2；
（2）先将分解因式得到再代入得到0．
【详解】解：（1），
，
，
原式，
，
，
，
原式；
（2），
，
，
原式，
故答案为：2；0．
35．（19-20八年级下·江苏苏州·期末）若，则代数式的值等于 ．
【答案】4
【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式化简原式，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
∴原式 ，
故答案为：4．
36．（24-25八年级上·四川凉山·期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把变形为，进而把所求式子变形为，进一步变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
37．（24-25八年级上·安徽铜陵·单元测试）若两个不等实数m，n满足， ，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，再整体代值计算便可得出答案．
【详解】解：∵，
，，
，，
，
∴．
故答案为：．
38．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知是方程的一组解．则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，平方差公式，先把代入原方程得到，再利用平方差公式把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可．
【详解】解：把代入方程，得，
∴，
∴
，
故答案为：．
39．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，则代数式的值为
【答案】
【分析】本题主要考查代数式的值与提公因式．
根据提公因式可进行求解，再将已知条件整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
40．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则的值为 ．
【答案】2028
【分析】本题考查了因式分解及求代数式的求值，灵活运用因式分解变形代数式是求值的关键，由，，将代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：2028．
1专题4.3 利用因式分解解决三类求值问题（40题）
【北师大版】
【题型1 利用因式分解求字母的值】
1．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把分解因式得，则常数的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）若，则n的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
5．（24-25八年级上·安徽合肥·专题练习）若，那么k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（24-25八年级下·安徽安庆·专题练习）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（ ）
A．6 B． C．10 D．
7．（24-25八年级上·安徽合肥·专题练习）若为任意正整数，的值总可以被整除，则等于（ ）
A．11 B．22 C．11或22 D．11的倍数
8．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ）
A．或5 B．5 C．8 D．8或
9．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ．
【题型2 利用因式分解直接求代数式的值】
10．（24-25八年级上·重庆开州·期末）已知，且，则的值为 ．
11．（2024·山东枣庄·二模）一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则的值为 ．
12．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，那么的值为 ．
13．（24-25八年级上·河南周口·期中）关于的代数式分解因式得，则的值为 ．
14．（2024·江苏泰州·二模）已知，存在实数m使成立，则m的值为 ．
15．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）若，，，则的值为 ．
16．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ；
17．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如果满足，那么代数式的值为 ．
18．（21-22八年级上·广东揭阳·期中）若，则的值是 ．
19．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为 ．
20．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式的值为 ．
21．（24-25八年级上·河南开封·期中）已知，那么的值为 ．
22．（22-23八年级下·广西来宾·期中）已知，，则的值是 ．
23．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
24．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若多项式可因式分解为，则的值为 ．
25．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）若，，则代数式的值是 ．
26．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知，则代数式的值等于 ．
27．（2024八年级下·江苏·专题练习）边长为a，b的长方形的周长14，面积10，则的值为 ．
28．（24-25八年级上·北京·期中）若，，则的值为 ．
29．（24-25八年级上·天津河西·期末）已知，，，那么的值为 ．
30．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，则的值为 ．
31．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，则的值为 ．
32．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，，则的值为 ．
【题型3 利用因式分解降次求代数式的值】
33．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知，则代数式的值为 ．
34．（24-25八年级下·安徽芜湖·专题练习）（1）已知，则的值为 ；
（2）已知，则的值为 ．
35．（19-20八年级下·江苏苏州·期末）若，则代数式的值等于 ．
36．（24-25八年级上·四川凉山·期末）已知，则的值为 ．
37．（24-25八年级上·安徽铜陵·单元测试）若两个不等实数m，n满足， ，则的值等于 ．
38．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知是方程的一组解．则的值等于 ．
39．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知，则代数式的值为
40．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则的值为 ．
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