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2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（培优卷）
【北师大版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的性质等知识点，根据不等式的基本性质逐一判定即可得解，熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键．
【详解】解：A、由得到：,选项结论成立，故本选项不符合题意；
由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意；
由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意；
由得到：，选项结论不成立，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，7，12 B．2，3，4 C．1，1， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A．，，因为，即，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．，，因为，即，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C．，，因为，即，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D．因为，，因为，即，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案．
【详解】解： 中，， 是的中线，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故选D．
4．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
，
，
故选：．
5．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，一次函数与方程，不等式的关系逐一判断即可，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】、根据两条直线交点的坐标是，得到方程的解是，原选项正确；
、根据不等式的解集，不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原选项正确；
、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，
∴不等式组的解集是，原选项正确；
、根据图象可知方程组的解是，原选项不正确；
故选：．
6．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）如图，中，，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形面积求法．由作图知，得到平分,由角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得方程，解方程即可得解.
【详解】解：如图，过点作于点，设,
由作图知，平分,
又∵,，
,
,
，
,
，
,即，
故选：．
7．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
的取值范围是．
故选：C．
8．（3分）（24-25八年级·河北沧州·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：当点在点左侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知，
∴；
当点在点的右侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知，
∴；
综上所述，的周长为10或14，
故选：D．
9．（3分）（24-25八年级·山东济宁·期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设 ，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
10．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质；
设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解．
【详解】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图：
，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ．
【答案】
【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可．
【详解】解：
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴不等式的非负整数解是．
故答案为：．
12．（3分）（24-25八年级·山东潍坊·阶段练习）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
【答案】8
【详解】如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
13．（3分）（24-25八年级·山东青岛·期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ．
【答案】(3，300°)或(3，120°)
【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C．
【详解】解：
如图：设中心点为点O，在中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3，)或(3，)．
【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键．
14．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数．
（1）a的取值范围为 ．
（2）若，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程与不等式，以及不等式的性质．
①先解出关于x的方程的解，再根据解是负数列出不等式，解关于a的不等式即可，
②变形，把第一问的结果代入，即可．
【详解】解①：解关于x的方，
得
因为解为负数，
所以
解这个不等式，得
所以a的取值范围是；
②
∴，
，
故答案为：，．
15．（3分）（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F，
则．
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：
16．（3分）（24-25八年级·湖南邵阳·期中）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；其中正确的有 （填正确的序号）
【答案】4
【分析】证明 ，进而可判断①；由 可得，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得的度数，从而可判断②；过点作于点，于点，由，可得，，由面积相等可得，即点到和的距离相等，故可判断；由④的证明知，点在的平分线上，则可判断③，最后可得结论．
【详解】解：，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，故正确；
，
，
，，
，
，
，故正确；
过点作于点，于点，如图，
，
，，
，
，
即点到和的距离相等，故正确；
，，，
点在的平分线上，
平分，故正确．
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和的定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·广东深圳·期末）（1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解．
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【答案】（1），最大整数解为7；（2），图见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的解法求解即可．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）去分母得，，
即，
∴
∴
∴最大整数解为7
（2）解：解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为，在数轴上表示为：
18．（6分）（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，是等边的中线，交的延长线于点E，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，则的长度为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形性质得到，结合垂直定义得到，利用对顶角相等进行等量代换得到，最后根据等腰三角形性质即可证明；
（2）利用等边三角形性质和中线性质得到，，结合直角三角形性质得到，，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解： ，是等边三角形，
，，
是等边的中线，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，垂直定义，对顶角相等，等腰三角形性质，中线性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
19．（6分）（24-25八年级·吉林松原·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．
(1)在图①中找一格点C，使是等腰三角形，且面积为；
(2)在图②中找一格点D，使是等腰钝角三角形，且面积为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）作一个腰为3的等腰直角三角形即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∵，
．
∴是等腰三角形，且面积为．
（2）解：如图所示，点D即为所求．
由勾股定理，得，，
∴，
∵，
∴，
∴等腰钝角三角形，且面积为．
20．（8分）（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
(2)求直线的表达式和a的值；
(3)若点P在直线上，且，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图象可知时，在的下方，得出答案；
（2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入，
求解即可得出答案；
（3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，
x的取值范围为；
（2）将点，代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
把代入
得，
