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第一次月考数学压轴题（3月份）（考查范围：第1~2章）
【北师大版】
【类型一 选择压轴题】 1
【题型1 使组成等腰三角形的点的个数】 1
【题型2 勾股定理】 3
【题型3 勾股定理的逆定理】 4
【题型4 勾股定理的简单应用】 5
【题型5 不等式（组）的解】 6
【题型6 不等式组和方程组的综合】 7
【题型7 新定义问题】 7
【题型8 多结论问题】 8
【类型二 填空压轴题】 9
【题型9 几何图形最值问题】 9
【题型10 构造等腰三角形求值】 10
【题型11 等腰三角形的存在性问题】 11
【题型12 利用勾股定理解决面积问题】 12
【题型13 利用勾股定理解决翻折问题】 13
【题型14 判断能否构成直角三角形】 15
【题型15 勾股定理的应用】 15
【题型16 解一元一次不等式组】 17
【题型17 一元一次不等式组的运用】 17
【类型三 解答压轴题】 18
【题型18 确定两角度之间的关系】 18
【题型19 证明线段间的关系】 20
【题型20 利用勾股定理证明线段平方关系】 22
【题型21 利用勾股定理在网格中作图】 23
【题型22 勾股定理的应用】 25
【类型一 选择压轴题】
【题型1 使组成等腰三角形的点的个数】
【例1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-2】（24-25八年级·北京东城·期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 （ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个
【变式1-3】（24-25八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型2 勾股定理】
【例2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式2-1】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【题型3 勾股定理的逆定理】
【例3】（24-25八年级·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【变式3-1】（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（ ）．
A．30 B．130 C．60 D．120
【变式3-2】（24-25八年级·山东德州·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024八年级·浙江杭州·专题练习）如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．
【题型4 勾股定理的简单应用】
【例4】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
【变式4-2】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A．18 B．48 C．120 D．72
【变式4-3】（24-25八年级·广东梅州·期中）如题图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 不等式（组）的解】
【例5】（24-25八年级·山东枣庄·自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【变式5-1】（24-25八年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25八年级·重庆荣昌·开学考试）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 不等式组和方程组的综合】
【例6】（24-25八年级·重庆巴南·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【变式6-1】（24-25八年级·福建福州·期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【变式6-3】（24-25八年级·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【题型7 新定义问题】
【例7】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·河北保定·一模）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值为（ ）
A．或 B．或 C．或4 D．或4
【变式7-2】（24-25八年级·江苏无锡·期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（24-25八年级·北京通州·期中）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【题型8 多结论问题】
【例8】（24-25八年级·江西宜春·期中）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期中）如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点是的垂直平分线与的角平分线的交点，连接，，过点作于点．
给出下面五个结论：
垂直平分，点一定是线段的中点；
当时，与互相垂直平分；
当时，；
点在运动过程中，的大小始终为
当时，
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·重庆江津·三模）对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-3】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作 ，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【类型二 填空压轴题】
【题型9 几何图形最值问题】
【例9】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，等腰直角中，，，D为中点，，P为上一个动点，当P点运动时，的最小值为 ．
【变式9-1】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
【变式9-2】（24-25八年级·四川绵阳·期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．
【变式9-3】（24-25八年级·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ．
【题型10 构造等腰三角形求值】
【例10】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ．
【变式10-1】（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，则 ．
【变式10-2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，平分，，交的延长线于点，，，则 ．
【变式10-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，四边形中，对角线，点F为上一点，连接交于点E，，，，，，则 ．
【题型11 等腰三角形的存在性问题】
【例11】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ．
【变式11-1】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．
【变式11-2】（24-25八年级·河南鹤壁·期中）如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是 ．
【变式11-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时， ．
【题型12 利用勾股定理解决面积问题】
【例12】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ．
【变式12-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点、分别在、上，且，连接，若四边形的面积是，，则的长为 .
