中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.5 图形的平移与旋转全章专项复习【4大考点15种题型】
【北师大版】
【考点1 图形的平移】 1
【题型1 平移的概念】 1
【题型2 平移的性质】 3
【题型3 简单平移作图】 4
【题型4 点沿坐标轴方向的平移】 6
【题型5 图形沿坐标轴方向的平移】 6
【考点2 图形的旋转】 8
【题型6 旋转的相关概念】 8
【题型7 旋转的性质及应用】 9
【题型8 旋转作图】 10
【题型9 确定旋转中心】 12
【题型10 与旋转有关的全等三角形】 13
【考点3 中心对称】 15
【题型11 中心对称的概念与性质】 15
【题型12 画与原图成中心对称的图形】 17
【题型13 中心对称图形的概念】 18
【考点4 简单的图案设计】 19
【题型14 分析图案的形成过程】 19
【题型15 简单的图案设计】 21
【考点1 图形的平移】
(1)平移的定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
【题型1 平移的概念】
【例1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
【变式1-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（ ）
A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千
C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶
【变式1-2】（23-24八年级·安徽宿州·期末）现实世界中平移现象无处不在，下列汉字可由其中一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北孝感·阶段练习）我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”；按此方法，若输入数字密码，则最后输出口令为 ．
【题型2 平移的性质】
【例2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，长方形中，线段、相交于点O，，，那么三角形可以看作由 平移得到的．
【变式2-1】（23-24八年级·北京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2．
【变式2-2】（23-24八年级·甘肃武威·期末）某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（ ）m2．
A．9 B．11 C．18 D．27
【变式2-3】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ．
【题型3 简单平移作图】
【例3】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，．
(1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标；
(2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________；
(3)求四边形的面积．
【变式3-1】（23-24八年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
(1)请你作出平移后的图形；
(2)线段与的关系是：______
【变式3-2】（23-24八年级·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，把经过平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，点的对应点为．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)求的面积．
【变式3-3】（23-24八年级·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示．
(1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形；
(2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形．
【题型4 点沿坐标轴方向的平移】
【例4】（23-24八年级·广西百色·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级·云南怒江·期中）将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24八年级·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
【变式4-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是
【题型5 图形沿坐标轴方向的平移】
【例5】（23-24八年级·贵州·期中）如图，把图1中的经过一定的变换得到图2中的，如果图1中上点P的坐标为，那么这个点在图2中的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，在边长为1的小正力形组成的网格中，点A，B，C部在格点上，若将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，则线段AB扫过的面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式5-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【考点2 图形的旋转】
（1）旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
（2）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等。
【题型6 旋转的相关概念】
【例6】（23-24八年级·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·甘肃庆阳·期末）如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（ ）
A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为
C． D．旋转中心为点A
【题型7 旋转的性质及应用】
【例7】（23-24八年级·贵州黔南·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ．
【变式7-1】（23-24八年级·江苏常州·期末）如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合．
【变式7-2】（23-24八年级·天津静海·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 ．
【题型8 旋转作图】
【例8】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【变式8-1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
【变式8-2】（23-24八年级·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）．
【变式8-3】（23-24八年级·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 ；
(2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）．
【题型9 确定旋转中心】
【例9】（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个．
【变式9-1】（23-24八年级·辽宁营口·期末）如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
【变式9-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【题型10 与旋转有关的全等三角形】
【例10】（23-24八年级·天津河西·期末）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．
(1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
(2)当旋转角为时，连接，求的值．
(3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
【变式10-1】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式10-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．
(1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数；
(2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明．
【变式10-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∵绕点C顺时针旋转得到
∴，
