2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（培优卷）
【北师大版】
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~3章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·西藏拉萨·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期末）若，则在下列式子中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④动点M，N分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，将绕点旋转到的位置，若，，则的度数为 ．
12．（3分）（24-25八年级·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
13．（3分）（24-25八年级·山东枣庄·期中）如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°．若BC＝3cm，则AD＝ cm．
14．（3分）（24-25八年级·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．
15．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）的值为 ；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ．
16．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图，已知中，，，是内的一点，且，，，则的度数为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·上海·期中）解下列不等式（组）
(1)
(2)
18．（6分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证：
(1)；
(2)．
19．（6分）（24-25八年级·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
(1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；
(2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；
(3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．
20．（8分）（24-25八年级·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形．
(1)这样的等腰三角形有______个；
(2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标．
21．（8分）（24-25八年级·四川眉山·期末）已知关于的方程满足方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
22．（10分）（24-25八年级·河北保定·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，．
(1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由；
(2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少．
23．（10分）（24-25八年级·福建三明·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
24．（12分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ；
(2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明；
(3)当，，时，请求出的长．
25．（12分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
12024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（培优卷）
【北师大版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·西藏拉萨·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期末）若，则在下列式子中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，
∴，该选项正确，符合题意；
故选：．
3．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可．
【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了，
故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的，
∵点B的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即．
故选：A．
4．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求解即可得．
【详解】解：∵在等腰中，顶角，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③．
【详解】解：∵
∴最大的，故①不符合题意；
∵，
∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意；
∵，
∴，
∴，则该是直角三角形，故③符合题意；
∵，
∴，则该是直角三角形，故④符合题意；
故选：C．
6．（3分）（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过作轴于，求解，旋转1次后，再结合每旋转4次为一个循环可得答案．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得：，
由，可知每旋转4次为一个循环，
，
故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即）的位置相同，
故选A．
7．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且，
∴随的增大而增大，
∴，解得：，
故选：C．
8．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解、解不等式组等知识点，根据在实数范围内有解列出关于a的不等式是解题的关键．
先解关于x的不等式，再根据不等式在实数范围内有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此列出关于a的不等式，进而求得a的范围即可．
【详解】解，
解不等式①得：，
解不等式②得：．
因为关于x的不等式组在实数范围内有解，
∴，解得：．
故选：B．
9．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，根据旋转的性质得是等边三角形，得，根据等边三角形的性质得，，证明，得，继而得到，当点在上时取“”，此时取得最大值，即可得出结论．确定是解题的关键．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，即，
当点在上时取“”，此时取得最大值，
∴的最大值为．
故选：C．
10．（3分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④动点M，N分别在线段，上，则的周长的最小值为，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由“筝形”的性质可得，可证是等边三角形，故①正确；由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，故②正确；由面积关系可求，故③错误；作点D关于的对称点，连接，交于点，连接，根据轴对称的性质得出此时的周长的最小，最小值为，证明，等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出，得出，根据，即可得出，可判断结论④．
【详解】解：∵四边形是“筝形”，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，故结论①正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，
∵，故结论③错误；
作点D关于的对称点，连接，交于点，连接，如图：
此时四点共线，
故，则的周长的最小值为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则的周长的最小值为，结论④正确，
∴正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，将绕点旋转到的位置，若，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查旋转的性质等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
12．（3分）（24-25八年级·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵不等式组有3个整数解，
∴，且三个整数解为：，
∴，
解得：；
故答案为：．
13．（3分）（24-25八年级·山东枣庄·期中）如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°．若BC＝3cm，则AD＝ cm．
【答案】6
【分析】由已知条件可知：BD=2CB=6，根据角度关系得到AD=BD，即可得到结果．
【详解】解：在Rt△BCD中，∠CDB=30°，
∴BD=2BC=6.
∵∠C＝90°，∠ABC＝75°，
∴∠A=180°-∠C-∠ABC＝15°．
又∵∠CDB=30°，
∴∠ABD=∠A=15°．
∴AD=BD=6．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
14．（3分）（24-25八年级·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．
过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明，
可得，即平分，因此这种画法的依据是．
【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．
∵尺的宽度相等，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴平分，
画法的依据是：．
故答案为：．
15．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）的值为 ；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键．
先将点分别代入函数解析式即可求出，则，此时两条直线的函数解析式分别为与，数形结合找出平行的临界状态即可求解．
【详解】解：（1）∵函数与的图象交于点，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
（2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图：
∵直线与交于点，
由图可知当时，函数的值大于函数的值，
∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可，
∵当直线平行于直线时，符合题意，此时
∴满足题意，，
故答案为：．
16．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图，已知中，，，是内的一点，且，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，将绕点旋转到，连接，可得，即得，，，进而得，得到是等腰直角三角形， 即得到，，再利用勾股定理的逆定理得是直角三角形， 得到，最后根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，将绕点旋转到，连接，
∴，
∴，，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·上海·期中）解下列不等式（组）
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
18．（6分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键．
（1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（6分）（24-25八年级·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，．
(1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标；
(2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标；
(3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)
【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可；
（2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可；
（3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件．
【详解】（1）解：如图所示：
的坐标为；
（2）解：如图所示，
的坐标为；
（3）解：如图，
若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得．
20．（8分）（24-25八年级·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形．
(1)这样的等腰三角形有______个；
(2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)8
(2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论；
（2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解．
【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和；
②当AB=AC时，如图，和；
③当BC=AC时，如图和．
综上可知满足条件的点C有个，
故答案为：；
（2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；
当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，．
∴，，，
∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
21．（8分）（24-25八年级·四川眉山·期末）已知关于的方程满足方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为9，最小值为
【分析】（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答；
（2）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：，
①②得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：，
解得，
∵均为非负数，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为9，最小值为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（10分）（24-25八年级·河北保定·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，．
(1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由；
(2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少．
【答案】(1)垂直，理由见解析
(2)菜园的面积扩大了
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）由勾股定理可得，进而求出的差值即可．
【详解】（1）解：垂直，理由如下：
，，，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
，
即菜园的面积扩大了．
23．（10分）（24-25八年级·福建三明·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得；
（2）当时，台风正好影响海港，利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用除以台风的速度即可得．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴海港受台风影响．
（2）解：如图，当时，台风正好影响海港，
∴，
∴，
∵台风的速度为，
∴，
答：台风影响该海港持续的时间为．
24．（12分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ；
(2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明；
(3)当，，时，请求出的长．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
(3)的长度为或
【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质．
（1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得；
（2）根据，得，由，即知，从而，有，故；
（3）根据，得，分两种情况：①当在线段上时，,得到；
②当在延长线上时，，得．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图：
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在与中，，
，
；
（2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下：
如图：
，
，
同（1）可证，
，
，
，
；
（3）解，
∴，
①当在线段上时，如图：
∵，
，
由（2）知
；
②当在延长线上时，如图：
∵，
，
；
综上所述，的长度为或．
25．（12分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
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