【变式12-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发以每秒的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当 ，△APE的面积等于12．
【变式12-3】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．
【题型13 利用勾股定理解决翻折问题】
【例13】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ．
【变式13-1】（24-25·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
【变式13-2】（24-25·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．
【变式13-3】（24-25八年级·广东·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．
【题型14 判断能否构成直角三角形】
【例14】（24-25·河南郑州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ．
【变式14-1】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）在△ABC 中，若，则最长边上的高为 ．
【变式14-2】（24-25八年级·湖北十堰·期末）如图，中，，，，与的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则线段的长度为 ．
【变式14-3】（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ．
【题型15 勾股定理的应用】
【例15】（24-25八年级·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
【变式15-1】（24-25八年级·山东滨州·阶段练习）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【变式15-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米．
【变式15-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，点和点是这个三级台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 ．
【题型16 解一元一次不等式组】
【例16】（24-25八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【变式16-1】（24-25八年级·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ．
【变式16-2】（24-25八年级·北京·期中）对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ．
【变式16-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）用表示不大于的最大整数，如，，则方程的解是 ．
【题型17 一元一次不等式组的运用】
【例17】（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）某校七年级有三个班组织数学竞赛、英语竞赛和作文竞赛，各项竞赛均取前三名（每项竞赛的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分．已知七（1）班和七（2）班总分相等，并列第一名，且七（2）班进入前三名的人数是七（1）班的两倍，那么七（3）班的总分是 分．
【变式17-1】（24-25八年级·北京西城·期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于．
（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了？答： （填“是”或“否”）；
（2）小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了 圈．
【变式17-2】（24-25八年级·四川达州·阶段练习）“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本．
【变式17-3】（24-25八年级·北京西城·阶段练习）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为 ；
（2）该小组人数的最小值为 ．
【类型三 解答压轴题】
【题型18 确定两角度之间的关系】
【例18】（24-25八年级·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程．
证明：，
．
即．
在和中
（________）．
(2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明．
【变式18-1】（24-25八年级·北京西城·开学考试）已知，点为中点，，为边，上的动点，且满足，为平面内一点，，，连接，．
(1)若点为边和边上的高的交点，求证：；
(2)若点不与三角形高的交点重合，与是否还有上述关系？请说明理由．
【变式18-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图1，在中，点在边上，．
(1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的；
(2)利用中画出的图形，求证：；
(3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明．
【变式18-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，如果，则________度．
(2)设，．
①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由．
②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由．
【题型19 证明线段间的关系】
【例19】（24-25八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．
(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图1，若，，则的长为___________；
(3)如图2，若，，连接，交于点．
①是否为线段的垂直平分线？并说明理由；
②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系．
【变式19-1】（24-25八年级·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于；
(1)当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明．
(2)①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）；
②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由．
【变式19-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M．
(1)如图1，判断与的数量关系并证明．
(2)当直线经过点C时（如图2），求证：；
(3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系．
【变式19-3】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在等腰中，，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、、，交于．
(1)如图，若垂直平分，
求证：；
判断与的关系，并说明理由；
(2)如图，是线段上一点，若，求证：．
【题型20 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例20】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【变式20-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
【变式20-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．
（1）求证：；
（2）探究、、的数量关系，并证明；
（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．
【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【题型21 利用勾股定理在网格中作图】
【例21】（24-25八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．
(1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______；
(2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰；
(3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹
【变式21-1】（24-25八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1）
【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点）
【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长．
【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形．
【变式21-2】（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示．
(1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使．
(2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使．
【变式21-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积．
【题型22 勾股定理的应用】
【例22】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
【变式22-1】（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【变式22-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【变式22-3】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
______，
______，
______，
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
1
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第一次月考数学压轴题（3月份）（考查范围：第1~2章）
【北师大版】
【类型一 选择压轴题】 1
【题型1 使组成等腰三角形的点的个数】 1
【题型2 勾股定理】 5
【题型3 勾股定理的逆定理】 11
【题型4 勾股定理的简单应用】 14
【题型5 不等式（组）的解】 18
【题型6 不等式组和方程组的综合】 21
【题型7 新定义问题】 24
【题型8 多结论问题】 27
【类型二 填空压轴题】 35
【题型9 几何图形最值问题】 35
【题型10 构造等腰三角形求值】 40
【题型11 等腰三角形的存在性问题】 46
【题型12 利用勾股定理解决面积问题】 54
【题型13 利用勾股定理解决翻折问题】 60
【题型14 判断能否构成直角三角形】 68
【题型15 勾股定理的应用】 72
【题型16 解一元一次不等式组】 76
【题型17 一元一次不等式组的运用】 79
【类型三 解答压轴题】 84
【题型18 确定两角度之间的关系】 84
【题型19 证明线段间的关系】 92
【题型20 利用勾股定理证明线段平方关系】 103
【题型21 利用勾股定理在网格中作图】 111
【题型22 勾股定理的应用】 118
【类型一 选择压轴题】
【题型1 使组成等腰三角形的点的个数】
【例1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．
∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．
【变式1-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：如图，
∵在中，，，
∴，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有个．
故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级·北京东城·期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 （ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个
【答案】C
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．
