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专题4.5 因式分解全章专项复习【2大考点14种题型】
【北师大版】
【考点1 因式分解】 1
【题型1 因式分解的概念】 3
【题型2 因式分解与整式乘法的关系】 3
【题型3 确定公因式】 4
【题型4 公因式为单项式的因式分解】 4
【题型5 公因式为多项式的因式分解】 4
【题型6 直接运用公式法因式分解】 5
【题型7 综合运用提公因式法和公式法因式分解】 5
【题型8 运用整体思想法和公式法因式分解】 5
【题型9 运用十字相乘法因式分解】 6
【考点2 因式分解的运用】 7
【题型10 数的简便计算】 7
【题型11 代数式的整体求值】 7
【题型12 判断数的整除性】 8
【题型13 因式分解与图形面积】 8
【题型14 完全平方式与配方】 10
【考点1 因式分解】
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【注意】
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
【注意】
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得
，
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型1 因式分解的概念】
【例1】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列各等式从左到右是多项式的因式分解的是（ ）
①； ②；
③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（24-25八年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（ ）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解
D．①不是因式分解，②是因式分解
【变式1-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）下列各式由左到右的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
①(x＋5)(x－5)＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3)(x－3) ③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1 ⑤x＋1＝x(1＋) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
【题型2 因式分解与整式乘法的关系】
【例2】（23-24八年级下·重庆·期中）已知有一个因式为，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【变式2-1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于x的多项式可以分解为，则的值是（ ）
A．8 B．－8 C．6 D．－6
【变式2-2】（2023八年级下·江苏·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2-3】（21-22八年级下·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
【题型3 确定公因式】
【例3】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（19-20八年级下·辽宁铁岭·期末）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx
【变式3-3】（20-21八年级上·山东烟台·期末）多项式，与的公因式为 ．
【题型4 公因式为单项式的因式分解】
【例4】（2023·河北沧州·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【变式4-1】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解： ．
【变式4-2】（2024·江苏宿迁·二模）已知，，则 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·广西桂林·期中）已知，则代数式的值是 ．
【题型5 公因式为多项式的因式分解】
【例5】（22-23八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（22-23八年级下·浙江·期中）若多项式，则是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24八年级下·湖南永州·期末）若，则 ．
【题型6 直接运用公式法因式分解】
【例6】（22-23八年级上·北京大兴·期末）请你写出一个整式A，使得多项式能因式分解，这个整式A可以是 ．
【变式6-1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（21-22八年级下·上海·期中）分解因式： ．
【变式6-3】（23-24八年级上·山东泰安·期中）已知多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 综合运用提公因式法和公式法因式分解】
【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期中）登登是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．美丽泉州 C．我爱泉州 D．泉州美
【变式7-1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）分解因式：＝ ．
【变式7-2】（2023·辽宁丹东·中考真题）因式分解： ．
【变式7-3】（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ．
【题型8 运用整体思想法和公式法因式分解】
【例8】（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【变式8-1】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）将进行因式分解结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【变式8-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【题型9 运用十字相乘法因式分解】
【例9】（20-21八年级上·上海闵行·期中）因式分解： ．
【变式9-1】（23-24八年级上·上海静安·期中）因式分解： ；
【变式9-2】（21-22八年级下·浙江杭州·期中）分解因式： ．
【变式9-3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【考点2 因式分解的运用】
【题型10 数的简便计算】
【例10】（23-24八年级下·浙江·期中）利用因式分解计算：
(1)
(2)
(3)
【变式10-1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）利用因式分解进行简便计算：．
【变式10-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：．
【变式10-3】（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【题型11 代数式的整体求值】
【例11】（23-24八年级上·江西新余·期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”
看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
问题：
(1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______；
(2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：．
【变式11-1】（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（ ）
A．5或 B．5 C．1或 D．1
【变式11-2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【变式11-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若，那么代数式的值为 ．
【题型12 判断数的整除性】
