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专题5.1 分式【九大题型】
【北师大版】
【题型1 分式的定义】 1
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】 2
【题型3 分式值为零的条件】 2
【题型4 列代数式（分式）】 2
【题型5 求分式的值】 3
【题型6 分式的规律性问题】 3
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】 4
【题型8 按要求构造分式】 4
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】 5
知识点1：分式的定义
一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
分式满足的三个条件：①式子一定是的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。
简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。
【题型1 分式的定义】
【解题方法】观察式子的分母是否有字母，若有则是分式，若没有则不是。
【例1】（24-25八年级·山东淄博·阶段练习）在式子中，分式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（24-25八年级·江苏徐州·阶段练习）下列各式、、、不是分式的是
【变式1-2】（24-25八年级·重庆江北·期中）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024八年级·全国·专题练习）在①，②，③，④，⑤中，是分式的有 （填序号）
知识点2：分式有意义的条件
即要求分式的分母不能为0。即中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】
【解题方法】结合分母不能为0建立不等式求解，若式子中含有偶次根号，考虑被开方数大于等于0。
【例2】（24-25八年级·上海·期中）当x满足条件 时，分式有意义．
【变式2-1】（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知式子有意义，则的取值范围是 ．
【变式2-2】（24-25八年级·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）若分式有意义，请写出一个满足要求的x的值 ．
知识点3：分式值为零的条件
分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即中，A＝0，B≠0。
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。
【题型3 分式值为零的条件】
【解题方法】利用分子的式子等于0，分母的式子不等于0建立方程与不等式进行计算即可。
【例3】（24-25八年级·甘肃定西·期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25八年级·广东茂名·期末）若分式的值为零，则 ．
【变式3-2】（24-25八年级·安徽合肥·期末）当时，下列分式中，值为0的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（24-25八年级·湖北襄阳·期末）当 时，分式的值为零．
【题型4 列代数式（分式）】
【例4】（24-25八年级·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25八年级·山西晋城·阶段练习）已知A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别为、，当甲、乙两人第二次相距时，行驶时间为 h．
【变式4-2】（24-25八年级·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
【变式4-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元．
【题型5 求分式的值】
【解题方法】根据已知条件变形，或用一个字母来表示所有的字母然后带入求解。
【例5】（24-25八年级·贵州毕节·期末）已知 ，则值为（ ）
A．10 B．11 C．15 D．16
【变式5-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）已知，则 ．
【变式5-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
【变式5-3】（24-25八年级·山东日照·期末）若，则=（ ）
A．8 B． C．8或 D．无法确定
【题型6 分式的规律性问题】
【例6】（24-25八年级·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数）
【变式6-1】（24-25八年级·天津·期末）观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是 ；
（2），，，，…其中第6个分式是 ；
（3），，，，…其中第n个分式是 （n为正整数）．
【变式6-2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列一组分式：， ，，，…．根据你的发现，第8个分式是 ．
【变式6-3】（24-25八年级·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】
【例7】（24-25八年级·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．8
【变式7-1】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【变式7-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ．
【变式7-3】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 ．
【题型8 按要求构造分式】
【例8】（24-25八年级·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是；
（3）当时，分式的值为．
你所写的分式为
【变式8-1】（24-25八年级·江苏南京·期中）请你写出一个值恒为正数的分式 ．
【变式8-2】（24-25八年级·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ．
【变式8-3】（24-25八年级·安徽安庆·期中）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】
【解题方法】现将分子分母能进行因式分解的式子进行因式分解，若分式的值大于0，则分子分母同号，若分式的值小于0，则分子分母异号，以此建立不等式组求解。注意始终要考虑分母不能为0。
【例9】（24-25八年级·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（24-25八年级·北京房山·期中）若分式的值为正数，则满足
【变式9-2】（24-25八年级·全国·单元测试）如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【变式9-3】（24-25八年级·四川凉山·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
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专题5.1 分式【九大题型】
【北师大版】
【题型1 分式的定义】 1
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】 3
【题型3 分式值为零的条件】 4
【题型4 列代数式（分式）】 5
【题型5 求分式的值】 7
【题型6 分式的规律性问题】 9
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】 11
【题型8 按要求构造分式】 14
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】 15
知识点1：分式的定义
一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
分式满足的三个条件：①式子一定是的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。
简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。
【题型1 分式的定义】
【解题方法】观察式子的分母是否有字母，若有则是分式，若没有则不是。
【例1】（24-25八年级·山东淄博·阶段练习）在式子中，分式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案．