【详解】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，
同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，
同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，
故答案为5．
故选C
【变式1-3】（24-25八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形；
②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形；
③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形；
④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形；
⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形．
⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
【题型2 勾股定理】
【例2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，的角平分线相交于点P，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据，平分，利用勾股定理求出，如图，过点P作交于点D，证明，得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】解： ，平分，
，
，
，
如图，过点P作交于点D，
的角平分线相交于点P，，，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
故选：A．
【变式2-1】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
与的面积之差为
，
当的长度变化时，与的面积之差保持不变，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
【变式2-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为．
在中，，，
．
为的中点，
．
，
，
解得．
由翻折的性质可知，，
，
．
，，
．
．
根据折叠的性质有：，
，
，，
又，，
，
为直角三角形．
．
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
【变式2-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】连接，，，由，设， ，，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可．
【详解】解：连接，，，如图，
由，设， ，，
∵，，，，
∴，即，
∴为的角平分线，
又∵，
∴，
∴为的中线，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在中，，
∴
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．
【题型3 勾股定理的逆定理】
【例3】（24-25八年级·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
【答案】B
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是，
∵＞1，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
【变式3-1】（24-25八年级·安徽合肥·期中）如图已知中，，，边上的中线，则的面积为（ ）．
A．30 B．130 C．60 D．120
【答案】C
【分析】根据中线，得到，再根据勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，进而得到，再根据三角形中线得到，即可求出的面积．
【详解】解：是边上的中线，
为中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
为中点，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
【变式3-2】（24-25八年级·山东德州·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，根据翻转得出垂直平分，根据三角形面积公式求出，即可求出答案．
【详解】连接，交于点D，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
∵沿最长边翻转成，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故选∶D．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3-3】（2024八年级·浙江杭州·专题练习）如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．
【答案】B
【分析】过D作DP⊥AB于P，证明△ABC为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出CD=DP，然后利用等面积法求出DP，即可求得△ABD的面积．
【详解】解：如图，作DP⊥AB于P．
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，即DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DC=DP，设DC=DP=x，
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，
，即，
∴6×8=6x+10x，
∴x=3，
．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理．能根据角平分线性质和等面积法求出CD=DE=3是解此题的关键．
【题型4 勾股定理的简单应用】
【例4】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元
【答案】B
【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．
【详解】把两地价格看为是两点间的距离，
则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．
∵16002+12002=20002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB是直角，
∵2500＝1600+900，
即AD=AC+CD，
∴A，C，D在一条直线上，
∴∠BCD是直角，
∴BD=＝＝1500，
即B﹣D的机票价格为1500元.
故选B.
【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A． B． C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：C．
【变式4-2】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）如图，已知圆柱的底面直径，高，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A．18 B．48 C．120 D．72
【答案】D
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点，的最短距离为线段的长.
∵已知圆柱的底面直径，
∴，
在中， ，，
∴，
∴从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程的平方为.
故选D.
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
【变式4-3】（24-25八年级·广东梅州·期中）如题图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
【详解】解：如图
，
如图
，
如图
，
，
它所行的最短路线的长是，
故选：C．
【题型5 不等式（组）的解】
【例5】（24-25八年级·山东枣庄·自主招生）已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键．
【详解】解：关于的不等式组，
由①得；由②得；
关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，
当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个；
当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解；
综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个，
故选：D．
【变式5-1】（24-25八年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解．
【详解】解：由得：，
∵不等式的解集是，
且
设
则
∴的解集是，
即，
故选：A．
【变式5-2】（24-25八年级·重庆荣昌·开学考试）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程解的情况可得，即得，再求出不等式组的解，根据不等式组解的情况可得，即得，综上可得，据此可得的整数值，进而即可求解，根据一元一次方程和一元一次不等式组求出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
解得，
∵关于的方程有非负数解，
∴，
∴，
解不等式组得，，
∵不等式组恰好有两个偶数解，得到偶数解为，
∴，
∴，
综上，，
∴符合条件的整数的值有，，，
∴符合条件的所有整数的和为，
故选：．
【变式5-3】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解的不等式组，然后根据整数解的个数确定的不等式组，解出取值范围即可．
【详解】解：不等式组，
解得：，
不等式组只有个整数解，即解只能是，，，，，
的取值范围是：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于的不等式组．
【题型6 不等式组和方程组的综合】
【例6】（24-25八年级·重庆巴南·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B
【分析】先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数．
【详解】解：方程组的解为
解得，
解不等式组
不等式①的解集是
不等式②的解集是
∵不等式组有解，
∴
解得，
∵a取整数，
∴符合条件的整数a有7个．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．
【变式6-1】（24-25八年级·福建福州·期末）已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．
【详解】解：，，
，，
，
、、都为正数，
∴，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键．
【变式6-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）已知非负数 x，y，z 满足，设 W = 3x－2y + z，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】D
【分析】设，求得，，，则又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，进而可求得W的取值范围，得出W的最大值和最小值，从而解题．
【详解】解：设，
∴，，，
∵x，y，z均为非负实数，
∴ ，
解得：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴W 的最大值是-2，最小值是-4，它们的和为-6；
故选：D．
【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得k的取值范围及W的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
【变式6-3】（24-25八年级·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值．
【详解】解：解方程组，得，
∵，，
∴，
解得，
又∵关于k的不等式的解集为：，
∴，
解得，
∴k的范围为．
又∵k为整数，
∴．
故选：B．
【题型7 新定义问题】
【例7】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围．
【详解】解：由，根据新运算，可化简为：，
解这个不等式组，解得：，
∵关于的不等式组有且只有一个整数解，
∴，
∴，
解得：，
故选：B．
【变式7-1】（2024·河北保定·一模）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值为（ ）
A．或 B．或 C．或4 D．或4
【答案】A
【分析】分∠A为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角，然后根据k的定义求解即可．
【详解】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：（180°-80°）=50°
∴k=
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°.