∴为_________三角形，
∴
∵
∴
∴
由几何公理：_____________可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．
②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．
(2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；
(3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．
【考点3 中心对称】
(1)中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
(2)中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型11 中心对称的概念与性质】
【例11】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【变式11-1】（23-24八年级·四川成都·期末）若点与点关于原点对称，则，的值分别为（ ）
A．，2 B．3， C．， D．3，2
【变式11-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．
【变式11-3】（23-24八年级·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【题型12 画与原图成中心对称的图形】
【例12】（23-24八年级·新疆和田·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个．
(1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标；
(2)求出的面积．
【变式12-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全．
【变式12-2】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作关于点对称的；
(2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【变式12-3】（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上．
(1)作，使与关于原点成中心对称．
(2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标．
【题型13 中心对称图形的概念】
【例13】（23-24八年级·北京平谷·期末）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所
C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所
【变式13-1】（23-24八年级·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”）
【变式13-2】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点 B．点
C．线段的中点 D．线段的中点
【变式13-3】（23-24八年级·江西上饶·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
【考点4 简单的图案设计】
【题型14 分析图案的形成过程】
【例14】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【变式14-1】（23-24八年级·全国·单元测试）经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是( )
A． B． C． D．
【变式14-2】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处( )
A．A B．B C．C D．D
【变式14-3】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
【题型15 简单的图案设计】
【例15】（23-24八年级·湖南·期中）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形．
【变式15-1】（23-24八年级·广西·期中）图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【变式15-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．
(1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；
(2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．
【变式15-3】（2024·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
1
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.5 图形的平移与旋转全章专项复习【4大考点15种题型】
【北师大版】
【考点1 图形的平移】 1
【题型1 平移的概念】 1
【题型2 平移的性质】 4
【题型3 简单平移作图】 6
【题型4 点沿坐标轴方向的平移】 10
【题型5 图形沿坐标轴方向的平移】 12
【考点2 图形的旋转】 15
【题型6 旋转的相关概念】 15
【题型7 旋转的性质及应用】 18
【题型8 旋转作图】 21
【题型9 确定旋转中心】 25
【题型10 与旋转有关的全等三角形】 28
【考点3 中心对称】 38
【题型11 中心对称的概念与性质】 38
【题型12 画与原图成中心对称的图形】 41
【题型13 中心对称图形的概念】 45
【考点4 简单的图案设计】 47
【题型14 分析图案的形成过程】 47
【题型15 简单的图案设计】 50
【考点1 图形的平移】
(1)平移的定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
【题型1 平移的概念】
【例1】（23-24八年级·湖南长沙·期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
【答案】 ② ① ③
【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可．
【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；
观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少．
故答案为：②，①，③
【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则．
【变式1-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）下列物体的运动属于平移的是（ ）
A．汽车方向盘的转动 B．小红荡秋千
C．电梯上顾客的升降运动 D．火车在弯曲的铁轨上行驶
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的平移现象；根据平移的定义：将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动方式叫做平移，进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 汽车方向盘的转动，不是平移，不符合题意；
B. 小红荡秋千，不是平移，不符合题意；
C. 电梯上顾客的升降运动,是平移，符合题意；
D. 火车在弯曲的铁轨上行驶，不是平移，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（23-24八年级·安徽宿州·期末）现实世界中平移现象无处不在，下列汉字可由其中一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可．
【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到，
∴“”可以通过平移得到．
故选：A．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北孝感·阶段练习）我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”；按此方法，若输入数字密码，则最后输出口令为 ．
【答案】数学
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，平移．
根据题意得出平移方法为向上平移2格，向右平移1格，即可解答．
【详解】解：由图可知“相交”向上平移2格，向右平移1格得到“平行”，
∵数字密码对应的口令为“文化”，
∴最后数出密码为“数学”，
故答案为：数学．
【题型2 平移的性质】
【例2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，长方形中，线段、相交于点O，，，那么三角形可以看作由 平移得到的．
【答案】
【分析】根据平移的性质，可得答案．