【例12】（23-24八年级上·山东烟台·期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【变式12-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）对任意整数，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【变式12-2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”的最大值为 ．
【变式12-3】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的____倍；
(2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．
【题型13 因式分解与图形面积】
【例13】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，发现可以用两种方法表示矩形纸板的面积：方法1：_______，方法2：______，利用面积相等可以将代数式因式分解为________；
(3)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
【变式13-1】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（ ）米．
A．a+b
B．b+c
C．a+c
D．a+b+c
【变式13-2】（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ．
【变式13-3】（22-23八年级下·广西贵港·期中）活动准备：在一次数学实践活动中，某兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张其中，纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是长为b、宽为a的长方形，纸片C是边长为b的较大正方形．
操作发现：（1）兴趣小组选用1张纸片张纸片B和1张纸片C拼成一个更大的正方形（如图2所示），并发现该图形的面积关系能够验证一个多项式乘法公式，这个乘法公式是_______；
思考求解：（2）已知纸片A与纸片C的面积之和为169，纸片B的周长为34，求纸片B的面积；
类比探究：（3）兴趣小组经历了实践操作、合作探究，选用m张纸片张纸片B和k张纸片C拼成一个较大长方形，并运用所得图形的面积关系将多项式进行了因式分解．
①写出的值；
②画出所拼成的图形并给出因式分解的结果．
【题型14 完全平方式与配方】
【例14】（24-25八年级上·陕西延安·期末）阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等．
例如：分解因式：．
解：原式
．
根据阅读材料，用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小）
【变式14-1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）若可用完全平方公式法进行因式分解，则m= ．
【变式14-2】（20-21八年级下·浙江·期末）一个正整数，加上57可得到一个完全平方数，再加上57可得到另一个完全平方数，则这个正整数为 ．（一个数如果是另一个数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数，如0，1，4，9，16等）
【变式14-3】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
1
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专题4.5 因式分解全章专项复习【2大考点14种题型】
【北师大版】
【考点1 因式分解】 1
【题型1 因式分解的概念】 3
【题型2 因式分解与整式乘法的关系】 4
【题型3 确定公因式】 6
【题型4 公因式为单项式的因式分解】 7
【题型5 公因式为多项式的因式分解】 9
【题型6 直接运用公式法因式分解】 10
【题型7 综合运用提公因式法和公式法因式分解】 12
【题型8 运用整体思想法和公式法因式分解】 13
【题型9 运用十字相乘法因式分解】 16
【考点2 因式分解的运用】 18
【题型10 数的简便计算】 18
【题型11 代数式的整体求值】 20
【题型12 判断数的整除性】 23
【题型13 因式分解与图形面积】 26
【题型14 完全平方式与配方】 30
【考点1 因式分解】
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
【注意】
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
【注意】
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得
，
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型1 因式分解的概念】
【例1】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）下列各等式从左到右是多项式的因式分解的是（ ）
①； ②；
③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解）判断即可．
【详解】①，是整式的乘法，不是因式分解，故错误；
②，不是乘积的形式，不是因式分解，故错误；
③，不是多项式，不是因式分解，故错误；
④是因式分解，故正确．
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义的内容是解此题的关键．
【变式1-1】（24-25八年级上·上海静安·期末）关于等式和从左到右的变形，下列说法中（ ）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解
D．①不是因式分解，②是因式分解
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：①，属于因式分解；
②，属于因式分解；
所以①和②都是因式分解．
故选：A．
【变式1-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）下列各式由左到右的变形，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
C、x2-5x+6=（x-2）（x-3）是因式分解，故本选项错误；
D、等式右边是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确；
故选D.
【点睛】本题考查因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【变式1-3】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
①(x＋5)(x－5)＝x2－25 ②x2－9＝(x＋3)(x－3) ③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1) ④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1 ⑤x＋1＝x(1＋) ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
【答案】②③⑥
【详解】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解.
【题型2 因式分解与整式乘法的关系】
【例2】（23-24八年级下·重庆·期中）已知有一个因式为，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键．
根据，求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：D．
【变式2-1】（24-25八年级上·重庆南川·期末）若关于x的多项式可以分解为，则的值是（ ）
A．8 B．－8 C．6 D．－6
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，根据整式的乘法运算，再根据两个多项式相等的特点列方程求解．
【详解】解：由题意得：，
∴且，
解得：，
∴的值为：，
故选：B．
【变式2-2】（2023八年级下·江苏·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先设原式，进而求出即可．
【详解】解：原式
故，，，
解得：，，或，，，
∴．
故选C．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．
【变式2-3】（21-22八年级下·广西贵港·期中）在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为 .
