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2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【40大考点】
【北师大版】
【考点1 等腰三角形的性质】 2
【考点2 等腰三角形的判定】 3
【考点3 等腰三角形的判定与性质】 4
【考点4 等边三角形的性质】 5
【考点5 等边三角形的判定】 7
【考点6 等边三角形的判定与性质】 7
【考点7 含30度角的直角三角形】 9
【考点8 直角三角形全等的判定】 10
【考点9 直角三角形的性质】 11
【考点10 勾股定理】 13
【考点11 勾股定理的逆定理】 14
【考点12 勾股数（树）】 15
【考点13 勾股定理的应用】 16
【考点14 四种命题及其关系】 17
【考点15 线段的垂直平分线】 18
【考点16 角平分线】 20
【考点17 不等式的基本性质】 21
【考点18 解一元一次不等式(组)】 21
【考点19 一元一次不等式(组)的解】 23
【考点20 一元一次不等式(组)的整数解】 23
【考点21 一次函数与不等式(组)】 23
【考点22 一元一次不等式(组)的应用】 25
【考点23 图形的平移】 26
【考点24 图形的旋转】 27
【考点25 中心对称图形】 29
【考点26 中心对称】 30
【考点27 因式分解】 31
【考点28 利用因式分解进行简算】 32
【考点29 利用因式分解求值】 32
【考点30 因式分解的应用】 32
【考点31 分式】 33
【考点32 分式的基本性质】 34
【考点33 分式的运算】 35
【考点34 解分式方程】 36
【考点35 分式方程的应用】 37
【考点36 平行四边形的性质】 38
【考点37 平行四边形的判定】 39
【考点38 平行四边形的判定与性质】 40
【考点39 三角形的中位线】 41
【考点40 多边形的内角和与外角和】 42
【考点1 等腰三角形的性质】
【例1】（24-25八年级·河北沧州·期末）如图，在中，，，是上一点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25八年级·安徽亳州·期末）如图，，分别是的中线和高．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．
【变式1-3】（24-25八年级·山东泰安·期末）在中，．
(1)是上的高，．
①如图1，如果，则_____°；
②如图2，如果，则_____．
(2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：_____．
(3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【考点2 等腰三角形的判定】
【例2】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ．
【变式2-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，求的度数．
(2)若面积为40，，求的长．
【变式2-3】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．若，，，求的周长．
【考点3 等腰三角形的判定与性质】
【例3】（24-25·山东淄博·八年级·期末）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点有 （ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个
【变式3-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，的两条高线相交于点；点是的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求的长．
【变式3-2】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)当为多少度时，是等腰三角形？
【变式3-3】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上的一点，过点D作，与的延长线交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在上截取，连接，判断的数量关系，并说明理由．
【考点4 等边三角形的性质】
【例4】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，已知等边△的边长为，中线，点在上运动，连接，在的右侧作等边△，连接，则△周长的最小值是 ．
【变式4-3】（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【考点5 等边三角形的判定】
【例5】（24-25八年级·广东深圳·期末）下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
【变式5-1】（24-25八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．
【变式5-2】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
【变式5-3】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求出的形状．
【考点6 等边三角形的判定与性质】
【例6】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．
A．42 B． C． D．
【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期末）如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式6-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，以为边作等边，，分别为，延长线上的点，且、、，则 （用含的式子表示）．
【变式6-3】（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，．
(1)求的度数；
(2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由．
【考点7 含30度角的直角三角形】
【例7】（24-25八年级·重庆九龙坡·期末）如图，在中，点D在上，，，， ，过点E作于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，，点D在边上，，过点D作于点E，过点E作于点F，则的长是（ ）
A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6
【变式7-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为 ．
【变式7-3】（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，，于点．
(1)求与的度数．
(2)求的长．
【考点8 直角三角形全等的判定】
【例8】（24-25八年级·山西运城·期末）如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为 ．
【变式8-2】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．，，求的度数．
【变式8-3】（24-25八年级·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），．
(1)求的度数．
(2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？
【考点9 直角三角形的性质】
【例9】（24-25八年级·安徽宣城·期末）已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．①②③
【变式9-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．
【变式9-2】（24-25八年级·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且．
(1)求证：；
(2)吗？请说明理由；
(3)若，是什么三角形？
【变式9-3】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．
甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【考点10 勾股定理】
【例10】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（ ）
A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3
【变式10-1】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【变式10-2】（24-25八年级·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【变式10-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【考点11 勾股定理的逆定理】
【例11】（24-25八年级·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
【变式11-1】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：_______，_____，_____；
(2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
【变式11-2】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片绿化地（四边形），点处放置一雕像，已知，，，，求这片绿化地的面积．
【变式11-3】（24-25八年级·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
(1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
(2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
(3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【考点12 勾股数（树）】
【例12】（24-25八年级·江苏南京·期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【变式12-1】（24-25八年级·吉林·期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【变式12-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ．
【变式12-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S 分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【考点13 勾股定理的应用】
【例13】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ．
【变式13-1】（24-25八年级·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【变式13-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为_____cm．
【变式13-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【考点14 四种命题及其关系】
【例14】（24-25八年级·河北沧州·期末）下列命题：
①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式14-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】（24-25八年级·浙江宁波·期中）等腰三角形两底角相等的逆命题是 ．
【变式14-3】（24-25八年级·福建泉州·期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
【考点15 线段的垂直平分线】
【例15】（24-25八年级·山东聊城·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5