【详解】解：在长方形中，、相交于点O，，，那么三角形可以看作是三角形平移得到的，平移的距离是线段的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【变式2-1】（23-24八年级·北京·期中）在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为 cm2．
【答案】25
【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积．
【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为(cm2)，
故答案为：25
【点睛】本题考查了图形的平移，认真观察图形的形成过程是解题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级·甘肃武威·期末）某酒店准备在一个楼梯铺设一种地毯，已知楼梯的宽为2米，楼梯的侧面如图所示，则买地毯的面积至少是（ ）m2．
A．9 B．11 C．18 D．27
【答案】C
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质可得，所铺地毯的长为，再根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：C．
【变式2-3】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形．若的长度为2025，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要平移的性质，根据平移得到，从而可得与n的关系式，根据即可求解．
【详解】解：由题意可得点B向右平移4个单位长度得到点，点向右平移4个单位长度得到点，……，点向右平移4个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：，
故答案为：．
【题型3 简单平移作图】
【例3】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，．
(1)把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标；
(2)若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析，，，
(2)
(3)
【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）由（1）得平移规律，再进行解答即可；
（3）利用梯形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求．
，，．
（2）解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：．
【变式3-1】（23-24八年级·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应．
(1)请你作出平移后的图形；
(2)线段与的关系是：______
【答案】(1)见解析；
(2)平行且相等
【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可；
（2）根据平移的性质进行判断．
【详解】（1）解：如图，△DEF为所作；
；
（2）解：线段与的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，把经过平移后得到，点，，的对应点分别为点，，，点的对应点为．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的平移，平移作图，求网格中三角形的面积，
对于（1），将点向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点，可知点A，B，C的平移方式与其相同，即可得出点D，E，F，然后依次连接可得答案；
对于（2），根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案．
【详解】（1）∵对应的点为，
∴点向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点，
∴点A，B，C的平移方式与其相同，
∴如图所示：
（2）．
【变式3-3】（23-24八年级·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示．
(1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形；
(2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形．
【答案】(1)原来图案向右平移4个单位得到新图案，作图见解析
(2)原来图案向下平移3个单位得到新图案，作图见解析
【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，点的横坐标坐标右加左减，纵坐标上加下减．
（1）将原来，，，四个点的横坐标都加上4，得到，，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得
（2）将，，，四个点的纵坐标都减 ，得到，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得．
【详解】（1）解：如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的；
（2）如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的．
【题型4 点沿坐标轴方向的平移】
【例4】（23-24八年级·广西百色·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点B的对应点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反．
直接利用点的平移变化规律求解即可．
【详解】解：∵点横坐标从到2，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了，
故线段是由线段经过向右移动5个单位，向下移动3个单位得到的，
∵点B的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即．
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·云南怒江·期中）将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答．
【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即，
再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即．
故选：B
【变式4-2】（23-24八年级·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】C
【分析】本题考查点的平移．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点；
故选C．
【变式4-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，线段进行平移得到线段，点A的对应点是点C，，，，，若，则c的值是
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握平移的性质是解的关键．由题意可知，由，得出，即可得出，解得或，根据平移的性质，得出，然后分或两种情况解方程组即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，
，
，
，
或，
线段进行平移得到线段，
，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得，
∴c的值是12或4．
故答案为：12或4．
【题型5 图形沿坐标轴方向的平移】
【例5】（23-24八年级·贵州·期中）如图，把图1中的经过一定的变换得到图2中的，如果图1中上点P的坐标为，那么这个点在图2中的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象得经过平移得到，再由对应点得出平移方式即可求解．
【详解】解：根据图象得经过平移得到，
∵，，
∴平移方式为：向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，
∴P的坐标为，的坐标为，
故选：C．
【点睛】题目主要考查图象的平移，根据图象得出平移方式是解题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，在边长为1的小正力形组成的网格中，点A，B，C部在格点上，若将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，则线段AB扫过的面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】观察图象可知线段AB扫过的图形是正方形，求出正方形的边长即可解决问题．
【详解】解：由题意，AB==．
