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第6章 平行四边形压轴题综合测试卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】如图，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，根据平行四边形的性质得到；再说明，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，根据全等三角形的性质得到，进而求得，再由勾股定理可得，最后运用三角形的中位线定理即可解答．
【详解】解：连接并延长交于，过作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
，
∵点分别是边的中点，，
，
，
，
，
∵，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
∵点是的中点，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
3．（3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．
【详解】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则根据题意，得
解得：．
∵n为正整数，
∴必为180的倍数，
又∵，
∴．
解法2：∵．
∴，即．
又∵，
∴，
解之得．
∵边数n为正整数，
∴．
故选A．
4．（3分）（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故选：C．
5．（3分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解．
【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理得：，
，
，
，
，
，
，
设，，则，，
在中，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等时解得的关键．
6．（3分）（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，已知 的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】作辅助线如解析图，由于四边形是平行四边形，所以，又由平行四边形的性质可推得，则可证明，进而可得的长固定不变，当最小时，取得最小值，从而可求．
【详解】过点B作直线，交直线于点D，过点B作轴，交x轴于点E，直线与交于点M，与x轴交于点F，直线与交于点N，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵直线与直线均垂直于x轴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
由于的长不变，所以当最小时（即B点在x轴上），取得最小值，最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
7．（3分）（24-25八年级下·北京大兴·期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造顶点四边形即可；
【详解】解：如下图：由勾股定理和网格特征可得下列顶点四边形的两组对边分别相等，
∴都是平行四边形，
故选： D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理；掌握平行四边形的性质是解题关键．
8．（3分）（2021·山东临沂·一模）如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝，
∴BE＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
9．（3分）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【详解】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AMCN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定②正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断③不正确．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．故①正确．
②如下图所示，连接，，
∵是中点，
∴．
∵、分别是、中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴故②正确．
③如上图所示：∵是中点，
∴．
∵是中点，
∴．
∵平行四边形的对角线、交于点，
∴是中点，．
∴．
∵是中点，是中点，
∴．
∴．故③不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，由平行四边形性质可得，，可证明 ，再由全等三角形性质得，，则，求得，，，推得，由，求得，则中位线的长度即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
则，
四边形是平行四边形，
，，
，，
点、分别是、的中点，
，，，
在和中，
，
，
，，
，点、分别是边、的中点，
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、等角对等边，解题关键是正确地作出辅助线帮助求解．
12．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，长方形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
首先利用证明，从而得；然后根据平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明；作于点，于点，则有四边形是长方形；最后根据勾股定理列出关于、的二元一次方程组求解即可．
【详解】如图，连结，
四边形是平行四边形，
，，，．
，
，
，
，
，
又 ，
．
．
平分，
，
，
．
作于点，于点，
则有四边形是长方形，
．
设，，则，．
在中，
①；
在中，
②；
联立①②，解得．
则．
故线段的长为4．
13．（3分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是图形变化规律以及结合全等三角形，等边三角形的知识内容，关键在于通过证明全等三角形的基础上去研究边的变化规律．
先连接，找到全等三角形，进而得到，理清边与边的大小变化规律，然后总结出变化规律式子即可得解．
【详解】解：如图1，连接．
∵六边形是正六边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵、分别为、中点，
∴，
，
∵六边形是正六边形，是等边三角形，
，
，
同理，
即，
∵等边三角形的边长是，
∴第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的，
如图2，过作于，过作于，
则，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵(已证)，
，
，
同理，
∴，即第二个等边三角形的边长是；
同理第三个等边三角形的边长是；
同理第四个等边三角形的边长是；
第五个等边三角形的边长是；
第个等边三角形的边长是，
∴第2024个等边三角形的边长为：．
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么 ．
【答案】9
【分析】设的上的高为，先证明点在平行于，且到边的距离等于的直线上，延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，求得点、关于直线对称时， ，再证四边形是平行四边形，得，，最后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：设的上的高为，
∵的面积是，，
∴，
解得，
∴点在平行于，且到边的距离等于的直线上，
延长交于点，并在射线上取，连接交直线于点，连接，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴点、关于直线对称，
∵当的最小值是，
∴点、关于直线对称时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题主要考查平行四边的判定及性质，勾股定理，轴对称的判定及性质，线段最短以及平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解．
15．（3分）（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ；
（2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质．
（1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案．
【详解】（1）连接、
四边形为平行四边形
， ，，，，
，，
四边形，，，，，为平行四边形，
点P是平行四边形的对称中心，
点E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的，
设四边形面积为，则，
，，，
∴，
，
故答案为：；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ．
（1） ．
（2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ．
【答案】
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据三角形中位线定理得出，即可得出最小时四边形的周长最小值，最小值是的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可；
【详解】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵是的中点，
∴，
作，
∴，
∴，
∴的最小值为，
根据（1）可得出，
故四边形的周长最小值；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
(1)在点，运动过程中，___________，___________；
(2)连接，，若与互相平分，求此时的值；
(3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，有两种情况；
点在线段上，
点在线段的延长线上，
【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决；
（2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答；
（3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可．
【详解】（1）解：，点从点出发，以的速度向点运动，
，
，
，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，
，
故答案为：，；
（2）解：若与互相平分，则是平行四边形，
，
即，
解得：；
（3）解：存在，理由如下：
点在线段上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
点在线段的延长线上，
当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
此时，，
即，
解得；
综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
18．（6分）（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
(1)点B的坐标为___________；
(2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上；
(3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________.