【变式15-1】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，在中，，，直线l是线段的垂直平分线，交于点D，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（24-25八年级·青海海东·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交、于点和点．若，则的长为 ．
【变式15-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，．
(1)求证：；
(2)过作，若，
①证明：；
②求的长（结果不化简）．
【考点16 角平分线】
【例16】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【变式16-1】（24-25八年级·广西河池·期末）如图，已知中，点是、角平分线的交点，点到边的距离为3，且的面积为6，则的周长为( )
A．6 B．4 C．3 D．无法确定
【变式16-2】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线A交于点M，连接，若，，则的长为 ．
【变式16-3】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点．
(1)在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点．
【考点17 不等式的基本性质】
【例17】（24-25八年级·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（ ）
A．207 B．208 C．209 D．239
【变式17-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）设，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-2】（24-25八年级·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【变式17-3】（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【考点18 解一元一次不等式(组)】
【例18】（24-25八年级·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得．①
去括号，得．②
移项，得．③
合并同类项，得．④
两边都除以，得．⑤
【变式18-1】（24-25八年级·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
【变式18-2】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式的解集是，那么关于x的不等式的解集是 ．
【变式18-3】（24-25八年级·重庆·阶段练习）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，
．
又，
．
．
又，
． ①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是 ；
(2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
【考点19 一元一次不等式(组)的解】
【例19】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【变式19-1】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
【变式19-2】（24-25八年级·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【变式19-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
【考点20 一元一次不等式(组)的整数解】
【例20】（24-25八年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ．
【变式20-1】（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【变式20-2】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ．
【变式20-3】（24-25八年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ．
【考点21 一次函数与不等式(组)】
【例21】（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式21-1】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式21-2】（24-25八年级·广东佛山·阶段练习）直线：与直线：在同一坐标系里的图像如图所示，当时，x的取值范围是： ．
【变式21-3】（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)计算四边形的面积．
(3)下列说法正确的有______（填序号）；
①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是；
③关于x的不等式的解集是．
【考点22 一元一次不等式(组)的应用】
【例22】（24-25八年级·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 3台 900元
第二周 3台 5台 1430元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【变式22-1】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
【变式22-2】（24-25八年级·福建福州·期中）某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买2箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需230元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元．
(1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
【变式22-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【考点23 图形的平移】
【例23】（24-25八年级·重庆石柱·期中）如图，将沿方向平移得到，若，的周长为，则 度，四边形的周长为 ．
【变式23-1】（24-25八年级·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ．
【变式23-2】（24-25八年级·广东广州·期中）把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
(1)在图中画出三角形；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____；
(3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____．
【变式23-3】（24-25八年级·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积；
(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴；
(3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标．
【考点24 图形的旋转】
【例24】（24-25八年级·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，对应点的坐标为，画出平移后对应的；
(2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【变式24-1】（2025·福建厦门·三模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为
【变式24-2】（24-25八年级·湖北襄阳·期末）如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式24-3】（24-25八年级·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，面积为8的正方形，如图．
(1)写出A、、、的坐标．
(2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？
(3)将边平移到与重合，怎么平移？
【考点25 中心对称图形】
【例25】（24-25八年级·广东潮州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出关于原点O的对称图形并写出点，，的坐标；
(2)的面积为______．
【变式25-1】（24-25八年级·甘肃张掖·期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式25-2】（24-25八年级·江西南昌·期末）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【变式25-3】（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
【考点26 中心对称】
【例26】（24-25八年级·广东深圳·期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
【变式26-1】（24-25八年级·辽宁朝阳·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．
【变式26-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
【变式26-3】（24-25八年级·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次．
【考点27 因式分解】
【例27】（24-25八年级·陕西西安·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式27-1】（24-25八年级·宁夏银川·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【变式27-2】（2025·广东深圳·二模）已知，则 ．
【变式27-3】（24-25八年级·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
【考点28 利用因式分解进行简算】
【例28】（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ）
A．100 B．50 C．17 D．3
【变式28-1】（24-25八年级·四川宜宾·期中）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式28-2】（24-25八年级·云南文山·期末）计算： ．
【变式28-3】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【考点29 利用因式分解求值】
【例29】（24-25八年级·黑龙江·专题练习）已知，，则代数式的值是（ ）
A．2 B． C．15 D．
【变式29-1】（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
【变式29-2】（2025·山东临沂·一模）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为 ．
【变式29-3】（2025·山东淄博·一模）若，，，则的值为 ．
【考点30 因式分解的应用】
【例30】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为 ．
【变式30-1】（24-25八年级·安徽蚌埠·阶段练习）若为任意整数，则的值总能（ ）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
【变式30-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)观察图形，发现代数式可以因式分解为_______；
(2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．