线段AB扫过的图形是正方形ABCD，所以线段AB扫过的面积=（）2=10．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，正方形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是、，右图中左眼的坐标是，，则右图案中右眼的坐标是 ，左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的平移；根据两眼的距离为2，得出右图案中右眼的横坐标为，即可得出右图案中右眼的坐标；根据左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，即可得出点平移后的坐标，即可求解．
【详解】解：∵左图案中左右眼睛的坐标分别是、，
∴两眼间的距离为2，且平行于轴，
∵右图中左眼的坐标是，
∴右图案中右眼的横坐标为．
则右图案中右眼的坐标是．
∵左眼的坐标从平移到右图中左眼的坐标是，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴左图内有一点经过上述平移后，对应点坐标为
故答案为：，．
【变式5-3】（23-24八年级·北京·期中）如图，第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
【答案】或．
【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
设平移后点P、Q的对应点分别是．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上．
【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是．
分两种情况：
①在y轴上，在x轴上，
则横坐标为0，纵坐标为0，
∴，
∴点P平移后的对应点的坐标是；
②在x轴上，在y轴上，
则纵坐标为0，横坐标为0，
∴，
∴点P平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是或．
故答案为：或．
【考点2 图形的旋转】
（1）旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
（2）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等。
【题型6 旋转的相关概念】
【例6】（23-24八年级·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解．
【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍，
故选C．
【变式6-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．
根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案．
【详解】
解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意；
B. 属于旋转现象，故选项不符合题意；
C. 属于旋转现象，故选项不符合题意；
D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意；
故选：．
【变式6-2】（23-24八年级·甘肃庆阳·期末）如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点，
∴下列角一定等于的是．
故选A．
【变式6-3】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（ ）
A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为
C． D．旋转中心为点A
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，
∴旋转角为：，，旋转中心为点A，
根据网格可知：，
∴，故A、B、D正确，不符合题意；
∵，
∴，故C错误，符合题意．
故选：C．
【题型7 旋转的性质及应用】
【例7】（23-24八年级·贵州黔南·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、平行线的性质．由旋转得，则．根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解∶由旋转得， ，
．
，
故答案为：．
【变式7-1】（23-24八年级·江苏常州·期末）如图所示，将等边三角形ABC分割成大小相同的9个小等边三角形，分别标上数字1，2，3，…，9，那么标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，可以和标有数字 的小等边三角形重合．
【答案】7
【详解】解：由题意可得：标有数字2的小等边三角形绕它下面的顶点O旋转180°，
可以和标有数字7的小等边三角形重合．
故答案为7．
【变式7-2】（23-24八年级·天津静海·期末）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
【答案】 10
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，，，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）在中，，，，
；
故答案为：10；
（2）由旋转的性质可知，，，，，
，，
，
故答案为：．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
（1）旋转中心是 ，
（2）旋转角为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解．
【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
根据网格可得
②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
根据网格可得
综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为
故答案为或；．
【题型8 旋转作图】
【例8】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．
(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，
故选：A．
（2）解：如图，即为所求作，点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．
【变式8-1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)，，
【分析】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，求解三角形的面积；
（1）分别确定绕顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据的位置可得其坐标；
（3）根据皮克定理可得，，再进一步利用公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由图可得：；
（3）解：由图形可得：，，
∴．
【变式8-2】（23-24八年级·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，点的坐标为，点的坐标为．将绕点顺时针旋转得到，画出旋转后的（点，的对应点分别为点，）．
【答案】图见解析
【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换，根据网格特点和旋转性质，得到对应点的位置，然后顺次连接即可求解．
【详解】解：如图，即为所求作：
【变式8-3】（23-24八年级·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 ；
(2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）．
【答案】(1)
(2)画图见解析
【分析】本题考查的是画旋转图形，求解旋转对应点的坐标；
（1）先画出绕点C顺时针旋转得到，再写出其坐标即可；
（2）分别确定绕原点O顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为旋转后的线段，
∴．
（2）解：如图，即为所求：
【题型9 确定旋转中心】
【例9】（23-24八年级·上海浦东新·期末）如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个．
【答案】3
【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案．
【详解】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合；
以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合；
以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合；
则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．
故答案为：3
【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·辽宁营口·期末）如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 .（填“”或“”或“”）
【答案】 平移
【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心.