∴点M的坐标为，
把代入，
得．
（3）设，
把代入得，，
∴，
∴，
，
解得或．
∴或
21．（8分）（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
(1)如图，的周长为18，求的长．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算；
（2）由对顶角相等得，根据垂直的定义得到，由（1）知，得，最后根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：垂直平分，
，．
又，
，
∴，
又的周长为18，
，
．
（2）解：，
．
又垂直平分，
，
．
又，
∴，
∵，
，
．
22．（9分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：
类型 进价（元/台） 售价（元/台）
甲 2300 2800
乙 3300 4000
(1)若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；
(2)若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润．
【答案】(1)购进甲空调35台，购进乙空调15台
(2)购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用：
（1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台，根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．
根据题意，得，
解得．
答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．
（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台．
根据题意，得，
解得．
设获得的总利润为W元，则，
∵，
∴W随m的减小而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，
（台）．
答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．
23．（9分）（24-25八年级·山东青岛·期末）如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒．
(1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
(2)当秒时，的面积是11，求此时点的坐标；
(3)如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握分类讨论思想的运用．
（1）如图1，过点作于，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2，②当点在轴的负半轴时，如图3，根据三角形的面积差列方程可解答；
（3）分三种情况：如图4和图5和图6，作辅助线构建全等三角形即可解答．
【详解】（1）解：如图1，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
，
连接，
分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2 ，
∵，
，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
②当点在轴的负半轴时，如图3，
∵，
∴，
∴，
∴（不符合题意，舍）；
综上，点的坐标为；
（3）解：存在，
分三种情况：①如图4，，
过点作轴于，过点作于，过点作于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
此时点；
②如图5，，
过点作轴于，过点作于，过点作于，则，
同理得：，
，
，
，
，
，
；
③如图6，，
过点作轴于，过点作于，过点作于，则，
同理得：，
，
，
，
，
，
；
综上，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为．
24．（10分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
25．（10分）（24-25八年级·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______．
【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________．
【答案】【初步探索】，；
【拓展延伸】见解析；
【知识应用】或．
【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证， ，根据三角形内角和定理可得，从而可证；
【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立；
【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可．
【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点，
和都是等腰直角三角形，，
，，，
在和中，
，
，，
在中，
，
，
，
，
故答案为：，；
【拓展延伸】解：中的结论仍然成立，
理由如下：
如下图所示，延长交于点，交于点 ，
由【初步探索】可知，
，，
在中，
，
，
，
；
【知识应用】解:如下图所示，连接，
由【拓展延伸】可知，
是等腰直角三角形，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
；
如下图所示，当点在内，点在外时，连接，
由【拓展延伸】可知，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，
，
又，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
1
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2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（培优卷）
【北师大版】
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~2章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．5，7，12 B．2，3，4 C．1，1， D．，，
3．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
5．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是
6．（3分）（24-25八年级·福建福州·期中）如图，中，，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（24-25八年级·河北沧州·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
9．（3分）（24-25八年级·山东济宁·期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
10．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·上海虹口·期中）不等式的非负整数解是 ．
12．（3分）（24-25八年级·山东潍坊·阶段练习）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
13．（3分）（24-25八年级·山东青岛·期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ．
14．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）已知关于x的方程的解为负数．
（1）a的取值范围为 ．
（2）若，，则的取值范围为 ．
15．（3分）（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ．
16．（3分）（24-25八年级·湖南邵阳·期中）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；其中正确的有 （填正确的序号）
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·广东深圳·期末）（1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解．
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
18．（6分）（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，是等边的中线，交的延长线于点E，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，则的长度为__________．
19．（6分）（24-25八年级·吉林松原·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．
(1)在图①中找一格点C，使是等腰三角形，且面积为；
(2)在图②中找一格点D，使是等腰钝角三角形，且面积为．
20．（8分）（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
(1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？
(2)求直线的表达式和a的值；
(3)若点P在直线上，且，求点P的坐标．
21．（8分）（24-25八年级·湖南衡阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
(1)如图，的周长为18，求的长．
(2)若，，求的度数．
22．（9分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：
类型 进价（元/台） 售价（元/台）
甲 2300 2800
乙 3300 4000
(1)若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；
(2)若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润．
23．（9分）（24-25八年级·山东青岛·期末）如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒．
(1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
(2)当秒时，的面积是11，求此时点的坐标；
(3)如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
25．（10分）（24-25八年级·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______．
【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________．
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