∴特征值k=
综上所述，k为或．
故答案为A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，∠A是顶角还是底角的分类讨论是正确解答本题的关键．
【变式7-2】（24-25八年级·江苏无锡·期中）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，理解题意是解题的关键．
如图，作边上的中线，边上的高线，由勾股定理得，，则，由，可求，由勾股定理得，，根据边的“中高偏度值”为，计算求解即可．
【详解】解：如图，作边上的中线，边上的高线，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
由勾股定理得，，
∴边的“中高偏度值”为，
故选：B．
【变式7-3】（24-25八年级·北京通州·期中）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形"定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键．
设，根据“邻等对补四边形”定义得，再根据得①，得②，将①代入②得，由此解出即可得的长．
【详解】解：设，
∵四边形是“邻等对补四边形”，，
，
，
，
，
即①，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
将①代入②，得：，
，
或，
由，解得：，
由，解得：(不合题意，舍去)，
故选：C．
【题型8 多结论问题】
【例8】（24-25八年级·江西宜春·期中）如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，即．
∵，
∴，
∴，故②错误；
如图，过点C作于点G，
∵，
∴．
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴，故④错误．
综上可知正确结论是①③
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键．
【变式8-1】（24-25八年级·四川成都·期中）如图，是等边三角形点是延长线上的一个动点，连接，点是的垂直平分线与的角平分线的交点，连接，，过点作于点．
给出下面五个结论：
垂直平分，点一定是线段的中点；
当时，与互相垂直平分；
当时，；
点在运动过程中，的大小始终为
当时，
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断；由是等边三角形，平分与，则垂直平分，，证明，是等边三角形可判断；由垂直平分线的性质和等边三角形的性质可判断；证明，则，通过垂直平分线的性质，等边三角形的性质和角度和差可判断；由等腰直角三角形的判定和性质及含角的直角三角形的性质可判断．
【详解】解：∵点是的垂直平分线上的点，
∴，
∵是等边三角形，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点一定是线段的中点，故正确；
∵是等边三角形，
∴，
由得：，，
∵，
∴，
∴在垂直平分线上，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，是等边三角形，
∴垂直平分，
∴与互相垂直平分，故正确；
由得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，故不正确；
∵，，，
∴，
∴，
∵点是的垂直平分线上的点，
∴，
∵是等边三角形，平分，
∴垂直平分，，
∵，
∵，，
∴根据三线合一性质得：，
∴，
∴，故正确；
由上得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故错误；
综上可知：正确，
故选：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式8-2】（2024·重庆江津·三模）对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断．
【详解】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数，
∴当时，
∴①不正确；
②、若，则x的取值范围是，故②是正确的；
③、当时，[，
当时，，
当时，，综上③是正确的；
④、∵，
∴，
解得：．
∵
∴，
解得：
∴x的取值范围为
故④是错误的．
故正确的是：②③，共两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，平分交于点，点在边上运动，作 ，交于点，交于点，连接，，若此时满足，．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到，进而判断①；先假设，进而根据等腰三角形的性质与判定得出，即可判断②，根据等角的余角相等，以及三角形的外角的性质，即可判断③，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，根据平行线间的距离相等得出，进而判断④，即可求解．
【详解】解：∵， ，
∴
∴,
又∵，
∴，故①正确；
若，
∵
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，则，
∴仅当时，有，故②不正确；
设，
∵
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴，故③正确
如图所示，延长交于点，连接，
∵平分，，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
即，故④正确
故正确的有①③④
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【类型二 填空压轴题】
【题型9 几何图形最值问题】
【例9】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，等腰直角中，，，D为中点，，P为上一个动点，当P点运动时，的最小值为 ．
【答案】6
【分析】作出点C关于的对称点F，连接，根据对称性，得到，证明，得到的最小值为DF，计算即可．
【详解】如图，∵，，D为中点，
∴；
作点C关于的对称点F，连接，交于点E，当点P与点E重合时，取得最小值，且最小值为，
根据对称性，得到，
∴；
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．
【变式9-1】（24-25八年级·河南信阳·期末）如图，和都是等腰三角形，且，O是的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】2
【分析】取的中点为点，连接，先证得，得出 ，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半求得时的 的值，即可求得线段的最小值．
【详解】解：取的中点为点，连接，
，
，
即，
，为中点，
，
在和中，
，
，
，
点在直线上运动，
当时，最小，
是等腰三角形，
，
，
，
线段的最小值是为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、所对的直角边等于斜边的一半、三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，学会利用垂线段最短解决最值问题．
【变式9-2】（24-25八年级·四川绵阳·期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键．
作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，，
，，
，，
是关于的对称点，
根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，
，
为的中点，
，
，且，
，
是的垂直平分线，
，
，
垂线段最短，
，
即：，
的最小值是，
故答案为：．
【变式9-3】（24-25八年级·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称 最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点，