【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到；
根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A.
故填平移；A.
【点睛】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.
【变式9-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，，
故选：D．
【变式9-3】（23-24八年级·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．
【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接，
设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理得，，
和的每一组对应顶点到点C的距离都相等，
两个格点和的旋转中心是点C，
故选：C.
【题型10 与旋转有关的全等三角形】
【例10】（23-24八年级·天津河西·期末）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．
(1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
(2)当旋转角为时，连接，求的值．
(3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)的面积为6
【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论．
（2）过点作于，由勾股定理可求出答案；
（3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论．
【详解】（1）过点作于，
由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．
过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式10-1】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出；
（2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得．
【详解】（1）证明：由题意可知，，
∴，即．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，设相交于点F，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
【变式10-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．
(1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数；
(2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接，由题意得，即，，推出，由旋转的性质得到，进而得到，易得，根据F为的中点，得到，易证，，推出，即可求解；
（2）延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．证明，，即可证明结论．
【详解】（1）解：补全图1，如图，连接，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
F为的中点，
，
，，
，
同理，
，
，
，
；
（2），
证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．
是的中点，
．
，，
．
．
．
．
在中，
．
，，
．
．
．
，
．
．
．
．
【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
【变式10-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程：
①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∵绕点C顺时针旋转得到
∴，
∴为_________三角形，
∴
∵
∴
∴
由几何公理：_____________可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°．
②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略．
(2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值；
(3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．
【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析
(2)7
(3)
【分析】（1）①根据题目所给的推理步骤即可解答；②当时，根据大边对大角得出，进而求出顶点A到另两个顶点距离和最小，即可求证；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， 求出，则，根据勾股定理可得：，最后根据勾股定理得出即可求解；
（3）根据题意可得：总的铺设成本为万元，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求出，则当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，用和（2）同样的方法求解即可．
【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由几何公理：两点之间选的最短，可得：
∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴顶点A到另两个顶点距离和最小，
∵，
∴，
∴当点P和点A重合时，取最小值，
即此时的A点为该三角形的“费马点”．
（2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，
延长，过点作延长线的垂线，垂足为D，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则
根据勾股定理可得：，
∴；
（3）解：根据题意可得：
总的铺设成本为万元，
将绕点C顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，则，
当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
根据勾股定理可得：，
即最小值为，
∴总铺设成本最少为万元．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
【考点3 中心对称】
(1)中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
(2)中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型11 中心对称的概念与性质】
【例11】（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质．
根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，，
，，
，
与关于点中心对称，
，，，，
在中，根据勾股定理，
得，
故答案为∶．
【变式11-1】（23-24八年级·四川成都·期末）若点与点关于原点对称，则，的值分别为（ ）
A．，2 B．3， C．， D．3，2
【答案】C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故选：C．
【变式11-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，与关于点中心对称，若点，分别在、上，且，求证：．
【答案】见详解
【分析】因为与关于点中心对称，所以，，因为，
所以，即，结合，得证，即可作答．
【详解】证明：因为与关于点中心对称，
所以
所以，，
因为，
则
所以，
因为
所以
即，
因为，
所以，
则
【点睛】本题考查了成中心对称的图形特征以及全等三角形的判定与性质，成中心对称的两个图形必定能重合，难度较小．
【变式11-3】（23-24八年级·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点关于点的对称点，
∴，
∴，，
∴，
同理可得点，，，，，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点与点坐标相同，即．
故选：D．
【题型12 画与原图成中心对称的图形】
【例12】（23-24八年级·新疆和田·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个．
(1)作出关于原点O对称的，并写出各顶点的坐标；
(2)求出的面积．
【答案】(1)做图见详解；；
(2)
【分析】本题主要考查了作图——旋转变换、三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是正确解答此题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的；由图可得：；
