八年级(下)月考必考题型专项复习(5月份)【26大考点】
（考试范围：第1~4章）
【北师大版】
【考点1 等腰三角形的性质】 1
【考点2 等腰三角形的判定】 5
【考点3 等腰三角形的判定与性质】 11
【考点4 等边三角形的性质】 16
【考点5 等边三角形的判定】 22
【考点6 等边三角形的判定与性质】 27
【考点7 含30度角的直角三角形】 34
【考点8 直角三角形全等的判定】 41
【考点9 直角三角形的判定与性质】 46
【考点10 勾股定理】 51
【考点11 勾股定理的证明】 53
【考点12 勾股定理的逆定理】 57
【考点13 勾股定理的应用】 60
【考点14 线段的垂直平分线】 64
【考点15 角平分线】 69
【考点16 不等关系与不等式的基本性质】 75
【考点17 解一元一次不等式（组）】 76
【考点18 一元一次不等式（组）的解】 78
【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 80
【考点20 图形的平移】 84
【考点21 图形的旋转】 87
【考点22 中心对称】 93
【考点23 因式分解】 97
【考点24 利用因式分解求值】 100
【考点25 利用因式分解进行有理数的简算】 103
【考点26 因式分解的应用】 105
【考点1 等腰三角形的性质】
【例1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，利用等腰直角三角形构造一线三垂直全等，过B作，易证，得到，利用勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过B作，交延长线于点E，则，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
在Rt△ABE中，，
故答案为：．
【变式1-1】（24-25八年级·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，即得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-2】（24-25八年级·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
故答案为：10．
【变式1-3】（24-25八年级·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接．
(1)求证：；
(2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当点在的中点时，是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等：
（1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再证明得到．据此求出的度数即可证明结论；
（2）根据题意可证明，则可推出，由三线合一定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点在的中点时，是直角三角形，理由如下
∵，
∴是直角三角形时，，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴当点在的中点时，是直角三角形．
【考点2 等腰三角形的判定】
【例2】（24-25八年级·江西宜春·期末）如图1，已知中，平分，平分的外角．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，过D点作，交于点F，交于点G，试猜想、与的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角以及等量代换求得即可；
（2）由平行线的性质可得，再结合可得，然后由等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵平分，平分
∴，
∴
．
（2）解：，理由如下：
∵
∴
又∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活应用相关性质定理是解答本题的关键．
【变式2-1】（24-25八年级·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．无法求出
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识，熟练掌握等角对等边是解题的关键．根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，则，即可得到，求出的长即可．
【详解】解：∵是的角平分线，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【变式2-2】（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：；
(2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质．
（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可．
【详解】（1）证明： ，
，
是的外角的平分线，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，，
平分交于点N，
，
为等腰直角三角形．
【变式2-3】（24-25八年级·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】
如图1，平分，．易证是等腰三角形．
【变式探究】
（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】
当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形．
【经验应用】
（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________．
【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由平行线的性质得，由折叠的性质得，从而，进而可证是等腰三角形；
（2）分别证明和，从而可证；
（3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证．
【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由：
∵在长方形中，，
∴，
由折叠性质可得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2），理由：
如图，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），理由：
如图，延长、交于点F．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键．
【考点3 等腰三角形的判定与性质】
【例3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，在中，是的平分线，点在上，且，过点作的平行线，交的延长线于点，于点．请你用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】，证明见解析
【分析】先利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质，平行线的性质以及对顶角相等可得是等腰三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用线段的和差关系进行等量代换，即可得证．
【详解】解：．
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-1】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点C作于点H，得到，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：由旋转得，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
过点C作于点H，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式3-2】（24-25八年级·重庆·期中）如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是等腰直角三角形，结合三线合一得，，则都是等腰直角三角形，再通过证明，则，再通过证明，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为边的中点，
∴，，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，，，
∵分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴四边形的面积
即四边形的面积为
故答案为：
【变式3-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，点在边上，点在边上，且．
(1)若垂直平分，求的度数；
(2)若，求证：；
(3)若，当是以，为腰的等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由垂直平分线性质推得，再由等腰三角形的三线合一得，结合求得后即可得的度数；
（2）先结合图中角的关系推得，过点作于点，由三线合一得，再证，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）过点作交的延长线于点，理清图中各角的数量关系，再结合勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
即是等腰三角形，
是角平分线，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
是等腰三角形，是中线，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作交的延长线于点，
当时，得图中角之间的关系如图标记，
，
，，，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线性质、等腰三角形的判定、三线合一、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握三线合一．
【考点4 等边三角形的性质】
【例4】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，，
此时的值最小，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式4-1】（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)45°
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据，得到解题即可；
（2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
又，
∴．
（2）∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
【变式4-2】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的长为；
(3)，理由见解析；
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（）由等边三角形的性质和已知可得，从而，从而得出；
（）设，从而得出，，从而得出
，进而得出，进一步得出结果；