连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型10 构造等腰三角形求值】
【例10】（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】延长到，使，连接，交于点，先求出，进而可依据“”判定，得到，，，进而得，可得是等边三角形，从而得，再根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，得到，进而得，即得，据此可得的度数．
【详解】解：延长到，使，连接，交于点，如图所示，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的平分线，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．
【变式10-1】（24-25八年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质；在四边形外取一点P，使且，连接，证明，，是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：在四边形外取一点P，使且，连接，
在和中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：30．
【变式10-2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，平分，，交的延长线于点，，，则 ．
【答案】
【分析】延长，相交于点，由角平分线的定义可得，设，，则由三角形的内角和定理及已知条件可推出，然后可证得，于是可得，进而可证得，则，，于是可求得的长，进而可求得的长．
【详解】解：如图，延长，相交于点，
，
，
，
平分，
，
设，，
则，
，
，
整理，得：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的判定（等角对等边），全等三角形的判定与性质（）等知识点，合理添加辅助线，并证明是解题的关键．
【变式10-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，四边形中，对角线，点F为上一点，连接交于点E，，，，，，则 ．
【答案】12
【分析】延长、，交于点，先证明为等腰直角三角形，再判定，然后在等腰直角中得，设，则，判定，从而，解得的值，最后根据，可得答案．
【详解】解：延长、，交于点，如图：
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
，
，
∵，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型11 等腰三角形的存在性问题】
【例11】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ．
【答案】或或或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当，时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即此时．
当，时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时．
当，时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即此时．
当，时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即此时．
当，时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即此时．
综上分析可知：的度数为：或或或．
故答案为：或或或．
【变式11-1】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，，（），与交于点，与交于点，连接．当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】根据，分两种情况讨论：当时，当时，设，过点作，垂足分别为，得出在的角平分线线上，进而根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，当时，是等腰三角形，
设，过点作，垂足分别为，
∵，
∴对应边上的高相等，即，
∴在的角平分线线上，
∵是的外角，
∴
∴
∵
∴
解得：
如图所示，当时，是等腰三角形，
设
同理可得,
∴
∵
∴
解得：
，
由于，不存在的情形，
综上所述，的度数为，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式11-2】（24-25八年级·河南鹤壁·期中）如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】或
【分析】根据题意，找到临界状态，在临界状态上下，分两种情况讨论：①是等边三角形，；②是一般，；从而得到答案．
【详解】解：根据题意，若，如图所示：
此时与重合，不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论：
①如图所示：
为等腰三角形，，
，
在长方形中，，，则，
，，
，
是等边三角形，即；
②如图所示：
为等腰三角形，
，
，是的一个外角，
，即，
在长方形中，，，则，
，，
，
在中，利用三角形内角和定理可知：
；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形中求角度问题，涉及等腰三角形性质、长方形性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等，读懂题意，找到临界状态，作出图形，分类讨论是解决问题的关键．
【变式11-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，在中，，点D在边上，、关于所在的直线对称，的角平分线交边于点G，连接．为等腰三角形时， ．
【答案】或或
【分析】根据题意，先求出 ，再利用轴对称性质得 ，再证明 ，继而得到的度数，为等腰三角形时分三种情况讨论，①当时， ②当时， ③当时，利用的内角和分别求出即可．
【详解】解：在中，，
，
、关于所在的直线对称，
，
，
，
是的角平分线，
，
在与中，
，
，
，
，
如图，令与交点为Q，
因为为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，
，
，
，
又，
在中，
，
；
②当时，
，
在中，
，
；
③当时，
，
，
在中，
，
；
综上所述： 当或时，为等腰三角形．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；轴对称的性质，三角形全等的判定定理——，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．
【题型12 利用勾股定理解决面积问题】
【例12】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用．
向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O，证明，得到，，同理得到，，从而 ．设，，则，根据完全平方公式可得，再根据的面积得到，即可解答．
【详解】解：向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O，
由题意可得，，，，，
，
∵，
，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，，
同理可证，
∴，，
∴
∴当取得最大值时，阴影面积和为最大．
设，，
∵在中，，
∴，
∵，即，
∴
∵，
∴，
∴的最大值为，
此时阴影面积的和最大为．
故答案为：
【变式12-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点、分别在、上，且，连接，若四边形的面积是，，则的长为 .