【变式30-3】（24-25八年级·重庆开州·阶段练习）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数S为“和九数”．将“和九数”S的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记．例如：四位数1729，∵，∴1729不是“和九数”，又如：四位数6315，∵，∴6315是“和九数”，．①计算 ；②S为“和九数”，且能被7整除，记，则当取得最大值时，则此时“和九数”S为 ．
【考点31 分式】
【例31】（24-25八年级·甘肃定西·期末）若分式的值为0，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．0
【变式31-1】（24-25八年级·天津西青·期末）若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式31-2】（24-25八年级·重庆万州·期中）在，，，中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式31-3】（24-25八年级·江苏无锡·期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点32 分式的基本性质】
【例32】（24-25八年级·山东滨州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
【变式32-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大倍
C．不变 D．缩小到原来的
【变式32-2】（24-25八年级·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式32-3】（24-25八年级·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．
如：；．
根据上面材料回答下列问题：
(1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”）
(2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；
(3)将假分式化为带分式．
【考点33 分式的运算】
【例33】（24-25八年级·湖北荆州·期末）已知：．
(1)当时，比较与的大小，并说明理由；
(2)设，若是整数，求的整数值．
【变式33-1】（24-25八年级·山西吕梁·期末）先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值．
【变式33-2】（24-25八年级·辽宁大连·期末）【类比学习】
在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有：
1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如；
2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如；
3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大．
例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数．
【问题呈现】
小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜．
(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，
小强组成的分式中值最大的分式是______．
(2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明．
【变式33-3】（24-25八年级·河南安阳·期末）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法：
方法1：，
原式．
方法2：，将分式的分子，分母同时除以得，
原式
(1)“方法1”中运用了“分式””这一章的数学依据是________；
(2)请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整．
【考点34 解分式方程】
【例34】（24-25八年级·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
【变式34-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程．
(1)若这个分式方程的解是，求的值；
(2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
【变式34-2】（24-25八年级·内蒙古呼和浩特·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：，则的值为 ；若，则a的值为 ．
【变式34-3】（24-25八年级·福建厦门·期末）观察下列等式：
第1个等式；；
第2个等式：；
第3个等式；；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请计算的值；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由；
(3)若，求n的值．
【考点35 分式方程的应用】
【例35】（24-25八年级·湖北孝感·期末）今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
【变式35-1】（24-25八年级·山东临沂·期末）大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？
【变式35-2】（24-25八年级·福建龙岩·期末）2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？
【变式35-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
(1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______．
【考点36 平行四边形的性质】
【例36】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ．
【变式36-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接并延长交于点．则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式36-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式36-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ．
【考点37 平行四边形的判定】
【例37】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作与交于点C
B．在下方作与交于点C，使
C．在上截取，使，连接
D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接
【变式37-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．
【变式37-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【变式37-3】（24-25八年级·青海海东·期末）在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E．
(1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数；
(2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形．
【考点38 平行四边形的判定与性质】
【例38】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式38-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长．
【变式38-2】（2025·江苏无锡·一模）如图，在中，点D在线段上，点F在线段的延长线上，若，四边形是平行四边形，且与的面积和为6，则的面积为 ．
【变式38-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在中，，为边上一点（），过点，分别作射线的垂线，垂足分别为点，．点在的延长线上，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，的周长为24，求的长．
【考点39 三角形的中位线】
【例39】（24-25八年级·湖南湘潭·期中）如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【变式39-1】（2025·浙江·三模）如图，是的中位线，作的平分线分别交的延长线，边于点M、N，若点N恰好是的中点，，则的长为 ．
【变式39-2】（2025·河南商丘·一模）如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ．
【变式39-3】（24-25八年级·广西来宾·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)直接写出与的数量关系．
(3)若，，，求的长．
【考点40 多边形的内角和与外角和】
【例40】（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式40-1】（24-25八年级·河北石家庄·期末）有一天，小红的爸爸想考考她，她爸爸说：今天我在做手工的时候，把一个多边形木板锯掉了一个角后得到一个新多边形木板，通过测量计算得到新多边形木板的内角和为，那么原多边形木板的边数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．以上都有可能
【变式40-2】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）如图，是六边形的四个外角，延长交于点H．若，则的大小为 ．
【变式40-3】（24-25八年级·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ．
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2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【40大考点】
【北师大版】
【考点1 等腰三角形的性质】 2
【考点2 等腰三角形的判定】 7
【考点3 等腰三角形的判定与性质】 11
【考点4 等边三角形的性质】 17
【考点5 等边三角形的判定】 22
【考点6 等边三角形的判定与性质】 25
【考点7 含30度角的直角三角形】 30
【考点8 直角三角形全等的判定】 34
【考点9 直角三角形的性质】 38
【考点10 勾股定理】 42
【考点11 勾股定理的逆定理】 46
【考点12 勾股数（树）】 51
【考点13 勾股定理的应用】 54
【考点14 四种命题及其关系】 58
【考点15 线段的垂直平分线】 60
【考点16 角平分线】 65
【考点17 不等式的基本性质】 71
【考点18 解一元一次不等式(组)】 73
【考点19 一元一次不等式(组)的解】 76
【考点20 一元一次不等式(组)的整数解】 79
【考点21 一次函数与不等式(组)】 81
【考点22 一元一次不等式(组)的应用】 85
【考点23 图形的平移】 89
【考点24 图形的旋转】 94
【考点25 中心对称图形】 98
【考点26 中心对称】 101
【考点27 因式分解】 103
【考点28 利用因式分解进行简算】 106
【考点29 利用因式分解求值】 107
【考点30 因式分解的应用】 109
【考点31 分式】 113
【考点32 分式的基本性质】 115
【考点33 分式的运算】 117
【考点34 解分式方程】 121
【考点35 分式方程的应用】 125
【考点36 平行四边形的性质】 128
【考点37 平行四边形的判定】 133
【考点38 平行四边形的判定与性质】 136
【考点39 三角形的中位线】 142
【考点40 多边形的内角和与外角和】 147
【考点1 等腰三角形的性质】
【例1】（24-25八年级·河北沧州·期末）如图，在中，，，是上一点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可知，再根据，可得，进一步可得的长．
【详解】解：，，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【变式1-1】（24-25八年级·安徽亳州·期末）如图，，分别是的中线和高．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可，熟知三线合一性质是解题的关键．