（）在上截取，设，可证得，从而得出，，可证得，从而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）证明: ∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点关于直线的对称点，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：，理由如下，
如图，在上截取，设，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
同（）理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-3】（24-25八年级·湖南永州·期末）如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键．
观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为，连接，设的坐标为（，），由等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标．
【详解】解：观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，
，
点是第个等边三角形的第个顶点，
点在第四象限内，该等边三角形的边长为，
如图，连接，
设的坐标为（，），
由等边三角形的对称性可知：
，
点是该等边三角形的中心，
，
，
，
根据勾股定理可得：，
即：，
，
，
，
，
故选：．
【考点5 等边三角形的判定】
【例5】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求出的形状．
【答案】(1)见解析；
(2)是等边三角形
【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出，再得出，推出，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）先求出，再根据平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据三角形内角和定理得出，推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【变式5-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，．
(1)求证：．
(2)当时，求证是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、等边三角形的判定等：
（1）根据全等三角形的判定即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，利用等边三角形的判定即可证明．
【详解】解：（1）因为在和中，
，，．
所以
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以为等边三角形，所以．
【变式5-2】（24-25八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，，，，为中点．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、三角形外角的性质等；熟记各性质并准确识图是解题的关键．
（1）根据等腰三角形两底角相等求出，，即可得出结果；
（2）根据线段中点，得出，再根据三角形外角的性质，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
；
（2）证明： 是的中点，
，
又，
又，
，
是等边三角形．
【变式5-3】（24-25八年级·河北沧州·期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
(1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
(3)的长是3或6
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可，由可得，，再根据三角形的内角和定理构造方程求x即可；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度．
【详解】（1）是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴；
（3）的长是3或6，理由如下：
如图，当时，点在内，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点F在外，
同理可得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
【考点6 等边三角形的判定与性质】
【例6】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．
A．42 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
折叠后椅子比完全打开时高，
故选：D．
【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期末）如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点，证明出是等边三角形是解题关键．
由等边三角形的性质可得、，由三等分点可得，再由平行线的性质可得，进而得出是等边三角形且边长为4，即可求出的周长．
【详解】解：∵是等边三角形，且边长为12，
∴，，
∵E，F是边BC的三等分点，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且边长为4，
∴的周长是12．
故选：C．
【变式6-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形，D，E分别为边的中点，连接；G为射线上的一个动点，以为边，并在其左侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，若，，与相交于点，则 ， °．
(2)如图2，当点G在的延长线上时，
①与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算的度数．
【答案】(1)
(2)①，证明见详解，②
【分析】（1）根据在等边三角形中，D，E分别为边的中点，得，又因为，是等边三角形，得，，运用勾股定理列式计算得，证明，即可作答．
（2）①先证明是等边三角形，再得出，则②因为，所以，则．
【详解】（1）解：∵在等边三角形中，D，E分别为边的中点，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
则在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
故答案为： ；
（2）解：①，证明见如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵在等边三角形中，D，E分别为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
②∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式6-3】（24-25八年级·广东云浮·期末）【课本再现】
（1）如图1，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
求证：．
【拓展】
（2）如图2，是等边三角形，点D在上，延长至点E，使．
求证：．
【探究】
（3）在等边中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）与的等量关系不存在．证明见解析
【分析】（1）三线合一，等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结论；
（2）过点作，交于点，证明为等边三角形，证明，即可得出结论；
（3）分点在的延长线上，点在的延长线上和点在的延长线上，点在的延长线上两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）证明：∵是等边的中线，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图1，过点作，交于点．
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（3）不存在
分为两种情况讨论．
①如图2，当点在的延长线上，点在的延长线上时，过点作，交于点．
又∵是等边三角形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
②如图3，当点在的延长线上，点在的延长线上时．
∵是等边三角形的外角，故．
∵是的外角，
∴，
即是的最大内角，
∴，即与的等量关系不存在．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形是解题的关键．
【考点7 含30度角的直角三角形】
【例7】（24-25八年级·浙江·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且．
(1)如图，若，，求的度数；
(2)试探求与的数量关系；
(3)如图，若平分，于点，求证：．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可；
（）在中，设，，则，结合，则，，又，则，最后由三角形外角性质和角度和差即可求解；
（）由，则，设，则，又平分，所以，然后求出，则，最后由含度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：与的数量关系是：，
理由如下：在中，设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵平分，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【变式7-1】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，，
此时的值最小，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式7-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形，D，E分别为边的中点，连接；G为射线上的一个动点，以为边，并在其左侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，若，，与相交于点，则 ， °．
(2)如图2，当点G在的延长线上时，
①与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算的度数．
【答案】(1)
(2)①，证明见详解，②
【分析】（1）根据在等边三角形中，D，E分别为边的中点，得，又因为，是等边三角形，得，，运用勾股定理列式计算得，证明，即可作答．
（2）①先证明是等边三角形，再得出，则②因为，所以，则．
【详解】（1）解：∵在等边三角形中，D，E分别为边的中点，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
则在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
故答案为： ；
（2）解：①，证明见如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵在等边三角形中，D，E分别为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
②∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式7-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
(1)点的坐标是__________；
(2)如图2，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