【答案】4
【分析】作交于，交 于，交于，可得四边形 为矩形，设，，则有，容易证得 ，可得，根据，得到 ，即有，化简得 ，根据 化简后可得结果．
【详解】解：如图示，
作交于，交 于，交于，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，，
∴，
在中，
∴，
在中，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∴
∴
∵，
∴
即：
∴
中，
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式12-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，在中，，点E是的中点，动点P从A点出发以每秒的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当 ，△APE的面积等于12．
【答案】3或18或22
【分析】分当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动且在点E的右边时和当点P在线段上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
．
当点P在线段上运动时，
∵的面积等于12，即，
∴，
∴秒；
当点P在线段运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，
同理可知，
∴秒；
当点P在线段上运动且在点E的左边时，如图3所示，
同理可知，
∴秒；
故答案为∶3或18或22．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式的运用，勾股定理，以及中线的性质，分类讨论的数学思想，解答时分类讨论是是关键．
【变式12-3】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得，利用正方形的性质证明和，根据全等三角形的面积相等，从而得出，，再根据三个正方形面积的关系可得出，从而可得阴影面积之和．
【详解】解：如图，设，，，
∵在中，，
∴，
∵四边形，四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴是直角三角形，
在和中，
，
∴
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
又∵，
，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积之和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等等知识，运用了等积变换的思想方法．运用等积变换是解题的关键．
【题型13 利用勾股定理解决翻折问题】
【例13】（24-25八年级·广东深圳·期中）如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．分三种情况讨论，当、和，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：设与交于点，由折叠知是线段的垂直平分线，，，
∴，，
当为等腰三角形时，分三种情况讨论，
当时，
，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得（舍去负值），即；
当时，如图，过点作交于点，交于点，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，即；
当时，点在线段的垂直平分线上，
∵点、都在线段的垂直平分线上，
∴点、重合，
此时，；
综上，的长是或或，
故答案为：或或．
【变式13-1】（24-25·浙江宁波·八年级期末）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
【答案】3
【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长．
【详解】解：如图所示，连接，
设，，
在中，，，，
，
中，是的中点，
，
又，
，
，即，
，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
，
又，
，
，即，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【变式13-2】（24-25·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】或
【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，结合题意可得，分两种情况：当时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，即可求出；当时，作交的延长线于，设，则，根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出．
【详解】解：在中，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
当时，如图：
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，，
在中，，
即，
∴；
当时，作交的延长线于．如图：
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
在中，，
即，
解得：；
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键．
【变式13-3】（24-25八年级·广东·专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠，使点A落在边上点处，点D的对应点为，连接交边于点E，连接，若，，点为的中点，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】连接，勾股定理求得，进而证明，设，根据，以及三边关系建立方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，连接，
折叠
，，
四边形是长方形，，，
，，
设
则
是的中点，
在中，
在中，
即
解得
，
又∵
设
在中
即①
又
②
由①可得③
将②代入③得④
②-④得
解得
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握折叠的性质是解题的关键．
【题型14 判断能否构成直角三角形】
【例14】（24-25·河南郑州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ．
【答案】4或3
【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
【变式14-1】（24-25八年级·安徽合肥·阶段练习）在△ABC 中，若，则最长边上的高为 ．
【答案】
【分析】解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】解：∵，
将两个方程相加得：，
∵a＞0，
∴a=4
代入得：，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，
，
即：，
解得：CD=，
故答案为：.