（2）解：的面积为．
【变式12-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全．
【答案】见解析
【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可．
【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求．
【变式12-2】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作关于点对称的；
(2)在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点、、，再顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质，分别作出点B、C绕点A顺时针方向旋转得到对应点、，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
；
（2）解：如图，即为所作；
．
【变式12-3】（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上．
(1)作，使与关于原点成中心对称．
(2)已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点
【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解，
（2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解，
本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题的关键是：熟练掌握中心对称的性质．
【详解】（1）解：如图可得：，，，原点对称得：，，，
画图如下：
即为所求，
（2）解：连接、，交点即为点，画图如下：
点即为所求，
∵与关于点成中心对称，且，，
所以对称中心的坐标为，即：，
故答案为：．
【题型13 中心对称图形的概念】
【例13】（23-24八年级·北京平谷·期末）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．东北地理与农业生态研究所 B．山西煤炭化学研究所
C．生态环境研究中心 D．西安光学精密机械研究所
【答案】B
【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可得到答案．
【详解】解：将一个图形旋转后仍然与原图形重合，故此图形为中心对称图形，
A、东北地理与农业生态研究所不是中心对称图形，故选项A不符合题意，
B、山西煤炭化学研究所是中心对称图形，故选项B符合题意；
C、生态环境研究中心不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、西安光学精密机械研究所不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选B．
【变式13-1】（23-24八年级·辽宁营口·期末）蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”）
【答案】中心对称
【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形，
故答案为：中心对称．
【变式13-2】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点 B．点
C．线段的中点 D．线段的中点
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：∵此图形是中心对称图形，
∴对称中心是线段的中点．
故选：．
【变式13-3】（23-24八年级·江西上饶·期末）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为，当= 时，两张硬纸片所构成的图形为中心对称图形.
【答案】或或
【分析】本题考查了利用旋转设计图案的知识，首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是，可得它至少旋转，据此解答即可．
【详解】解：要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它旋转角度需是的整数倍，且旋转后三角形不能与原三角形重合，
所以旋转角可以是或或．
故答案为：或或．
【考点4 简单的图案设计】
【题型14 分析图案的形成过程】
【例14】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （ ）
A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移
【答案】D
【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答．
【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意；
图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移．
故选：D．
【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
【变式14-1】（23-24八年级·全国·单元测试）经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A.经过平移可得到图形；
B.经过平移和旋转可得到图形；
C. 经过平移、旋转或轴对称的变换后，都不能得到图形；
D.经过旋转可得到图形.
故选C.
【变式14-2】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】观察图形，发现原图是后单位图形平移得到，据此即可求解．
【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，
∴空白处应该为：
故选B．
【点睛】本题考查了图案设计，平移的性质，观察得出单位图形是解题的关键．
【变式14-3】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现.
【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合.
故选B.
【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作.
【题型15 简单的图案设计】
【例15】（23-24八年级·湖南·期中）下图是2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另个两个不同的图案．画图要求：（1）每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠；（2）所设计的图案（不含方格纸）必须一个是中心对称图形，另一个是轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】根据要求分别设计两个图案即可．
【详解】解：中心对称图形：
轴对称图形
【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计图案，关键是理解中心对称和轴对称的概念，按照要求作图．
【变式15-1】（23-24八年级·广西·期中）图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析
【分析】（1）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可；
（2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可．
【详解】（1）解：如图①，作点B关于直线的对称点D，
四边形即为所求作；
（2）解：如图②，四边形即为所求作．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【变式15-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．
(1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；
(2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形；
（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
【详解】（1）所求图形，如图所示．
．
（2）所求图形，如图所示．
．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．
【变式15-3】（2024·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；
（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．
．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．
1
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