【详解】解：是的高，
，
，
，
，
是的中线，，
，
，
故选：B．
【变式1-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．
【答案】
【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出．
【详解】解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点F是中点，即，
，，
，
，即点A是中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
【变式1-3】（24-25八年级·山东泰安·期末）在中，．
(1)是上的高，．
①如图1，如果，则_____°；
②如图2，如果，则_____．
(2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：_____．
(3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【答案】(1)①10；②；
(2)；
(3)仍成立，理由见解析．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”和等边对等角的性质是解题的关键．
（1）①等腰三角形三线合一，所以，又因为，所以，所以．
②同理，证明，所以．
（2）利用等腰三角形 “三线合一”的性质得，再根据，得，再根据，从而可得出结论．
（3）由于，所以，根据已知，证明，而，所以．
【详解】（1）解：①在中，，是上的高，
，
，
，
，
，
是上的高，
．
故答案为：10；
②在中，，是上的高，
，
，
，
，
，
．
故答案为：20；
（2）解：在中，，是上的高，
，
∵
∴，
∵是上的高，
∴
∴
∴．
（3）解：仍成立，理由如下：
，
，
，
又，
，
，即．
【考点2 等腰三角形的判定】
【例2】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，然后根据角的和差可得，根据等腰直角三角形的判定可得，最后根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，即，
解得，
，
又，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
【变式2-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明和全等得，，则，再根据得，由此可得出的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：5．
【变式2-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，求的度数．
(2)若面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：∵，
，
∵平分，
∴，
∵为高，
，
．
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式2-3】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．若，，，求的周长．
【答案】
【分析】首先根据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可推得，根据等角对等边得出，结合对顶角相等和全等三角形的判定证明，根据全等三角形的性质得出的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
【详解】解：∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∵是的中点，
∴．
∵，
∴．
由对顶角相等可知：．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴的周长．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，对顶角的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点3 等腰三角形的判定与性质】
【例3】（24-25·山东淄博·八年级·期末）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点有 （ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．利用分类讨论的思想，当，，时分别找到点P即可．
【详解】解：如图，l为长方形的对称轴，即l为的垂直平分线，
∴当P在l上时满足，
作的中垂线交l于，满足；
作与l交于、两点，满足，；
作与l交于、两点，满足，；
∴满足题意的点P共5个，
故选：C．
【变式3-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，的两条高线相交于点；点是的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的高，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，同（等）角的余角相等，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题关键．
（1）根据三角形的高和同角的余角相等，证明即可；
（2）由全等三角形的性质和等边对等角的性质，得到，，再根据等角的余角相等，得到，即可求解．
（3）证明，得到，再结合求解即可．
【详解】（1）证明：是的高线，
，
．
是的高线，
．
．
在和中
．
（2）解：由（1）可知．
．
．
为中点，
．
，
．
，
．
（3）解：是的高线，
，
在和中，
．
．
由（1）可知．
．
【变式3-2】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)当为多少度时，是等腰三角形？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
（1）利用等腰三角形性质证明，结合全等三角形性质求解，即可解题；
（2）利用全等三角形性质得到，进而求出，再结合四边形内角和得到进行求解，即可解题；
（3）设时，是等腰三角形，结合全等三角形性质得到，进而得到，再根据是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题．
【详解】（1）证明： ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3）解：设时，是等腰三角形，
，
，
，
①当时，有，
，
解得，即；
②当时，有，
，
解得，即；
③当时，有，
，
，
解得，即；
综上所述， 或或，是等腰三角形．
【变式3-3】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上的一点，过点D作，与的延长线交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)在上截取，连接，判断的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：，
理由：，
，
，由（1）知：，
，
，即，
在与中，
，
，
．
【考点4 等边三角形的性质】
【例4】（24-25八年级·浙江金华·期末）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q（均不与端点重合），且相交于点O．下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据“”证明，得，推导出，可判断C符合题意，证明是找到符合题意的选项的关键．
【详解】解：根据题意可得不一定成立，
故A不符合题意；
如图1，、分别是、的中点，为等边三角形，
则，
，
，，
，，
，
故仅仅满足时，不一定成立，
故B不符合题意；
在和中，
，
，
，
，
故C符合题意；
根据题意，不一定成立，
故D不符合题意，
故选：C．
【变式4-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
由是等边三角形，则，，又是的中点，则，然后根据角所对直角边是斜边的一半得，，最后由线段和差即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
故选：．
【变式4-2】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，已知等边△的边长为，中线，点在上运动，连接，在的右侧作等边△，连接，则△周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值．
故答案为：．
【变式4-3】（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，为等边三角形，点D为延长线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转120°得到，直线与交于点F．过点E作交的延长线于点G．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)45°
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据，得到解题即可；
（2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
又，
∴．
（2）∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
【考点5 等边三角形的判定】
【例5】（24-25八年级·广东深圳·期末）下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【变式5-1】（24-25八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形．
【详解】解：∵中，，，于点，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴为等边三角形．
故答案为：等边
【变式5-2】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，，平分，且，．的长是 ，若点M、N分别在射线、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 个．
【答案】 1 无数
【分析】（1）先在中，证明，再利用角所对直角边是斜边的一半即可得答案；
（2）先作辅助线，再利用三角形全等证明只要，就是等边三角形，这样就得到满足条件的三角形有无数个
【详解】（1）∵，平分
∴
∴
又∵
∴
故填：1
（2）解：如图在、上截取，作．
∵平分，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：无数
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题的关键
【变式5-3】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，在中，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求出的形状．
【答案】(1)见解析；
(2)是等边三角形
【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得出，再得出，推出，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）先求出，再根据平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据三角形内角和定理得出，推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【考点6 等边三角形的判定与性质】
【例6】（24-25八年级·浙江杭州·期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架与交于点．如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，折叠后椅子比完全打开时高（ ）．
A．42 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为点，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，再根据平行线的性质可得：，从而可得，进而可得，最后根据等边三角形的判定可得：是等边三角形，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而中，利用含30度角的直角三角形性质可得，再利用勾股定理求出的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