①若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
②若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)①当或时，是直角三角形；②或
【分析】（1）首先求出，然后得到，进而求解即可；
（2）①由题意，得，，得到，然后分两种情况讨论：当时和当时，根据题意分别求解即可；
②根据题意分两种情况讨论：当时和当时，然后根据等腰三角形的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①由题意，得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴只有和两种情况，此时点P只能在线段上，
则；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上所述，当或时，是直角三角形；
②如图：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是等边三角形，
∴，即；
如图3：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，即，
∴，
综上所述：当是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：或．
【点睛】此题考查了坐标与图形综合，含角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【考点8 直角三角形全等的判定】
【例8】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明即可；
（）由，则，又，然后根据等腰三角形的性质即可求解；
（） 延长交于点，由（）知，，，则，则，此时的值最小，再由点是直线上的动点，可得当的值最小时，点与点重合．
【详解】（1）证明: ∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）证明： 延长交于点，
由（）知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时的值最小，
∵点是直线上的动点，
∴当的值最小时，点与点重合．
【变式8-1】（24-25八年级·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．
过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明，
可得，即平分，因此这种画法的依据是．
【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．
∵尺的宽度相等，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴平分，
画法的依据是：．
故答案为：．
【变式8-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，．
(1)求证：；
(2)若，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意得到，然后证明，即可得到；
（2）根据题意得到为的中线，推出，然后得到，求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，， ，
，
；
（2）解：，
为等腰三角形，
由（1）知，
∴，
即为的平分线，
为的中线，
，
在中
，
，
∵，，
，
，
为中线，
，
的面积为．
【变式8-3】（24-25八年级·重庆江津·期末）如图，已知是直角三角形，垂直平分于点，则 ．
【答案】5
【分析】连接，过点D作于点G，证明,再证明，解答即可．本题考查了等腰直角三角形判定和性质，线段的垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：连接，过点D作于点G，
∵，，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【考点9 直角三角形的判定与性质】
【例9】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。
【详解】解：①，，
，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
②，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
③，
，
是直角三角形，
故本选项符合题意；
④，，
，
不是直角三角形，
故本选项不符合题意；
⑤，
设，则，
，
，
解得：，
，
不是直角三角形，
故本选项不符合题意；
能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个，
故选：．
【变式9-1】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可．
本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴
∵是高，
∴
∴
∴．
【变式9-2】（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明，则 ，那么，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式9-3】（24-25八年级·浙江舟山·期末）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
(3)已知， ，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出；
（2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出；
（3）过C作于E，为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
【考点10 勾股定理】
【例10】（24-25八年级·河南郑州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B，不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C，，不是勾股数，不符合题意；
D，因为，所以是勾股数，符合题意．
故选：D．
【变式10-1】（24-25八年级·重庆·期中）若一个直角三角形的两直角边的长为3和4，则第三边的长为（ ）
A．或 B．5 C． D．5或
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，当直角三角形的两直角边分别为3和4时,利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为，
故选：B．
【变式10-2】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
∵，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：B．
【变式10-3】（24-25八年级·广东茂名·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出面积，利用面积法求出边上的高即可．
【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，为边上的高，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
解得：，
故选：B．
【考点11 勾股定理的证明】
【例11】（24-25八年级·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）．
【答案】①②③④
【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可．
【详解】解：①由图形可知，，
整理得，
故①符合题意；
②由图形可知，，
整理得，
故②符合题意；
③由下图知，，
整理得，
故③符合题意；
④由下图知，，
即，
∴，
∴，
由的面积公式得，
整理得，
故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键．
【变式11-1】（24-25八年级·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．
【答案】20
【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度．
【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：，
直角三角形边长分别为，
根据勾股定理可得：，
又，
可得：，，
．
故答案为：20
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形．
【变式11-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
【答案】(1)
(2)13
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键．
（1）根据题意和图形即可求解；
（2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：，
即最后化简为；
方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为；
根据面积相等，得：，
化简最后结果是，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：空白部分的面积为：，
当时，原式．
【变式11-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【答案】(1)见解析
(2)120
(3)9
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程．
（1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得；
（2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
则；
（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，，
，
，
解得：，
∴，
∴该飞镖状图案的面积是；
（3）解：设每个三角形的面积都为y，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【考点12 勾股定理的逆定理】
【例12】（24-25八年级·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；先计算，，可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：
【变式12-1】（24-25八年级·广西来宾·期中）下列选项中的三条长度的线段首尾顺次连接能围成一个直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题是对勾股定理逆定理的考查，熟练掌握勾股定理知识是解决本题的关键，根据勾股定理逆定理依次判断即可．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选B．
【变式12-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式12-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点13 勾股定理的应用】
【例13】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【答案】(1)
(2)万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可；