【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
【变式14-2】（24-25八年级·湖北十堰·期末）如图，中，，，，与的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得出是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：过点作于，于，连接，
与的角平分线相交于点，过点作，于，于，
，，
，
中，，，，
，
是直角三角形，
，
又 ，，
，
，
故答案为：
【变式14-3】（24-25八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可．
【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得，
则，
，
又，
∴，
，
又，
，
∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【题型15 勾股定理的应用】
【例15】（24-25八年级·江苏无锡·期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，
∴cm，
∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，
故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
【变式15-1】（24-25八年级·山东滨州·阶段练习）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【答案】52cm
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为，则易拉罐底面周长是12，高是20
∴
解得：
∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高．
【变式15-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出展开图得到最短路径是解题的关键；展开图的对角线长即为所求，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将木块展开如图所示，
则米，米，
米，
一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是米，
故答案为：
【变式15-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期中）如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，点和点是这个三级台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理等知识，先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：
解得：，
故答案为：．
【题型16 解一元一次不等式组】
【例16】（24-25八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【答案】26
【分析】根据已知的式子可得，，即有，再根据a、b、c为非负实数，可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】联立，
把a看作常数，解得，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴当时，；当时，；
∴．
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组方法，解一元一次不等式组方法，用一个字母的代数式表示另一个字母，非负实数性质，代数式产生的最值，是解答本题的关键．
【变式16-1】（24-25八年级·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，一元一次方程的解，解不等式组得，由不等式组的解的情况得，即得，再由一元一次方程得，根据方程的解为整数可得或或，再把整数的值相加即可求解，根据不等式组确定出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴，
∵不等式组有且只有个奇数解，
∴，
即，
解得，
由方程得，，
∵方程的解为整数，
∴或或，
∴符合条件的所有整数的和，
故答案为：．
【变式16-2】（24-25八年级·北京·期中）对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围．关键是确定a的范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：；
∵，为非负数，
∴，
即，
∴；
∴
，
∵，
∴，
即；
故答案为：．
【变式16-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）用表示不大于的最大整数，如，，则方程的解是 ．
【答案】或
【分析】利用不等式，求出的范围，然后再代入原方程求出的值．
【详解】解：令代入原方程得，即，
又，
，
整理得，
即，
或，
将代入原方程得：，解得，
将代入原方程得：，解得，
经检验，或是原方程的解．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了取整函数的性质，不等式组与方程的综合．注意性质的应用．
【题型17 一元一次不等式组的运用】
【例17】（24-25七年级·安徽合肥·阶段练习）某校七年级有三个班组织数学竞赛、英语竞赛和作文竞赛，各项竞赛均取前三名（每项竞赛的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分．已知七（1）班和七（2）班总分相等，并列第一名，且七（2）班进入前三名的人数是七（1）班的两倍，那么七（3）班的总分是 分．
【答案】7
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设七（2）班进入前三名有x人，根据题意可列不等式组并解得，由（1）班、（2）班分数相等，并且比（3）班分数高，可知（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，故，再分和两种情况分别分析推理即可得到答案．
【详解】解：设七（2）班进入前三名有x人，则七（1）班进入前三名有人，七（3）班进入前三名有人，
由题意得，
解得，
因为三个竞赛项目的总分是（5+3+1）×3=27（分），（1）班、（2）班分数一样，并且比（3）班分数高，所以（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，
，
即（1）班最少有2个人进入前三名，则（2）班最少有4人进入前三名，
当时，（1）班有3人进入前三名，那么（2）班就有6人进入前三名，（3）班就没人进入前三名，则27分由（1）班、（2）班平分，但27不能被2整除，不合题意，舍去；
当时，（1）班、（2）班进入前三名的人数分别为2人、4人．因为他们的得分必须大于9分，所以（1）班得分是（分），（2）班也是得10分，所以（3）班得7分；
综上所述，七（3）班的总分是7分．
故答案为7．
【变式17-1】（24-25八年级·北京西城·期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于．
（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了？答： （填“是”或“否”）；
（2）小明共跑了且恰好回到起点，那么他共跑了 圈．
【答案】 否 10
【分析】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x圈，结合图形即可作答；
（2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即可求解．
【详解】（1）设环形跑道的周长为L，小明总计跑了x（x为整数）圈，
结合图形，根据题意有：，
即小明恰好跑3圈时，路程没有超过；
（2）结合图形，根据题意有：，
解得：，
根据题意还有：，可得：，
∵，
∴，
∴，
∵x为整数，
∴为整数，
∴，
即，即小明共跑了10圈，
故答案为：否，10．
【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键．
【变式17-2】（24-25八年级·四川达州·阶段练习）“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本．
【答案】
【分析】设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本，则第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本，再根据建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于列出不等式组求出；再由第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为，得到是26的倍数，进一步推出是13的倍数，由此求出x的值即可得到答案．
【详解】解：设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本，
∴第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本，
由题意得，，
解得；
∵x为整数，
∴x的值可以为43，44，45，46，47，48；
∵第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为，
∴第一周结束后三个班的图书角的书籍总数一定是的倍数，
∴是26的倍数，
∴是整数，
∴是整数，即是13的倍数，
∴满足题意的x的值只能是45，
∴，
∴第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系求出是解题的关键．
【变式17-3】（24-25八年级·北京西城·阶段练习）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为 ；
（2）该小组人数的最小值为 ．
【答案】 5 7
【分析】①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解．
【详解】解：①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：
，且，
解得：，
∵x、y均为整数，
∴初二学生人数的最大值为5；
故答案为：5；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得：
，
当时，
即有：，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：，
此时团队总人数为：（人）；
当时，
即有：，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：，
此时小组总人数最小值为：（人），
可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加，
即该小组人数最小值为7人；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
【类型三 解答压轴题】
【题型18 确定两角度之间的关系】
【例18】（24-25八年级·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程．
证明：，
．
即．
在和中
（________）．
(2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明．
【答案】(1)，；
(2)见解析
(3)；见解析
【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论；
（2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案；