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小刚看错了m的值，
∴n＝﹣6；
（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看错了n的值，
∴m＝﹣1．
∴x2+mx+n
＝x2﹣x﹣6
＝（x﹣3）（x+2）．
故答案为：（x﹣3）（x+2）．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键．
【题型3 确定公因式】
【例3】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【详解】解：，
∴多项式分解因式，应提的公因式是，
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z．
【详解】∵多项式中，
各项系数绝对值的最大公约数是4，
各项相同字母x的最低次幂是x，
各项相同字母y的最低次幂是y，
各项相同字母z的最低次幂是z，
∴多项式
【变式3-2】（19-20八年级下·辽宁铁岭·期末）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx
【答案】B
【分析】根据公因式的定义逐一分析即可．
【详解】解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了公因式，熟悉因式分解是解题的关键．
【变式3-3】（20-21八年级上·山东烟台·期末）多项式，与的公因式为 ．
【答案】
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故答案：．
【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
【题型4 公因式为单项式的因式分解】
【例4】（2023·河北沧州·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】D
【分析】直接利用提取公因式法、幂的乘方运算法则将原式变形求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即
∴，解得：．
故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算、提取公因式等知识点，正确将原式变形是解题关键．
【变式4-1】（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】提公因式x即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，解题关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．
【变式4-2】（2024·江苏宿迁·二模）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式4-3】（24-25八年级上·广西桂林·期中）已知，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式的整体代入求解、因式分解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体．
由题意可得，把原式变形为，再整体代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：
【题型5 公因式为多项式的因式分解】
【例5】（22-23八年级上·贵州遵义·期中）把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将变形为，再提公因式即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化．
【变式5-1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键．
【详解】，
则余下的部分是x．
故选：C．
4．的公因式是．
故选：C．
【变式5-2】（22-23八年级下·浙江·期中）若多项式，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值．
【详解】解：
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换．
【变式5-3】（23-24八年级下·湖南永州·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案．
【详解】解：当时，
原式=
=．
故答案为：．
【题型6 直接运用公式法因式分解】
【例6】（22-23八年级上·北京大兴·期末）请你写出一个整式A，使得多项式能因式分解，这个整式A可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接逆用完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵完全平方公式的一般形式：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法．
【变式6-1】（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求；
故选：A．
【变式6-2】（21-22八年级下·上海·期中）分解因式： ．
【答案】/（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．
【变式6-3】（23-24八年级上·山东泰安·期中）已知多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】，应用完全平方公式分解因式，故A选项错误；
，应用完全平方公式分解因式，故B选项错误；
，在有理数范围内无法分解因式，故C选项错误；
，应用平方差公式分解因式，故D选项正确；
故选：D．
【题型7 综合运用提公因式法和公式法因式分解】
【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期中）登登是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．美丽 B．美丽泉州 C．我爱泉州 D．泉州美
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．
【详解】解：∵
，
又∵分别对应下列四个字：我，爱，泉，州，
∴结果呈现的密码信息是：我爱泉州．
故选：C．
【变式7-1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）分解因式：＝ ．
【答案】
【分析】先提取公因式mn，后用平方差公式分解即可
【详解】
=mn()
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了提取公因式法，平方差公式法分解因式，熟练掌握因式分解的基本顺序是解题的关键．
【变式7-2】（2023·辽宁丹东·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式．
【变式7-3】（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【题型8 运用整体思想法和公式法因式分解】
【例8】（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）将看成整体，令代入原式即可求解；
（）将看成整体，令代入原式即可求解；
本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键．
【详解】（1）设，
则原式，
，
把代入得，
原式，
；
（2）设，
则原式，
，
，
把代入得，
原式，
，
．
【变式8-1】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）将进行因式分解结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是把多项式看成整体进行分解因式，注意分解的正确性和彻底性．把看成整体，将多项式展开，再运用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【变式8-2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
【变式8-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可；
（3）先计算，同理（2）计算即可．
【详解】（1）解：设，
原式，
．
（2）解：设，
原式
，
；
（3）证明：原式
设，
原式，
．
为正整数，
为正整数．
代数的值一定是某个整数的平方．
【题型9 运用十字相乘法因式分解】
【例9】（20-21八年级上·上海闵行·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级上·上海静安·期中）因式分解： ；
【答案】
【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键．
【变式9-2】（21-22八年级下·浙江杭州·期中）分解因式： ．
【答案】
【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级上·江西南昌·期中）根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3).