（2）由的面积求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
答：公路的长度为；
（2），
，
，
，
∴修建林荫小道需要的费用为万元．
【变式13-1】（24-25八年级·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
故答案为：
【变式13-2】（24-25八年级·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
(1)求港口A到海岛B的距离；
(2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)乙船
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．
（1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解；
（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．
【详解】（1）解：过点B作于点D，
在中，，设，则，
在中，，
则，，
由得，
解得，
，
答：港口A到海岛B的距离为海里；
（2）解：甲船看见灯塔所用时间：小时，
乙船看见灯塔所用时间：小时，
所以乙船先看见灯塔．
【变式13-3】（24-25八年级·河南驻马店·期中）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
【答案】蚂蚁爬行的最短距离是
【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离；
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图；
∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是，
；
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
；
；
，
∴蚂蚁爬行的最短距离是．
【考点14 线段的垂直平分线】
【例14】（24-25八年级·山西长治·期末）如图，在中，于点E，交于点M，，以点C为圆心长为半径作弧，交于点F，连结交于点G．若，则长为（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中三角形内角和定理求出，得出．
【详解】解：连接，如图．
，
，
由题意可知，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∵，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键．
【变式14-1】（24-25八年级·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【变式14-2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据、，可证是等边三角形，连接交于点，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可求的长度．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
．
故选： C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．
【变式14-3】（24-25八年级·吉林·期末）如图，在中，，点E在上，的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，若．
(1)求证：；
(2)请直接写出与位置关系是 ；
(3)若，则的度数为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握线段垂直平分线性质，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线性质证是等腰直角三角形，可证，得，即得；
（2）根据，再证明，即可得出结论；
（3）根据，得，由，即可得．
【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（3）解：由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点15 角平分线】
【例15】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】对于（1），作，先根据角平分线的性质定理得，再由折叠可得平分，进而根据角平分线的性质定理得，
即可得，最后根据角平分线的判定定理得出结论；
对于（2），连接，先根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可知是等边三角形，再证明，然后根据求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，过点D作，垂足分别为M，N，G，
∵于点H，
∴平分．
∵，
∴．
由折叠可得，即平分．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点D在的角平分线上，
∴平分；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
∴
，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，折叠的性质，准确的作出辅助线是解题的关键．
【变式15-1】（24-25八年级·江苏无锡·期末）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等．
(2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）作平分交于点，点即为所求；
（2）在上取点，使得，延长到，要使，在四边形中，只需要，因为，所以只需作即可；延长到，要使，在四边形中，只需要，因为，所以只需作，即点，，即为所求．
【详解】（1）解：如图中，点即为所求：
（2）解：如图中，点，，即为所求．
【变式15-2】（24-25八年级·陕西安康·期末）如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且．
(1)求证：．
(2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质：
（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明，根据全等三角形的性质求解．
【详解】（1）证明： ，
，
是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
．
由（1）得，
．
【变式15-3】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是16，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
，
，即．
（2）证明：过点作交于点交于点，
，
，
由（1）可知，，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分．
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
【考点16 不等关系与不等式的基本性质】
【例16】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】D
【分析】将A、B、C、D选项逐个代入中计算出结果，即可作出判断.
【详解】解：当时，=1＞0，
当x=5时，=0.5＞0，
当x=4时，=0，
当x=2时，=-1＜0，
由此可知，可以使不等式成立．
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解的概念，代入求值是关键.
【变式16-1】（24-25八年级·广东广州·期末）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解．
【详解】因为不等式的解集是，
所以，，
所以，．
故答案为：，．
【变式16-2】（24-25八年级·海南海口·期中）数学表达式①；② ；③；④；⑤中不等式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据不等式的定义（用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式）逐个判断即可得．
【详解】解：①，② ；⑤都是不等式，共有3个，
故选：C．
【变式16-3】（24-25八年级·浙江·期末）设、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意；
B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意；
C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意；
D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【考点17 解一元一次不等式（组）】
【例17】（24-25八年级·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
【变式17-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，
解得：，
∴的值可以是，
故选：A．
【变式17-2】（24-25八年级·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
原不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
【变式17-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤．
解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可．
【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得．
∵不等式组的解集是，
∴．
∴，．
∴．
∴方程为．
解得．
故选：D．
【考点18 一元一次不等式（组）的解】
【例18】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，即可得到的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
关于的一元一次不等式组的解集是，
，
解得，
故答案为：．
【变式18-1】（24-25八年级·浙江金华·期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是关键．利用不等式组取解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可得到的范围．
【详解】解：∵不等式组有解，
∴的取值范围是，
故选：B．
【变式18-2】（24-25八年级·湖南娄底·期末）不等式的最小整数解为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先算出不等式的解集是，结合最小整数解这个条件，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，
则不等式的最小整数解为，
故答案为：2
【变式18-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法．
先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：，
该不等式组有个整数解，
整数解为，，，
；
故答案为：
【考点19 一元一次不等式（组）的应用】
【例19】（24-25八年级·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元