折叠后椅子比完全打开时高，
故选：D．
【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期末）如图，等边纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点，证明出是等边三角形是解题关键．
由等边三角形的性质可得、，由三等分点可得，再由平行线的性质可得，进而得出是等边三角形且边长为4，即可求出的周长．
【详解】解：∵是等边三角形，且边长为12，
∴，，
∵E，F是边BC的三等分点，
，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且边长为4，
∴的周长是12．
故选：C．
【变式6-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，以为边作等边，，分别为，延长线上的点，且、、，则 （用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在延长线上取点，使得，延长交于点，证明，，，设，则，设，根据含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，进行求解即可．
【详解】解：在延长线上取点，使得，延长交于点．
因为
则为等边三角形．
则：，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
设，则，设，
则，
，
，
，
，，，
∴；
故答案为：．
【变式6-3】（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，．
(1)求的度数；
(2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可；
（2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可．
【详解】（1）解：在等边 中， ，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解： 是等边三角形． 理由如下：
由 （1）可得 ，
，
，
，
，
是等边三角形．
【考点7 含30度角的直角三角形】
【例7】（24-25八年级·重庆九龙坡·期末）如图，在中，点D在上，，，， ，过点E作于点F，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过点C作于点H，先根据已知条件求出，从而根据所对直角边等于斜边的一半，求出，然后再证明，从而得到，再设，根据已知条件求出，，然后列出关于x的方程，解方程即可．
本题主要考查了直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握添加辅助线构造全等三角形．
【解答】解：如图所示，过点C作于点H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴，
故选：C．
【变式7-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，，点D在边上，，过点D作于点E，过点E作于点F，则的长是（ ）
A．2.2 B．2 C．1.8 D．1.6
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式7-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为 ．
【答案】62
【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，，
两机箱之间的最大宽度为．
故答案为：62．
【变式7-3】（24-25八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，，于点．
(1)求与的度数．
(2)求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂线的定义可得，再求出的度数，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（2）由直角三角形的性质可得，最后再由计算即可得解．
【详解】（1）解：，
，
．
，
．
（2）解：由（1），可知．
∵为直角三角形，
，
．
【考点8 直角三角形全等的判定】
【例8】（24-25八年级·山西运城·期末）如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选B．
【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换，先确定，利用直角三角形两锐角互余，求出，再求出可得结论．解题的关键是掌握翻折变换的性质．
【详解】解：∵将沿折叠，使得点落在边上的点处，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
【变式8-2】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，已知和是的两条高线，，交于点O．，，求的度数．
【答案】
【分析】由三角形的内角和定理可得，由三角形的高的定义可得，，于是可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形外角的性质可得，于是得解．
【详解】解：，，
，
和是的两条高线，
，，
，，
，
，
的度数是．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高的定义，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及三角形的高的定义是解题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），．
(1)求的度数．
(2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？
【答案】(1)，；
(2)、都是“友爱三角形”，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．
（1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；
（2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论．
【详解】（1）解： 是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），
，
，
，即，解得，
；
（2）解：、都是“友爱三角形”，
理由： 是中边上的高，
，
，，
，，
在中，，，
，
为“友爱三角形”；
在中，，，
，
为“友爱三角形”．
【考点9 直角三角形的性质】
【例9】（24-25八年级·安徽宣城·期末）已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立．
【详解】∵于M， ，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．，，．
在中，，
∴，结论②正确．
∵，
∴．
，
但无法判定，进而不能确定．结论③错误；
综上，正确的结论是①②，
故选A．
【变式9-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．
【答案】10或20
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分情况讨论：当时，当时，由证明直角三角形全等，即可得出结果．
【详解】
分两种情况：
当时，
在和中
；
当时，
在和中
，
综上所述：当点P运动到或20时，与全等，
故答案为：10或20．
【变式9-2】（24-25八年级·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且．
(1)求证：；
(2)吗？请说明理由；
(3)若，是什么三角形？
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)是等边三角形
【分析】（1）由，，，，即可证明，
（2）由，即可证明，
（3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形．
本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【变式9-3】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．
甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【答案】，，，，，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是能熟记知识点的内容．根据甲同学根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出；乙同学运用全等三角形的相关知识得出，进而解答即可．
【详解】甲同学：解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
，，
，
，
是角三角形．
乙同学：解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
．
．
又在中，，
，
，
是直角三角形．
故答案为：，，，，，，．
【考点10 勾股定理】
【例10】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（ ）
A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设中边上的高是，利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，利用的面积建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设中边上的高是，
小方格都是边长为2的正方形，
，
，
，
，
故选：C．
【变式10-1】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键．
（1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理求出，再求出，再根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【变式10-2】（24-25八年级·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．
(1)如图1，如果，求证：．
(2)如图2，如果，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明；
（2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，
∵，
∴，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
【变式10-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解．
【详解】解：，，，，
∴由勾股定理得，
∵将沿翻折，使得点C与点B重合．
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故选：B．
【考点11 勾股定理的逆定理】
【例11】（24-25八年级·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形
【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB，
∴BD2＋CD2＝BC2
∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．
∴CD＝12．
（2）在△ACD中，∵CD⊥AB，
∴CD2＋AD2＝AC2
∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．
∴AD＝16．
∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．
（3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，
∴AB2＝BC2＋AC2
∴△ABC是直角三角形．
【变式11-1】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：_______，_____，_____；