【答案】(1)
(2)4
(3)或或
【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解；
（2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解；
（3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：过点C作于点H，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，
由题意得：，是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
当点D、E、P三点共线时，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，D、E、P三点在一条直线上；
（3）解：由（2）及题意可知：，
当点P运动到的中点时，则有，
解得：，
∴，
当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分：
①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，，
∴，
②当以为对角线时，即，
∴，
∴；
③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N，
∴，
∴，
∴
∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或．
【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．
19．（8分）（24-25八年级·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
（2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：．
（3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状.
【详解】证明：（1）是的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.
20．（8分）（24-25八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则_____°；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，______；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：．
【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析．
【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键．
（1）根据组角的定义直接得答案；
（2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论；
（3）根据（2）的结论可直接得出答案；
（4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论．
【详解】解：（1）、互为组角，且，
，
故答案为：；
（2）钝角；
理由：优角与钝角互为组角，
优角钝角，
四边形的内角和是，
优角，
钝角；
（3）由（2）得，在镖型中，，
在镖型中， ，
，
故答案为：；
（4）的平分线交于点M，
，
令．
由（2）中的结论可知在镖形中，有
在镖形中，有，
于是根据等式的性质得出，
而，
，即．
21．（10分）（24-25八年级·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ．
【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸：
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可．
【详解】解：提出问题：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴；
问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则，
∵G是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵ ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则，
∵ ，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．（10分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)等边三角形
(2)等边三角形，见解析
(3)或
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形；
（2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形；
（3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到．
【详解】（1）解：由题意可得，，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
、、三点共线
，，
是等边三角形
故答案为：等边三角形．
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如下图，连接，交分别、于点、，
，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
，，
点在线段的延长线上
，即
，
是等腰三角形
又，
是等边三角形
（3）解：①如下图，连接、
同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形
有
设，则，
是直角三角形，
取的中点，连接
此时在边上
②如下图，连接、
同①，可证是直角三角形，，
此时在边上
综上所述，或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键．
23．（12分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且．
(1)如图1，若是等边三角形，，求的面积；
(2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到．再根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可求出和的长，从而可求出答案；
（2）延长到，使得，连接．根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可推出，，从而得到，，再利用四边形是平行四边形可推出，从而得到四边形是平行四边形，得到，最后根据即可证明．
【详解】（1）解：是等边三角形
，
又，分别是，的平分线
，，，
在中，，
，
∴
∴
的面积为．
（2）证明：如图，延长到点，使，连接
是等腰直角三角形，且，，分别是，的平分线
，
，
，
四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并正确的作出辅助线是解题关键．
24．（12分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒．
(1)______，______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值．
(4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数．
【答案】(1)10，
(2)当点在上时，；
当点在上时，
(3)的值为7或13
(4)或
【分析】本题考查图形的旋转，平行四边形的性质．
（1）将绕着的中点旋转得到得，得四边形是平行四边形即可求解；
（2）先表示出，再表示即可；
（3）先表示出，再根据题意可得或，求解即可；
（4）分两种情况，当时和当时，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解：将绕着的中点旋转得到
四边形是平行四边形
故答案为：10，；
（2）
；
（3）
当将四边形的周长分成两部分时
或
解得或
经检验，或是原方程的解
当将四边形的周长分成两部分时，或；
（4）如图，
当时，
点与点关于对称
；
如图，
当时，
点与点关于对称
．
综上，的度数为或．
1
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第6章 平行四边形压轴题综合测试卷
【北师大版】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．2
3．（3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（3分）（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，已知 的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．（3分）（24-25八年级下·北京大兴·期末）如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）．
A．10 B．11 C．12 D．13
8．（3分）（2021·山东临沂·一模）如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
9．（3分）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ．
12．（3分）（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形中，点在上，连接，交于点，平分，，若，，则线段的长为 ．
13．（3分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2024个等边三角形的边长为 ．
14．（3分）（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形中，，于点，在右侧的平面内有一点的面积是，当的最小值是时，那么 ．
15．（3分）（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ；
（2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）．
16．（3分）（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ．
（1） ．
（2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
(1)在点，运动过程中，___________，___________；
(2)连接，，若与互相平分，求此时的值；
(3)在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由．
18．（6分）（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
(1)点B的坐标为___________；
(2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上；
(3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________.
19．（8分）（24-25八年级·四川巴中·期末）（1）如图（1），在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
（2）如图（2），延长图（1）中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：．
（3）如图（3），在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．若，试判断的形状．并进行证明．
20．（8分）（24-25八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则_____°；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，______；（用含α的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：．
21．（10分）（24-25八年级·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在中，于点E，于点F．求证：；
【问题探究】
如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：；
【拓展延伸】
如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ．
22．（10分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
23．（12分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）在中，连接对角线，，分别是，的平分线，，交于点，为上一点，且．
(1)如图1，若是等边三角形，，求的面积；
(2)如图2，若是等腰直角三角形，且，求证：．
24．（12分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒．
(1)______，______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值．
(4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数．
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