(2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，
根据题意可知：
解得：，
则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元．
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意可得出：
解得：
∵m为正整数，
∴或11或12，
当时，购进B型汽车为5辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为4辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为3辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元．
【变式19-1】（24-25八年级·山东潍坊·期中）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可．
【详解】设一个球的体积为，根据题意，得
，
解得，
观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是．
故选：C．
【变式19-2】（24-25八年级·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．
(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？
【答案】(1)A型50元，B型100元；
(2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，
依题意得：
，
解得：，
答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元；
（2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，
由题意得：，
整理得：，
由题意可知，，
∴，
解得：，
∵n为正整数
∴n为8或9或10，
当时，；
当时，；
当时，；
∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件．
【变式19-3】（24-25八年级·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？
【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元
(2)有5种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，
（1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；
（2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得
，
解得：，
答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元；
（2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个．
由题意得：，
解得：，
且均为正整数，
∴可以为：，
∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个；
购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个；
购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个；
购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个；
购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个，
∴共有5种购买方案．
【考点20 图形的平移】
【例20】（24-25八年级·广西来宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点的坐标为，，，，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移（由平移方式确定点的坐标），熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键：左减右加，上加下减．
根据坐标平移的变化规律“左减右加，上加下减”即可直接得出答案．
【详解】解：，
将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【变式20-1】（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，经过平移后得到，，，的对应点分别为，，．点的对应点为．
(1)写出，，三点的坐标；
(2)在图中画出；
(3)的面积为_____．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)7
【分析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法．
（1）直接利用P点平移变化规律得出答案；
（2）直接利用各对应点位置进而得出答案；
（3）利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）解：∵平移后点的对应点为，
∴的对应点为，
的对应点为，
的对应点为；
（2）解：如图所示：即为所求作的图形；
（3）解：
．
故答案为：7．
【变式20-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（ ）．
A．24 B．48 C．56 D．72
【答案】B
【分析】本题考查了生活中平移现象，利用平移可知，阴影区域可看作是长为米，宽为6米的长方形，然后进行计算即可．
【详解】解：由题意可得：种植鲜花的面积为．
故选：B．
【变式20-3】（24-25八年级·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了坐标系中点平移以及二元一次方程组的应用．由题意可得：做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可．
【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则：
，
，得：，
∴；
故答案为：．
【考点21 图形的旋转】
【例21】（24-25八年级·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质．过点D作于E，根据旋转的性质可得，，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再证明是等腰直角三角形，可得，然后写出点D的坐标即可．
【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点、，
∴令，则；
令，则，故；
∴，
如图，过点D作于E，
∵将绕C点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴点D的坐标为．
故选：B．
【变式21-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
【答案】(1)画图见解析
(2)
(3)，，
【分析】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，求解三角形的面积；
（1）分别确定绕顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据的位置可得其坐标；
（3）根据皮克定理可得，，再进一步利用公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由图可得：；
（3）解：由图形可得：，，
∴．
【变式21-2】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ．
【答案】 2.5 6.5
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，当在延长线上时，取最大值．
【详解】解：连接，如图：
将绕顶点顺时针旋转得到，
，，
为的中点，
，
，为中点，
，
在中，，
当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，
如图：
的最小值为，
同理，当在延长线上时，取最大值，此时，
的最大值为，
故答案为：2.5；6.5
【变式21-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点A作轴，连接，满足．将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、坐标与图形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．由题意可得，将绕原点O顺时针旋转，旋转6次后，正好旋转一周，再根据每次旋转后，，，， ，可得，从而求得，点在x轴的负半轴上，据此求解即可．
【详解】解：如图，∵，，
∴，，
∵每一次旋转角是，
∴旋转6次后，正好旋转一周，点在x轴的正半轴上，
∵，点在x轴的负半轴上，点在第三象限内，
∴点在x轴的负半轴上，
∵每次旋转后，，，， ，
∴，，， ，
依次类推，，
∴，
∴点的坐标为，
故选：B．
【考点22 中心对称】
【例22】（24-25八年级·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
(1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等）
(2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义．
（1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可；
（2）根据图形利用割补法解答即可．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：．
【变式22-1】（24-25八年级·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：．
【变式22-2】（24-25八年级·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，其中，，．
(1)画出关于点O的中心对称图形，使点，，的对应点分别为点，，；
(2)将绕着点顺时针旋转，点，，的对应点分别为点，，，画出旋转后得到的，并直接写出点，，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，，，
【分析】本题考查图形的中心对称和旋转，根据坐标系写出点的坐标；
（1）根据中心对称的性质找到对应点的位置，顺次连接即可得出；
（2）根据旋转方式找出对应点的位置，即可作出，根据对应点在坐标系内的位置可直接写出坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．，，
【变式22-3】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；
（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．
【详解】(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB=CD，
∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.
理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，
∴∠F=∠CPM ∠PMF=α β，
∠MCD=∠CDE ∠DMC=α β，
∴∠F=∠MCD.