(2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（）利用勾股定理计算即可；
（）利用勾股定理的逆定理判断即可；
【详解】（1）解：由网格得，，，，
故答案为：，，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
【变式11-2】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片绿化地（四边形），点处放置一雕像，已知，，，，求这片绿化地的面积．
【答案】这片绿地的面积是
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用以及三角形面积等知识，连接，由，由勾股定理求得；再由勾股定理的逆定理证得是直角三角形，根据两三角形的面积可求出绿化地的面积．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
是直角三角形，
，
，
答：这片绿地的面积是．
【变式11-3】（24-25八年级·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
(1)根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
(2)若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
(3)请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），，证明见解析
【分析】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）观察所给数据，找出规律求解即可；
（2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再逐一讨论即可；
（3）猜想：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证．
【详解】（1）解：观察数据我们发现：
中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，；
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．
证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
【考点12 勾股数（树）】
【例12】（24-25八年级·江苏南京·期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 ，
设，，，
，
，
，，，
不是直角三角形，符合题意．
B、，，，
，即,
为直角三角形．不符合题意；
C、，
，
，
，
，
为直角三角形．不符合题意；
D、，
，
，
为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
【变式12-1】（24-25八年级·吉林·期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可
【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、，不是勾股数，不符合题意；
D、因为，所以5，12，13是勾股数，符合题意．
故选：D．
【变式12-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出最大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰直角三角形的腰长为，即中等正方形的边长为，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为，即最小正方形的边长为，计算即可得到答案．
【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为，
，
，
所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为，
，
，
中等正方形的边长为，
同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为，
图③中所有正方形的面积和为，
故答案为：．
【变式12-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S 分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为
【答案】55
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可．
【详解】解：建立如图的数据，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
【考点13 勾股定理的应用】
【例13】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ．
【答案】15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设，则，
，
，
故，
解得；．
故答案为：15．
【变式13-1】（24-25八年级·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【答案】70
【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案．
【详解】解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式13-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为_____cm．
【答案】25
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去
故答案为：
【变式13-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)新路长度是120米
(2)该车没有超速，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
【考点14 四种命题及其关系】
【例14】（24-25八年级·河北沧州·期末）下列命题：
①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握课本中的性质定理．
判断是否为真命题，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法可得到答案．
【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确，
即正确的命题有3个．
故选：D．
【变式14-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立．
直接利用反证法的第一步分析得出答案即可．
【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立
第一步应先假设，
故选：B．
【变式14-2】（24-25八年级·浙江宁波·期中）等腰三角形两底角相等的逆命题是 ．
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到原命题的逆命题．
【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【变式14-3】（24-25八年级·福建泉州·期末）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
(1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
(2)请你补充②中所缺失的部分．
【答案】(1)B
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法：
（1）根据证明过程即可得到答案；
（2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论．
【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法，
故选：B；
（2）证明：若，
∴，这与已知相矛盾，
综上，．
【考点15 线段的垂直平分线】
【例15】（24-25八年级·山东聊城·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是18，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．6 B．10.5 C．13.5 D．16.5
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的周长最小值．
故选：C．
【变式15-1】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，在中，，，直线l是线段的垂直平分线，交于点D，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形内角和定理，垂直平分线性质，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．结合垂直平分线性质，等腰三角形性质得到，再利用三角形内角和定理得到，最后根据求解，即可解题．
【详解】解：直线l是线段的垂直平分线，
，
，，
，，
，
故选：A．
【变式15-2】（24-25八年级·青海海东·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交、于点和点．若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以，所以，从而得到，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
【详解】解：连接，如图
∵，，
∴，
由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
故答案为：6．
【变式15-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在中，，，是线段上任一点（不与重合），作交于，是延长线上一点，连结交于，．
(1)求证：；
(2)过作，若，
①证明：；
②求的长（结果不化简）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据同位角相等，直线平行可得：，根据两直线平行，内错角相等得出，，根据等腰直角三角形的判定和性质得出，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）①如图2，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，即可求解；
②设，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，列出方程，解方程的值，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴．
（2）①证明：连接，如图：
∵，
∴，
在与，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：设，
在中，，
故，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
【考点16 角平分线】
【例16】（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【分析】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：△的角平分线、交于点，
，，
，
，故①正确；
如图1，连接，作于点，于点，
平分，平分，交于点，且于点，
，
，
，故②错误；
如图2，在上截取，连接，
，
，
，
在△和△中，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
，
，
，故③正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键．
【变式16-1】（24-25八年级·广西河池·期末）如图，已知中，点是、角平分线的交点，点到边的距离为3，且的面积为6，则的周长为( )
A．6 B．4 C．3 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题意过O分别作，连接OB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出进行分析即可.
【详解】解：由题意过O分别作，连接OB如图所示：
∵点是、角平分线的交点，
∴，
∵点到边的距离为3，即,的面积为6，
∴,
∴，即的周长为4.
故选：B.