【分析】(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可；
(2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；
(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；
(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；
(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得.
【详解】(1)原式=(x+2)(x+5)；
(2)原式=(x+9)(x-2)；
(3)原式=(2x-1)(x-2)；
(4)原式=(2y+1)(3y-2)；
(5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3
=(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3)
=(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1)
=(x-2y+1)(x-y-3).
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键.
【考点2 因式分解的运用】
【题型10 数的简便计算】
【例10】（23-24八年级下·浙江·期中）利用因式分解计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)5050
(2)
(3)
【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）利用因式分解进行简便计算：．
【答案】
【分析】此题考查了利用平方差公式和提公因式法分解因式进行计算，先利用平方差公式变形为，得到，再利用提公因式计算即可．
【详解】解：
【变式10-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：．
【答案】．
【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用．
【详解】解：设，
则原式，
，
，
∴原式．
【变式10-3】（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式的应用；
（1）利用完全平方公式简便计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【题型11 代数式的整体求值】
【例11】（23-24八年级上·江西新余·期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”
看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
问题：
(1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______；
(2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）根据材料，用换元法进行分解因式；
（3）设…，则原式…，再将y代入即可求解．
【详解】（1）解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
，
故答案为：；
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设…，
原式……
………
…
…
……
【变式11-1】（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（ ）
A．5或 B．5 C．1或 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把看做一个整体，先把原式变形为，进而分解因式得到，再证明，从而得到，即．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式11-2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
【变式11-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）若，那么代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解： ，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【题型12 判断数的整除性】
【例12】（23-24八年级上·山东烟台·期中）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67
【答案】B
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【点睛】此题考查多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案．
【变式12-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）对任意整数，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到 即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：
，
对任意整数，都能被4整除，
故选：B．
【变式12-2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，实数的运算，二元一次方程组的应用，理解题意，将其转化为实数的运算是解题关键．设“交替数”，由，得出或，再由，得出或，然后由（为正整数0），得出、的取值情况，列出满足条件的“交替数”的所有情况，取最大值即可．
【详解】解：设“交替数”，
由题意可知，，，（为正整数0），
，
，，，且、为正整数，
或，
解得：或，
，
，
或，
（为正整数0），且，，
或或，
或或或或或，
解得：或或（舍）或（舍）或或，
当、、、时，；
当、、、时，；
当、、、时，；
当、、、时，；
满足条件的“交替数”的最大值为，
故答案为：．
【变式12-3】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的____倍；
(2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．
【答案】(1)19
(2)见解析
(3)余数为5，理由见解析
【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用；
（1）计算出的结果，即可；
（2）根据“比大5的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可；
（3）设这个数为，比大5的数为，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：，
即的结果是3的倍，
故答案为：；
（2）解：偶数为，比大5的数为，
∴，
∵为整数，
∴能被5整除，
∴比大5的数与的平方差能被5整除；
（3）解：余数为，理由如下：
设这个数为，比大5的数为，
∴，
∵，
∴被10整除的余数是，
即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是．
【题型13 因式分解与图形面积】