【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.
【考点23 因式分解】
【例23】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）阅读材料：
因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式．
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解；
（）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：令，
∴原式
；
（2）解：令，
∴
．
【变式23-1】（24-25八年级·山东威海·期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）提取公因式即可；
（3）根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
；
（3）解：原式．
【变式23-2】（24-25八年级·四川泸州·期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
（1）利用“热门定理”把分解因式．
热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可；
（2）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【变式23-3】（24-25八年级·河南三门峡·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【考点24 利用因式分解求值】
【例24】（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
则．
∵，
∴，
可得．
∵，
∴，
∴，
即．
∴．
故答案为：．
【变式24-1】（24-25八年级·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【变式24-2】（24-25八年级·福建泉州·期末）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用是解决此题的关键．先根据已知条件求出的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有的形式，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【变式24-3】（24-25八年级·重庆九龙坡·期末）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式．要求等式从左边到右边，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”．如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，可以得到的“因式分解等式”为_______；如图2，若，时_______；
（2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”．如图3_______；
（3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值．
【答案】（1）；；（2）；（3）．
【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据图形面积即可得解；
（2）根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解；
（3）参考上述结论：，，计算求解即可．
【详解】解：（1）由图形等面积可得；
；
（2）正方体的体积为，
由图可知正方体被分割成8部分，
其中1个边长为a的小正方体，
1个边长为b的小正方体，
3个底面边长为a，高为b的长方体，
3个底面边长为b，高为a的长方体，
∴，
（3）∵，，，
∴，
∵，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴．
【考点25 利用因式分解进行有理数的简算】
【例25】（24-25八年级·湖北荆州·期末）计算的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【变式25-1】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
（1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【变式25-2】（24-25八年级·安徽合肥·专题练习）能被91整除吗？请说明理由．
【答案】能，见解析
【分析】本题考查因式分解在计算中的应用，先提公因式再计算判断，即可解题．
【详解】解：能．理由如下：
因为，
所以能被91整除．
【变式25-3】（24-25八年级·安徽芜湖·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ．
(1)上述分解因式的方法是_______；
(2)分解因式的结果是_______；
(3)利用（2）中结论计算：．
【答案】(1)提公因式法
(2)
(3)
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
（1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题；
（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；
（3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题．
【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，
故答案为：提公因式法；
（2）解：
，
，
同理可得：
，
故答案为：；
（3）解：原式
．
【考点26 因式分解的应用】
【例26】（24-25八年级·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题．
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：．
解：原式
【材料2】因式分解：．
解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：．
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：．
(3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方进行因式分解；
（3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）设 ，
则 ，
；
（3）解： 是等腰三角形．
理由： ，
，
，
，
解得 ，
，
是等腰三角形．
【变式26-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）若一个两位正整数a的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且满足．
(1)写出符合条件的所有数a；
(2)若，，且p，q为正整数，求的值．
【答案】(1)12或21或30；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
（1）由，对m，n进行取值即可解决问题．
（2）由，得出，，进而得出的值，进一步得出的值，分类讨论即可解决问题．
【详解】（1）因为，且为两位正整数的十位上的数
字，为其个位上的数字，
所以，或，或，，
所以为12或21或30；
（2）因为，
所以，，
所以．
由得，
．
又因为，为正整数，
所以，
则，，，
解得(舍去) 或或(舍去)，
所以．
【变式26-2】（24-25八年级·山东德州·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
(1)若，，则，的“和积数”_____；
(2)若，，求，的“和积数”；
(3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)c的值为或
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据“和积数”的定义进行计算即可；
（2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可；
（3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴的“和积数”c为；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
∵，，，
∴，
∴或，
当时，，
当时，，
综上所述，c的值为或；
（3）解：由题意得：，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式26-3】（24-25八年级·云南普洱·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由．
②已知实数，满足，求的最小值．
【答案】(1)①③
(2)①当时，为“完美数”，理由见解析；②
【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算：
（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应字母的值；
（3）利用配方法和非负数的性质求得最小值；
仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴29是“完美数”，
∵，
∴13是“完美数”，
故答案为：①③；
（2）①当时，为“完美数”，理由八年级(下)月考必考题型专项复习(5月份)【26大考点】
（考试范围：第1~4章）
【北师大版】
【考点1 等腰三角形的性质】 1
【考点2 等腰三角形的判定】 3
【考点3 等腰三角形的判定与性质】 4
【考点4 等边三角形的性质】 5
【考点5 等边三角形的判定】 6
【考点6 等边三角形的判定与性质】 8
【考点7 含30度角的直角三角形】 9
【考点8 直角三角形全等的判定】 11
【考点9 直角三角形的判定与性质】 12
【考点10 勾股定理】 13
【考点11 勾股定理的证明】 14
【考点12 勾股定理的逆定理】 15
【考点13 勾股定理的应用】 16
【考点14 线段的垂直平分线】 17
【考点15 角平分线】 18
【考点16 不等关系与不等式的基本性质】 20
【考点17 解一元一次不等式（组）】 20
【考点18 一元一次不等式（组）的解】 21
【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 21
【考点20 图形的平移】 22
【考点21 图形的旋转】 24
【考点22 中心对称】 25
【考点23 因式分解】 27
【考点24 利用因式分解求值】 28
【考点25 利用因式分解进行有理数的简算】 29
【考点26 因式分解的应用】 29
【考点1 等腰三角形的性质】
【例1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）在四边形中，连接对角线，，已知，，若，，则的长是 ．
【变式1-1】（24-25八年级·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ．
【变式1-2】（24-25八年级·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ．