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握并利用角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
【变式16-2】（24-25八年级·河南商丘·期末）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺的一边恰好在射线上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线上，一边与射线A交于点M，连接，若，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，作于，由题意可得，，，从而可得平分，，求出，得出，求出，得出，进而可得，即可得解．
【详解】解：如图，作于，
，
由题意可得：，，，
∴平分，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式16-3】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点．
(1)在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质．
（1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于；
（2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证．
【详解】（1）解：如图，点G为所求．
（2）解：连接，
由作图可得平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴是中点．
【考点17 不等式的基本性质】
【例17】（24-25八年级·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（ ）
A．207 B．208 C．209 D．239
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解： ，是整数，
的最大值为；
，是整数，，
的最大值为；
，为整数，
的最大值为；
，为整数，，
的最大值为，
故选：A．
【变式17-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）设，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，
即，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，符合题意；
故选：．
【变式17-2】（24-25八年级·广东深圳·期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【详解】解：由题可知，，
解得：，
故答案为：．
【变式17-3】（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，，则．
以上选项中，所有正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键．
根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答．
【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确；
若，根据的意义，得，结论②错误；
若，则，结论③正确；
当，时，有，，，或6，结论④是正确．
综上所述：①③④正确．
故答案为：①③④．
【考点18 解一元一次不等式(组)】
【例18】（24-25八年级·浙江金华·期末）小明同学解不等式的过程如下．请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得．①
去括号，得．②
移项，得．③
合并同类项，得．④
两边都除以，得．⑤
【答案】①，过程见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可．
【详解】解：去分母时，常数项2没有乘以最小公倍数出现错误；故首次出现错误的是步骤①；正确的解答过程如下：
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
【变式18-1】（24-25八年级·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可．
【详解】解：（1）
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得
该不等式组得解集为，
非正整数解为，0．
【变式18-2】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）若关于x的不等式的解集是，那么关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题是一个方程与不等式的综合题目．由关于x的不等式的解集是，知且，据此得出，且，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式的解集是，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
关于x的不等式可化为，
解得：
故答案为：．
【变式18-3】（24-25八年级·重庆·阶段练习）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，
．
又，
．
．
又，
． ①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是 ；
(2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法、理解阅读材料是解题的关键．
（1）仿照阅读材料求出的取值范围；
（2）解出一元一次不等式组，仿照阅读材料求出的取值范围．
【详解】（1）解：，
．
又，
．
．
又，
． ①
同理，可得．②
①②，得．
即，
的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：解方程组得，，
，
，
，，
，，
解得，，
则，
．
【考点19 一元一次不等式(组)的解】
【例19】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围．
【详解】解：
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得．
由题意可知，
解得．
故答案为：
【变式19-1】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，即可得到的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
关于的一元一次不等式组的解集是，
，
解得，
故答案为：．
【变式19-2】（24-25八年级·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得，；
故答案为：．
【变式19-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数．
【详解】解：方程组的解为 ，
，
，
解得，，
解不等式组，
不等式①的解集是，
不等式②的解集是，
∵不等式组有解，
∴，
解得，，
，
∵a取整数，
，
∴符合条件的整数a有7个．
故答案为：7．
【考点20 一元一次不等式(组)的整数解】
【例20】（24-25八年级·浙江宁波·期末）若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
【详解】解，
解①得，
解②得，
则不等式组的解集是．
∴，
∴，
∵不等式组有1个整数解，则整数解是0．
∴，
解得：
综上：，
故答案是：
【变式20-1】（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不等式的最大整数解为2，
关于的方程的解是，
，
，
故答案为：2．
【变式20-2】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式20-3】（24-25八年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组，
解得：，
∵所有整数解的和是9，且或，
∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，
∴或；
故答案为：或．
【考点21 一次函数与不等式(组)】
【例21】（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
所以关于x的不等式的解集是，
所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合．
故选：C．
【变式21-1】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集
故选：A．
【变式21-2】（24-25八年级·广东佛山·阶段练习）直线：与直线：在同一坐标系里的图像如图所示，当时，x的取值范围是： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是，由图象可以直接写出当时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数与的交点是，
∴当直线在直线上方，且都在x轴上方时，
∴当时，x的取值范围是：．
故答案为：．
【变式21-3】（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图，一次函数图象与y轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)计算四边形的面积．
(3)下列说法正确的有______（填序号）；
①关于x的不等式的解集是；②关于x的方程的解是；
③关于x的不等式的解集是．
【答案】(1)
(2)
(3)②③
【分析】本题考查了一次函数综合，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）先求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）设交y轴于点D，求出，得，由求出，得，根据，，得；
（3）观察图象，利用数形结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数图象经过点和，
∴，
解得，
∴一次函数；
（2）解：设交y轴于点D，
当时，，
∴，
∴，
∵中，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：观察图象，
①关于x的不等式的解集是，
说法不正确；
②关于x的方程的解是，
说法正确；
③关于x的不等式的解集是，
说法正确．
综上，正确的说法是②③；
故答案为：②③
【考点22 一元一次不等式(组)的应用】
【例22】（24-25八年级·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 3台 900元
第二周 3台 5台 1430元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元
(2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台
【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．
（1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可；
（2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元；
（2）解：能；
设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台，
，
解得：，
∵a为整数，
或．
方案有两种：
方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；
方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台．
【变式22-1】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
【答案】全班至少有25人，至多有27人
【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可．
【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得
由①得：，
将代入②，得，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵是正整数，
∴全班至少有25人，至多有27人．
【变式22-2】（24-25八年级·福建福州·期中）某超市销售A，B两种品牌的牛奶，购买2箱A种品牌的牛奶和2箱B种品牌的牛奶共需230元；购买2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元．
(1)求A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买A，B两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买A，B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】(1)A种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元
(2)购买A品牌的牛奶15箱，B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设A种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）设购买A品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶箱．根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总费用为W元，则，再由一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元．
根据题意，得，
解得．
∴A种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元．
（2）解：设购买A品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶箱．
根据题意，得，
解得，
设总费用为W元，则，
，
随x的增大而减小，
，
当时，W值最小，，（箱）．
∴购买A品牌的牛奶15箱，B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元．
