第6章 平行四边形单元提升卷
【北师大版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
2．（3分）（24-25八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在正五边形的内部，以边为边作等边三角形，连接，则度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，中，是的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
6．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
7．（3分）（24-25八年级·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（3分）（24-25八年级·重庆忠县·期末）如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
10．（3分）（24-25八年级·重庆北碚·期末）如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（ ）
A．30 B．15 C．40 D．20
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上， ，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以点D、点E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 F，过点O作射线，交于点P，则点P的坐标为 ．
12．（3分）（24-25八年级·河北沧州·期末）已知点，，，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
13．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ．
14．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则
15．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
16．（3分）（24-25八年级·湖南怀化·期末）如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25八年级·山东威海·期末）已知：如图，为对角线上的两点，且___________．求证：四边形是平行四边形．请你在①；②；③中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明．
18．（6分）（24-25八年级·江西新余·期中）请看图解答下列问题：
(1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？
(2)小华求的是几边形的内角和？
19．（8分）（24-25八年级·江苏淮安·期末）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，平分，则的长为________．
20．（8分）（24-25八年级·重庆开州·期末）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，为的中点，求的度数．
21．（8分）（24-25八年级·四川成都·期末）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形；
(3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）．
22．（8分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．
【问题解决】
(1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数；
(2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”．
①若是等腰三角形，求的度数；
②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）．
23．（8分）（24-25八年级·山东济南·期末）综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ，
（2）请直接写出与之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想 若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积．
1第6章 平行四边形单元提升卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（3分）（24-25八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在正五边形的内部，以边为边作等边三角形，连接，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质得，，根据正多边形的性质及内角和得，，继而得到，，再根据等边三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形和正多边形的性质，多边形的内角和，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，多边形的内角和．
3．（3分）（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∵，平分，
∴，
又，
∴，故B正确，不符合题意；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
如图，过点E作，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
4．（3分）（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图，中，是的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识并灵活运用．在上取点，使得，连接，易得为的中位线，所以，再证明为等腰三角形，可得，然后由可得答案．
【详解】解：如图，在上取点，使得，连接，
则，
∵是的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，
所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
故选：C．
【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°．
6．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案．
【详解】
过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E
∵在中，AO=OC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识．
7．（3分）（24-25八年级·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可
【详解】解：∵，即且
∴四边形是平行四边形，
∴故①正确；
∵
∴
∴
∵
∴
又，即
∴四边形是平行四边形，
∴故②正确；
设间的距离为，
∴
∴故③正确；
又
∵
∴故④正确；
综上，正确的绪论是①②③④，共4个，
故选：D
8．（3分）（24-25八年级·重庆忠县·期末）如图，点，，分别是边长为2的等边三边的中点，动点从顶A出发第1次移动到点，到点后，先在中顺时针方向移动到点，再在中顺时针方向移动到点，以后按前两次到点后的移动方向不断地重复移动，若每次移动1个单位长度，那么第2025次移动后动点的位置是点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，规律探究图形的变化规律，发现规律是解题的关键．
罗列前十次发现规律，利用规律解答第2025次后动点的位置即可．
【详解】解：∵点，，分别是边长为2的等边三边的中点，
∴，
第一次移动到点，
第二次移动到点，
第三次移动到点，
第四次移动到点，
第五次移动到点，
第六次移动到点，
第七次移动到点，
第八次移动到点，
第九次移动到点，
第十次移动到点，
，
每9次一循环，
，
第2025次移动后动点的位置是点．
故选：A．
9．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，证得△ABO≌△MBO（ASA），再证明四边形AMCF是平行四边形，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10．（3分）（24-25八年级·重庆北碚·期末）如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（ ）
A．30 B．15 C．40 D．20
【答案】B
【分析】由题意先根据ASA证明△ADF≌△ECF，推出，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF⊥AE．设AF=x，BF=y，由∠ABF＜∠BAF可得x＜y，进而根据勾股定理以及△ABE的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，
∴∠DAF=∠E．
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴，
∴．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠DAF=∠E，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE，
∴BF⊥AE．
设AF=x，BF=y，
∵∠D为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D是钝角，
∴∠D＜∠DAB，
∴∠ABC＜∠DAB，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，x＜y．
则有，解得：或（舍去），
即AF=15．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出以及BF⊥AE是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上， ，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以点D、点E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 F，过点O作射线，交于点P，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】延长交y轴于点G，根据平行四边形的性质可得，从而可得轴，再根据直角三角形的性质可得，，利用勾股定理求得，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再由等角对等边可得，可得，即可求解．
【详解】解：延长交y轴于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意得，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图 角平分线、坐标与图形、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质及角平分线的定义，熟练掌握掌握角平分线的作法得出平分是解题的关键．