【详解】解：式子中，分式有，共2个，
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级·江苏徐州·阶段练习）下列各式、、、不是分式的是
【答案】
【分析】根据分式的定义：形如，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【详解】解：、、、中：、、是分式，共3个，
分母不含字母，不是分式，是整式；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键
【变式1-2】（24-25八年级·重庆江北·期中）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式的定义对各选项进行分析即可得到答案．熟记分式定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是整式，不符合题意；
B、是整式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、是整式，不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（2024八年级·全国·专题练习）在①，②，③，④，⑤中，是分式的有 （填序号）
【答案】②④⑤
【分析】利用分式的定义，依次判断，其中注意是常数．
【详解】解：由分式的定义知
不是分式；是分式；不是分式；是分式；是分式；
故分式有：、、，共3个，
故答案是：②④⑤．
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是：理解分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母．
知识点2：分式有意义的条件
即要求分式的分母不能为0。即中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，让每一个因式都不为0。
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】
【解题方法】结合分母不能为0建立不等式求解，若式子中含有偶次根号，考虑被开方数大于等于0。
【例2】（24-25八年级·上海·期中）当x满足条件 时，分式有意义．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，则分式的分母不为0，据此即可解答．
【详解】解：当，即时，分式有意义．
故答案为：
【变式2-1】（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知式子有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键．利用使分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得且，
解得且．
故答案为：且．
【变式2-2】（24-25八年级·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件．
【详解】解：当时，，
∴当时，分式没有意义，
故选：．
【变式2-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）若分式有意义，请写出一个满足要求的x的值 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：要使分式有意义，
即，
则．
故时分式有意义．
故答案为：0（答案不唯一）．
知识点3：分式值为零的条件
分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即中，A＝0，B≠0。
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不等于0。
【题型3 分式值为零的条件】
【解题方法】利用分子的式子等于0，分母的式子不等于0建立方程与不等式进行计算即可。
【例3】（24-25八年级·甘肃定西·期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项C、D，然后把代入A、B选项计算即可判断．
【详解】解：当时，，则分式，无意义；，则分式，有意义，故排除选项C、D，
当时，，，故选项A符合题意，选项B不符合题意，
故选：A．
【变式3-1】（24-25八年级·广东茂名·期末）若分式的值为零，则 ．
【答案】-2
【分析】根据分式的值为零的条件分子为零、分母不为零可以求出的值．
【详解】解：根据题意，得
，且、；
解得；
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．
【变式3-2】（24-25八年级·安徽合肥·期末）当时，下列分式中，值为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求分式的值，将分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义，正确计算是解题的关键．
【详解】解：A.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意；
B.当时，，结论正确，符合题意；
C.当时，分式无意义，结论错误，不符合题意；
D.当时，，结论正确，符合题意；
故选：B．
【变式3-3】（24-25八年级·湖北襄阳·期末）当 时，分式的值为零．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式．熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题的关键．
由题意知，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，，
∴，
故答案为：．
【题型4 列代数式（分式）】
【例4】（24-25八年级·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可．
【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天，
这些消毒液提前天用完．
故选：C．
【变式4-1】（24-25八年级·山西晋城·阶段练习）已知A、B两地相距，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别为、，当甲、乙两人第二次相距时，行驶时间为 h．
【答案】
【分析】本题主要考查了列分式，解题的关键是理解题意，根据速度、路程和时间的关系，列出分式即可．
【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人第二次相距时，两人所行驶的路程之和为，
两人的速度之和为，
行驶的时间为．
故答案为：．
【变式4-2】（24-25八年级·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】C
【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩．
【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，
∴两班在这次测验中的总分为：分，
∴两班在这次测验中的总平均分是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
【变式4-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少 元．
【答案】
【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键．
【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：元，
当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：元，
则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：元，
故答案为：．
【题型5 求分式的值】
【解题方法】根据已知条件变形，或用一个字母来表示所有的字母然后带入求解。
【例5】（24-25八年级·贵州毕节·期末）已知 ，则值为（ ）
A．10 B．11 C．15 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案．
【详解】解：∵，且根据题意有：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：C．
【变式5-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】设，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
【详解】设，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查为了分式的求值，设是解答本题的关键．