【变式1-3】（24-25八年级·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接．
(1)求证：；
(2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由．
【考点2 等腰三角形的判定】
【例2】（24-25八年级·江西宜春·期末）如图1，已知中，平分，平分的外角．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，过D点作，交于点F，交于点G，试猜想、与的数量关系，并证明．
【变式2-1】（24-25八年级·湖北十堰·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平分线于点F，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．无法求出
【变式2-2】（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：；
(2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形．
【变式2-3】（24-25八年级·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】
如图1，平分，．易证是等腰三角形．
【变式探究】
（1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
【形成经验】
当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形．
【经验应用】
（2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________．
【考点3 等腰三角形的判定与性质】
【例3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，在中，是的平分线，点在上，且，过点作的平行线，交的延长线于点，于点．请你用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【变式3-1】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，点E恰好落在线段上．若，，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【变式3-2】（24-25八年级·重庆·期中）如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ．
【变式3-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，点在边上，点在边上，且．
(1)若垂直平分，求的度数；
(2)若，求证：；
(3)若，当是以，为腰的等腰三角形时，求的长．
【考点4 等边三角形的性质】
【例4】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【变式4-2】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由．
【变式4-3】（24-25八年级·湖南永州·期末）如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【考点5 等边三角形的判定】
【例5】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求出的形状．
【变式5-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，．
(1)求证：．
(2)当时，求证是等边三角形．
【变式5-2】（24-25八年级·江苏镇江·期中）如图，在中，，，，为中点．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
【变式5-3】（24-25八年级·河北沧州·期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
(1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【考点6 等边三角形的判定与性质】
【例6】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．
A．42 B． C． D．
【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期末）如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式6-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形，D，E分别为边的中点，连接；G为射线上的一个动点，以为边，并在其左侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，若，，与相交于点，则 ， °．
(2)如图2，当点G在的延长线上时，
①与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算的度数．
【变式6-3】（24-25八年级·广东云浮·期末）【课本再现】
（1）如图1，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
求证：．
【拓展】
（2）如图2，是等边三角形，点D在上，延长至点E，使．
求证：．
【探究】
（3）在等边中，若点D在线段的延长线上，点E在直线上，且，请判断和之间是否还存在上述等量关系，并说明理由．
【考点7 含30度角的直角三角形】
【例7】（24-25八年级·浙江·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且．
(1)如图，若，，求的度数；
(2)试探求与的数量关系；
(3)如图，若平分，于点，求证：．
【变式7-1】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形，D，E分别为边的中点，连接；G为射线上的一个动点，以为边，并在其左侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，若，，与相交于点，则 ， °．
(2)如图2，当点G在的延长线上时，
①与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算的度数．
【变式7-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
(1)点的坐标是__________；
(2)如图2，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
①若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
②若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
【考点8 直角三角形全等的判定】
【例8】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合．
【变式8-1】（24-25八年级·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．
【变式8-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，．
(1)求证：；
(2)若，的面积为6，求的面积．
【变式8-3】（24-25八年级·重庆江津·期末）如图，已知是直角三角形，垂直平分于点，则 ．
【考点9 直角三角形的判定与性质】
【例9】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式9-1】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．
【变式9-2】（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式9-3】（24-25八年级·浙江舟山·期末）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
(1)若，求的度数．
(2)求证：．
(3)已知， ，求的值．
【考点10 勾股定理】
【例10】（24-25八年级·河南郑州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15
【变式10-1】（24-25八年级·重庆·期中）若一个直角三角形的两直角边的长为3和4，则第三边的长为（ ）
A．或 B．5 C． D．5或
【变式10-2】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，，，如果，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．8
【变式10-3】（24-25八年级·广东茂名·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点11 勾股定理的证明】
【例11】（24-25八年级·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）．
【变式11-1】（24-25八年级·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．
【变式11-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
【变式11-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【考点12 勾股定理的逆定理】
【例12】（24-25八年级·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是 ．
【变式12-1】（24-25八年级·广西来宾·期中）下列选项中的三条长度的线段首尾顺次连接能围成一个直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式12-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ．
【变式12-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ．
【考点13 勾股定理的应用】
【例13】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【变式13-1】（24-25八年级·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【变式13-2】（24-25八年级·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
(1)求港口A到海岛B的距离；
(2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数）
【变式13-3】（24-25八年级·河南驻马店·期中）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
【考点14 线段的垂直平分线】
【例14】（24-25八年级·山西长治·期末）如图，在中，于点E，交于点M，，以点C为圆心长为半径作弧，交于点F，连结交于点G．若，则长为（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．5