【例13】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)用含，的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，发现可以用两种方法表示矩形纸板的面积：方法1：_______，方法2：______，利用面积相等可以将代数式因式分解为________；
(3)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值．
【答案】(1)
(2)，，
(3)49
【分析】本题考查的是多项式乘多项式与图形的面积，完全平方公式的变形求值．
（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为，一条水平裁剪线长为，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得，
由九个小图形之和可得，
∴
即可以因式分解为：，
故答案为：，，；
（3）解：依题意得，，，
，
，
．
【变式13-1】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（ ）米．
A．a+b
B．b+c
C．a+c
D．a+b+c
【答案】C
【分析】首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a＋b的因式．
【详解】解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b），
则交换之后的土地长是（a＋c）米．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决此题的关键是能够熟练运用分组分解法进行因式分解．
【变式13-2】（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ．
【答案】4
【分析】用a，b分别表示出大长方形的长和宽，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD=BC=8b+a，AB=CD=2b+a，
∵阴影部分的面积是大长方形面积的，
∴非阴影部分的面积是大长方形面积的，
∴，
整理得：，即，
∴，
则小长方形纸片的长a与宽b的比值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，以及因式分解的应用，解题的关键是弄清题意，列出长方形面积的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则．
【变式13-3】（22-23八年级下·广西贵港·期中）活动准备：在一次数学实践活动中，某兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张其中，纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是长为b、宽为a的长方形，纸片C是边长为b的较大正方形．
操作发现：（1）兴趣小组选用1张纸片张纸片B和1张纸片C拼成一个更大的正方形（如图2所示），并发现该图形的面积关系能够验证一个多项式乘法公式，这个乘法公式是_______；
思考求解：（2）已知纸片A与纸片C的面积之和为169，纸片B的周长为34，求纸片B的面积；
类比探究：（3）兴趣小组经历了实践操作、合作探究，选用m张纸片张纸片B和k张纸片C拼成一个较大长方形，并运用所得图形的面积关系将多项式进行了因式分解．
①写出的值；
②画出所拼成的图形并给出因式分解的结果．
【答案】（1）
（2）纸片B的面积为60
（3），，；②，图见解析
【分析】本题主要考查了利用拼图进行因式分解，解题的关键是数形结合，熟练掌握长方形和正方形的面积公式．
（1）根据图形的面积得出乘法公式即可；
（2）利用完全平方公式求解即可得解；
（3）①各项系数即可得解；②根据题意画出图形，然后分解因式即可．
【详解】解：（1）图1中正方形的面积可以表示为，也可以用两个正方形和两个长方形的面积之和表示为，
因此可以得出乘法公式：．
故答案为：．
（2）由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，即纸片B的面积为60；
（3）∵ ，
∴，，；
②拼图如图所示：
∴．
故答案为：．
【题型14 完全平方式与配方】
【例14】（24-25八年级上·陕西延安·期末）阅读：有些多项式不能直接用乘法公式进行因式分解，可以适当的进行增减项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题等．
例如：分解因式：．
解：原式
．
根据阅读材料，用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)已知一个长方形的长为，宽为，面积记为，另一个长方形的长为4a，宽为，面积记为，请你通过计算，比较与的大小．（提示：求的大小）
【答案】(1)
(2)．
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
（1）先把多项式写成的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）先根据长方形的面积公式，分别求出与，然后求出它们的差，从而比较其大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
∴
，
∴．
【变式14-1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）若可用完全平方公式法进行因式分解，则m= ．
【答案】±4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解:依题意，得
，
解得：.
故答案为±4
【点睛】本题考查了用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.
【变式14-2】（20-21八年级下·浙江·期末）一个正整数，加上57可得到一个完全平方数，再加上57可得到另一个完全平方数，则这个正整数为 ．（一个数如果是另一个数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数，如0，1，4，9，16等）
【答案】727或7
【分析】设这个数为m，得到，化简得到，再利用分解因式求不定方程的整数解，再求m的值，进而得出答案．
【详解】解：设这个数为m，
则，
两式相减得，
即，
当y+x=57，y-x=1时，成立，
解得：x=28，y=29，
∴m=x2-57=282-57=727，
当y+x=19，y-x=3时，成立，
解得：x=8，y=11，
∴m=x2-57=82-57=7，
故答案为：727或7．
【点睛】此题主要考查了运用公式法因式分解以及二元一次方程组的解法，得出y+x=57，y-x=1和y+x=19，y-x=3是解题关键．
【变式14-3】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查利用完全公式计算及新定义计算，解题的关键是读懂新运算及熟练应用．
（1）根据题意将分成两个数的平方和即可得到答案；
（2）根据完全平方公式平方得到m，n的值即可得到答案；
（3）将含x和y的式子配方，根据完美数定义令余下部分为0即可得到答案．
【详解】（1）解：，
∴；
（2）∵
，
又∵，
∴，，
∴；
（3）当时，S是完美数，
理由如下：
，
，
∵x，y是整数，
∴，也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴，
∴．
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