【变式5-2】（24-25八年级·福建厦门·期末）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
【答案】5
【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：5．
【变式5-3】（24-25八年级·山东日照·期末）若，则=（ ）
A．8 B． C．8或 D．无法确定
【答案】B
【分析】由可得，再把变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，，
∴=，
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及求代数式值，把和进行正确变形是解答本题的关键．
【题型6 分式的规律性问题】
【例6】（24-25八年级·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：，，，，……（），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数）
【答案】
【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为，，，，即得出规律，从而得出第n个分式．
【详解】解：第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
……，
∴第n个数为．
故答案为：．
【变式6-1】（24-25八年级·天津·期末）观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是 ；
（2），，，，…其中第6个分式是 ；
（3），，，，…其中第n个分式是 （n为正整数）．
【答案】
【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,
【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是
【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
【变式6-2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列一组分式：， ，，，…．根据你的发现，第8个分式是 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组分式的规律是，当时，代入求解即可得到答案，准确找准分式的规律是解决问题的关键．
【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是；
观察分子，则分子规律为；
观察分母，则分母规律为 ；
这组分式的规律是，
当时，，
故答案为：．
【变式6-3】（24-25八年级·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案．
【详解】解：第一个分式为：，
第二个分式为：，
第三个分式为：，
第四个分式为：，
第五个分式为：，
，
按此规律，那么这列分式中的第n个分式为，
故选：C．
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】
【例7】（24-25八年级·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可．
【详解】解：，
∵分式的值为整数，
∴的值为整数，
∴，
∵也是整数，
∴，
解得：；
故选D．
【变式7-1】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数得或2或3或6，求得的值即可求解，根据题意得或2或3或6是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值是整数，
是6的约数，即或2或3或6，
解得：（舍去）或1或2或5，
则满足条件的所有正整数m的和为．
故选：B．
【变式7-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ．
【答案】
【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解．
【详解】解：∵及都是正整数，
∴，
即，
解得：，
故当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故所有满足条件的的值有：、、，
∴所有满足条件的的值的和是．
故答案为：．
【变式7-3】（24-25八年级·四川成都·阶段练习）已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 ．
【答案】0
【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可．
【详解】解：
，
为整数，分式的值也为整数，
当时，分式，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
满足条件的的值为、、、，
所有满足条件的数的和为，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
【题型8 按要求构造分式】
【例8】（24-25八年级·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是；
（3）当时，分式的值为．
你所写的分式为
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）将代入后，分式的分子、分母互为相反数．
【详解】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；
根据（2）分式有意义时，a的取值范围是，可知当时，分式的分母等于零；
根据（3）当时，分式的值为，可知把代入后，分式的分子、分母互为相反数．
综上可知，满足条件的分式可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0是解题的关键．
【变式8-1】（24-25八年级·江苏南京·期中）请你写出一个值恒为正数的分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据条件写出分式即可．
【详解】解：一个值恒为正数的分式为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是注意两个条件：①值恒为正数；②是分式．
【变式8-2】（24-25八年级·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则称为分式，根据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式．
【详解】解：2和可构造分式，答案不唯一，以或为分母均可．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式8-3】（24-25八年级·安徽安庆·期中）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．
【答案】，，
【详解】根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当x=±1时的值为0；根据求分式的值的方法，由丙的叙述可知，把x=-2代入此分式，得分式的值为1，可知所求分式可以是，，等，答案不唯一．
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】
【解题方法】现将分子分母能进行因式分解的式子进行因式分解，若分式的值大于0，则分子分母同号，若分式的值小于0，则分子分母异号，以此建立不等式组求解。注意始终要考虑分母不能为0。
【例9】（24-25八年级·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，
∴，
解得．
故选：D．
【变式9-1】（24-25八年级·北京房山·期中）若分式的值为正数，则满足
【答案】/
【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．
【详解】根据题意有：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式9-2】（24-25八年级·全国·单元测试）如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于分式 的值为负数，而分子为正数，则分母小于0，然后解不等式即可；
【详解】解：当1-2x＜0时,分式的值为负数,即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是分析得到关于x的不等式
【变式9-3】（24-25八年级·四川凉山·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，，
解得且，
即x的取值范围是且．
故答案为：且
【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．
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