12．（3分）（24-25八年级·河北沧州·期末）已知点，，，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为 ．
【答案】，，
【分析】根据题意画出图形，由平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标．
【详解】解：①当如图1时，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四边形ABMC是平行四边形，
∴M（3，2）；
②当如图2所示时，同①可知，M（-3，2）；
③当如图3所示时，过点M作MD⊥x轴，
∵四边形ACBM是平行四边形，
∴BD=OA=1，MD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴M（5，-2）；
综上所述，点M坐标为（3，2）、（-3，2）、（5，-2）.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，利用分类讨论思想是本题的关键．
13．（3分）（24-25八年级·浙江绍兴·期末）已知六边形的每个内角为，其中，，，，且此六边形的周长为2024，则x的值为 ．
【答案】164
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、多边形的内角与外角的关系构造等边三角形、根据等边三角形的三边相等的性质求解成为解题的关键．
延长并反向延长、、，构成一个等边三角形，再利用六边形的各边和周长与各边的关系列出等量关系是，即可解出．
【详解】解：如图，分别延长、，相交于点G，分别延长、，相交于点H，分别延长、，相交于点M．
，
∵六边形的每个内角为，，，，，
∴六边形每个外角为，
∴、、、都是等边三角形，
，，，
，
设，，
，
，
即，
；
故答案为：164．
14．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点O为等边边的中点．以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则
【答案】9
【分析】延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．证明，得出，得出，再通过平行四边形的性质证明为中点，，再证明，，得出，再证明，证出为等边三角形，得出，即可求解；
【详解】解：延长到N，使．连接，并延长交于．连接在上截取．连接．
，
，
，
O为中点，
，
延长使得，连接，
∵，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：9．
【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
15．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
【答案】3
【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，
可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
16．（3分）（24-25八年级·湖南怀化·期末）如图，已知的面积为a，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hCF的值即可．
【详解】解：连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，
同理△ADE的面积和△AME的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是×CF×hCF，
∵△ABC的面积是，，
∴BC×hBC＝×3CF×hCF＝a，
∴CF×hCF＝a，
∴阴影部分的面积是CF×hCF＝ a＝，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（24-25八年级·山东威海·期末）已知：如图，为对角线上的两点，且___________．求证：四边形是平行四边形．请你在①；②；③中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明．
【答案】①或②，证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先添加：①，如图，连接，交于，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；添加：②；证明，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；添加：③，不能证明，从而不能证明四边形是平行四边形．
【详解】解：添加：①，理由如下：
如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加：②；理由：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
添加：③，
由②得，，
不能证明，
∴不能证明四边形是平行四边形．
18．（6分）（24-25八年级·江西新余·期中）请看图解答下列问题：
(1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【答案】(1)
(2)十三边形
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟练掌握正确运用多边形的内角和公式．
（1）根据多边形内角和一定是180度的倍数，依此即可求解；
（2）根据多算的外角度数求出多边形内角和，再根据多边形内角和公式求出边数即可．
【详解】（1）解： ．
又多算了一个外角，
外角度数为；
（2）解：由（1）可知多边形内角和为
设小华求的是边形内角和，
，
解得：，
小华求的是十三边形的内角和．
19．（8分）（24-25八年级·江苏淮安·期末）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，平分，则的长为________．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明；
（2）首先求得，然后证得，进而得到．
【详解】（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
20．（8分）（24-25八年级·重庆开州·期末）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点．
(1)求证：；
(2)若，为的中点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键；
（1）首先推导出，进而利用证得，进而得证；
首先推导出，进而推导出，，由折
叠的性质得出，进而得到．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中
，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵是沿折叠得到，
∴，
∴
21．（8分）（24-25八年级·四川成都·期末）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形；
(3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，从而证得，然后利用平行四边形面积公式得，最后利用三角形面积公式得．
（2）取的中点H，连接，，先证明，再利用直角三角形的性质证得，残存后由等腰三角形“三线合一”性质得到垂直平分，即可由垂直平分线性质得出结论．
（3）过点E作交延长线于H，过点A作于M，利用直角三角形的性质先求出，再求出，，然后由 求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴
∴．
（2）证明：取的中点H，连接，，
由（1）可知：四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图，
∵，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，梯形面积公式和三角形面积公式．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”．
【问题解决】
(1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数；
(2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”．
①若是等腰三角形，求的度数；
②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）．
【答案】(1)，
(2)①的度数为或；②
【分析】（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得；
②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴ ，
∴；
（2）①∵四边形是“对角互补四边形”，，
∴，
∵平分，
∴，
当时，
∴（不符合题意，舍去），
当时，
∴，
∴；
当时，
∴，，
∴．
综上所述：的度数为或；
②如图②，过点B作于G，于H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是“对角互补四边形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键．
23．（8分）（24-25八年级·山东济南·期末）综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形的对角线，，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形四边的中点E， F， G， H， 连接，，， ，
（2）请直接写出与之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形是平行四边形；
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想 若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘中， 对角线AC与BD交于点O．，，，则求四边形池塘的面积．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）能，画图见解析；（5）．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理．
（1）根据平行四边形的判定得到四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形求解即可得到答案；
（2）根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案；
（3）根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案；
（4）本题考查作平行线，根据题目要求构造平行线即可得到答案；
（5）本题考查平行四边形的性质，勾股定理，过H作于点M，结合勾股定理求出，结合面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：（1），理由如下，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，
∴，，，，
∴，
故答案为：，
（2）证明：∵E，H分别为，中点
∴．，
∵F，G分别为，中点
∴，，
∴，，
∴四边形EFGH为平行四边形，
（3）由题意得；
（4）能，如图所示，连接对角线，交于点O，
过点D作的平行线，过点B作的平行线
过点A作的平行线，过点C作的平行线
四边形即为所求，
（5）过H作于点M，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
1