【变式22-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
(2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键．
（1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可；
（2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
根据题意，得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
【考点23 图形的平移】
【例23】（24-25八年级·重庆石柱·期中）如图，将沿方向平移得到，若，的周长为，则 度，四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，由平移的性质可得，再由三角形内角和定理求出的度数，进而得到的度数，据此根据平行线的性质可得的度数；根据三角形周长计算公式可得，再由四边形周长计算公式求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵的周长为，
∴，
∴四边形的周长
，
故答案为：；．
【变式23-1】（24-25八年级·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键．先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标．
【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点，
∴向上平移2个单位后得到点，
故答案为：．
【变式23-2】（24-25八年级·广东广州·期中）把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
(1)在图中画出三角形；
(2)在平移过程中，线段扫过的面积为_____；
(3)点在轴上，且三角形与三角形面积相等，请直接写出点的坐标为_____．
【答案】(1)见解析
(2)15
(3)或
【分析】本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）直接求出四边形的面积即可．
（3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
（2）解：在平移过程中，线段扫过的面积为．
故答案为：15．
（3）解：或．设点的坐标为，
三角形与三角形面积相等，
，
解得或4，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【变式23-3】（24-25八年级·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积；
(2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴；
(3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标．
【答案】(1)，20
(2)秒
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的结几何应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质求解，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答．
（2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可；
（3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，
∴， ，
，；
∴
连接记与轴的交点为点，如图所示：
∴，
∴四边形的面积为．
（2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同，
即，
解得，
点同时出发，秒后轴；
（3）解：设点的坐标为，
，
当在的左侧时，
，
解得，
此时；
当在到3之间时，
，
解得，
此时；
当在3的右侧时，
，
解得（舍）．
综上所述，点的坐标为或．
【考点24 图形的旋转】
【例24】（24-25八年级·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，对应点的坐标为，画出平移后对应的；
(2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了旋转变换作图，也考查了平移变换作图，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键，
（1）利用中心对称的点的坐标特征得到、、，再顺次连接即可；利用点与点的坐标特征得到平移的方式是先向右平移3个单位，再向下平移6个单位，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接即可；
（2）连接、、交于一点，这点即为旋转中心，即可解答；
【详解】（1）解：如图所示：为所求，为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴旋转中心坐标为．
【变式24-1】（2025·福建厦门·三模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，先证明为等边三角形得到，再证明是等边三角形得到，再根据勾股定理求得，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
根据旋转的性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
根据勾股定理，得，
∴，
∴点与点B之间的距离为，
故答案为：．
【变式24-2】（24-25八年级·湖北襄阳·期末）如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，斜边中线等于斜边一半；设与轴相交于点，由旋转可得是斜边长为等腰直角三角形，，即得，，进而根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设与轴相交于点，
∵是斜边长为等腰直角三角形，将绕原点顺时针旋转得到，
∴是斜边长为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故选：．
【变式24-3】（24-25八年级·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，面积为8的正方形，如图．
(1)写出A、、、的坐标．
(2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？
(3)将边平移到与重合，怎么平移？
【答案】(1)，，，
(2)线段绕点顺（逆）时针旋转与线段重合
(3)把线段先向右平移2个单位，再向下平移2个单位与线段重合
【分析】本题考查的是点的坐标，坐标和图形的平移与旋转，熟知各坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
（1）先求出正方形的边长，进而可得出的长，据此得出结论；
（2）根据两点的坐标即可得出结论；
（3）根据两点的坐标即可得出结论．
【详解】（1）解： 正方形的面积为8，
，，
，
，，，；
（2）解：边绕某点旋转到与重合，，，
线段绕点顺时针旋转与线段重合；
（3）解：边平移到与重合，，，
把线段先向右平移2个单位，再向下平移2个单位与线段重合．
【考点25 中心对称图形】
【例25】（24-25八年级·广东潮州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出关于原点O的对称图形并写出点，，的坐标；
(2)的面积为______．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)4
【分析】根据中心对称的性质作图即可．
利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图-旋转变换、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，，，
（2）解：的面积为
故答案为：
【变式25-1】（24-25八年级·甘肃张掖·期末）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；
根据中心对称图形的定义即可求解；
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：B
【变式25-2】（24-25八年级·江西南昌·期末）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种．
故选：C．
【变式25-3】（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形；
（1）请问其中是中心对称图形的是哪些？
（2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？
（3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？
【答案】（1）六角星，八角星；（2）是；（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【分析】（1）根据中心对称图形的定义即可得到答案；
（2）根据题意，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合的图形就是中心对称图形，比如六角星，八角星，十角星，角的个数为偶数时就是中心对称图形，得到答案；
（3）根据如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，当角的个数为偶数时就是中心对称图形，可得答案．
【详解】解：（1）图中是中心对称图形的有六角星，八角星；
（2）由（1）知六角星，八角星，十角星，都是中心对称图形，由此可知，当角的个数为偶数个时，它是中心对称图形，因此36角星也是中心对称图形；
（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；
当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形．
【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【考点26 中心对称】
【例26】（24-25八年级·广东深圳·期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
【答案】2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．
【变式26-1】（24-25八年级·辽宁朝阳·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．
【答案】1
【分析】根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，，
∴，，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，对应角相等，以及勾股定理的内容．
【变式26-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
【答案】
【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，，
∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，
∴必过点A，必过点B，且，
∴，
由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，
故答案为：
【变式26-3】（24-25八年级·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步，
故答案为：．
【考点27 因式分解】
【例27】（24-25八年级·陕西西安·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的意义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、不是因式分解，不符合题意；
C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
【变式27-1】（24-25八年级·宁夏银川·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）直接提取公因式的方法求解即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可；
（3）先提取公因数，再利用完全平方公式的方法继续分解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
；
（3）解：
，
．
【变式27-2】（2025·广东深圳·二模）已知，则 ．
【答案】48
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．将代数式因式分解后，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【变式27-3】（24-25八年级·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
【答案】(1)提公因式法，公式法，分组分解法；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据所给因式分解过程即可得到答案；
（2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可；
（3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可．
【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；
（2）解：原式（第四步）
（第五步）
（3）解：
．
【考点28 利用因式分解进行简算】
【例28】（2025·河北保定·一模）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ）
A．100 B．50 C．17 D．3
【答案】D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
【变式28-1】（24-25八年级·四川宜宾·期中）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【变式28-2】（24-25八年级·云南文山·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式28-3】（24-25八年级·江苏南京·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的