【变式14-1】（24-25八年级·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式14-2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式14-3】（24-25八年级·吉林·期末）如图，在中，，点E在上，的垂直平分线交于点D，交于点F，交的延长线于点M，若．
(1)求证：；
(2)请直接写出与位置关系是 ；
(3)若，则的度数为 ．
【考点15 角平分线】
【例15】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
【变式15-1】（24-25八年级·江苏无锡·期末）在四边形中，仅用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图，在边上确定点，使点到边、的距离相等．
(2)如图，在四边形的边上确定点的位置，使，若点有不同位置，请用、…区分；
【变式15-2】（24-25八年级·陕西安康·期末）如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且．
(1)求证：．
(2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
【变式15-3】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是16，求的长．
【考点16 不等关系与不等式的基本性质】
【例16】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【变式16-1】（24-25八年级·广东广州·期末）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ．
【变式16-2】（24-25八年级·海南海口·期中）数学表达式①；② ；③；④；⑤中不等式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式16-3】（24-25八年级·浙江·期末）设、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【考点17 解一元一次不等式（组）】
【例17】（24-25八年级·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式17-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【变式17-2】（24-25八年级·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【考点18 一元一次不等式（组）的解】
【例18】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
【变式18-1】（24-25八年级·浙江金华·期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式18-2】（24-25八年级·湖南娄底·期末）不等式的最小整数解为 ．
【变式18-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ．
【考点19 一元一次不等式（组）的应用】
【例19】（24-25八年级·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【变式19-1】（24-25八年级·山东潍坊·期中）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式19-2】（24-25八年级·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．
(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？
【变式19-3】（24-25八年级·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？
【考点20 图形的平移】
【例20】（24-25八年级·广西来宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点的坐标为，，，，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式20-1】（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是的边上的一点，经过平移后得到，，，的对应点分别为，，．点的对应点为．
(1)写出，，三点的坐标；
(2)在图中画出；
(3)的面积为_____．
【变式20-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，浮山公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（ ）．
A．24 B．48 C．56 D．72
【变式20-3】（24-25八年级·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ．
【考点21 图形的旋转】
【例21】（24-25八年级·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式21-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
【变式21-2】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ．
【变式21-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点A作轴，连接，满足．将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【考点22 中心对称】
【例22】（24-25八年级·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
(1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等）
(2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________．
【变式22-1】（24-25八年级·山东临沂·期末）未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式22-2】（24-25八年级·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，其中，，．
(1)画出关于点O的中心对称图形，使点，，的对应点分别为点，，；
(2)将绕着点顺时针旋转，点，，的对应点分别为点，，，画出旋转后得到的，并直接写出点，，的坐标．
【变式22-3】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【考点23 因式分解】
【例23】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）阅读材料：
因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式．
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【变式23-1】（24-25八年级·山东威海·期末）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【变式23-2】（24-25八年级·四川泸州·期末）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
（1）利用“热门定理”把分解因式．
热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式：．
【变式23-3】（24-25八年级·河南三门峡·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
(2)；
【考点24 利用因式分解求值】
【例24】（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
【变式24-1】（24-25八年级·四川广安·期末）小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式24-2】（24-25八年级·福建泉州·期末）若，则的值是 ．
【变式24-3】（24-25八年级·重庆九龙坡·期末）（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式．要求等式从左边到右边，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”．如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，可以得到的“因式分解等式”为_______；如图2，若，时_______；
（2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”．如图3_______；
（3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值．
【考点25 利用因式分解进行有理数的简算】
【例25】（24-25八年级·湖北荆州·期末）计算的值为 ．
【变式25-1】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式25-2】（24-25八年级·安徽合肥·专题练习）能被91整除吗？请说明理由．
【变式25-3】（24-25八年级·安徽芜湖·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ．
(1)上述分解因式的方法是_______；
(2)分解因式的结果是_______；
(3)利用（2）中结论计算：．
【考点26 因式分解的应用】
【例26】（24-25八年级·河南商丘·期末）阅读下列材料，并解答相关问题．
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：因式分解：．
解：原式
【材料2】因式分解：．
解：把看成一个整体，令，则原式，再将代入，得，此题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：．
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：．
(3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状，并说明理由．
【变式26-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）若一个两位正整数a的十位上的数字为m，个位上的数字为n，且满足．
(1)写出符合条件的所有数a；
(2)若，，且p，q为正整数，求的值．
【变式26-2】（24-25八年级·山东德州·期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
(1)若，，则，的“和积数”_____；
(2)若，，求，的“和积数”；
(3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）．
【变式26-3】（24-25八年级·云南普洱·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由．
②已知实数，满足，求的最小值．
1