（3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
故答案为：，；；
（2）解：如图2，在上取一点，使，
，，
，，
，
，
，
，
又，，，
，
设和交于点，
，
．
（3）解：．
理由：如图3，在延长线上取一点，使得，
同理可证：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键．
【变式18-1】（24-25八年级·北京西城·开学考试）已知，点为中点，，为边，上的动点，且满足，为平面内一点，，，连接，．
(1)若点为边和边上的高的交点，求证：；
(2)若点不与三角形高的交点重合，与是否还有上述关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是，理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和即可得到本题答案；
（2）取和中点分别为，连接，利用中位线定理及直角三角形斜边中线可得，，则证明 ，再利用全等性质及外角和性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：取和中点分别为，连接，
，
∵点为中点，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴和是等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，外角和性质．正确作出辅助线是解决本题的关键．
【变式18-2】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）如图1，在中，点在边上，．
(1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的；
(2)利用中画出的图形，求证：；
(3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明．
【答案】(1)作图见解析；
(2)见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（）根据画轴对称图形方法即可；
（）作出轴对称，根据角度和差证明即可；
（）通过角度和差，全等三角形的性质与判定即可证明．
【详解】（1）如图，延长，以点为圆心长为半径画弧，交延长线与点，连接，
∴即为所求；
（2）如图，同（）作点关于对称点，连接
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3），理由：
如图，
设，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了轴对称，垂直平分线，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【变式18-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，如果，则________度．
(2)设，．
①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由．
②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由．
【答案】(1)90
(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）证明，得，即可证明；
（2）②与（1）同理，得，则根据即可证明；②与（1）同理，得，再根据即可证明．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：90；
（2）①，理由如下：
由题（1）知，
，
，
，
；
②，理由如下：
类比题（1），可得，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键．
【题型19 证明线段间的关系】
【例19】（24-25八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．
(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图1，若，，则的长为___________；
(3)如图2，若，，连接，交于点．
①是否为线段的垂直平分线？并说明理由；
②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；②
【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分；
（2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解；
（3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；
②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下：
由（1）可得，平分，
∵，
∴，，
∴是线段的垂直平分线；
②，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
∴，
【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键．
【变式19-1】（24-25八年级·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于；
(1)当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明．
(2)①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）；
②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①；②成立，画图及证明见解析
【分析】（1）由等边三角形性质可得，由平行线的性质可得，得出，由等边三角形判定得出；再证明，，再由题意得出，最后可得结论；
（2）①作，交直线的延长线于点，易证，可得，，可证，可得，即，等量代换得，；
②作，交直线的延长线于点，连接，．再依照①证明即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
，
点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．
，
；
（2）解：①如图1，作，交直线的延长线于点，
又于，
，
点、做匀速运动且速度相同，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
又，，
，
，
，
，
；
②结论还成立．理由如下：
如图2，作，交的延长线于点，连接，．
同①可得，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质是解答本题的关键．
【变式19-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M．
(1)如图1，判断与的数量关系并证明．
(2)当直线经过点C时（如图2），求证：；
(3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题；
（2）连接，易证，易证，可得，即可解题；
（3）过点C作交于，过点C作交直线l于点G，由（1）可得，易证，即可证明，可得，即可解题．
【详解】（1）解：∵平分，，
；
（2）证明：连接，
∵平分，
，
∵直线于H，
，
，
，
是线段的中垂线，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当M是中点时，和之间的等量关系为，
理由：证明：过点C作交于，过点C作交直线l于点G，
由（1）可得，
，
，
，
，
∵M是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底边三线合一的性质，作出辅助线证明全等是解题的关键．
【变式19-3】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在等腰中，，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、、，交于．
(1)如图，若垂直平分，
求证：；
判断与的关系，并说明理由；
(2)如图，是线段上一点，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析； ，，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）过作于点，则，由是等腰直角三角形，则，得到即，同理，由垂直平分线的性质得，，则，，再证明，又可证则，从而求解；
过作于点，则，根据等腰直角三角形的性质得，通过角度和差得，则，从而证明，再证明，根据性质得出，，从而得出，最后由角度和差即可求出，从而证明；
（）过点作的垂线交延长线于点，连接，通过角度和差得出，证明，则，，由，，则，，从而得出，再证明 ，然后根据性质即可求证．
【详解】（1）证明：如图，过作于点，则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
同理：，
∵垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
解： ，，理由如下：
如图，过作于点，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由得：，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定，角度和差，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【题型20 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例20】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．
(1)请直接写出线段，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明；
（2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到．
【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）猜想：，
证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，
，，，，
，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中
，
，
．
【变式20-1】（24-25八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论．
【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：，是的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）证明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式20-2】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．
（1）求证：；
（2）探究、、的数量关系，并证明；
（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立；
（2）由（1）得BD=AE，，则，再由勾股定理，即可得到答案；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）由（1），
∴，BD=AE，
∵，
∴，
∴，
∴△ABD是直角三角形，
∴，
∴；
（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图，
∵BD=AE，，
∴，
∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，
∴OM=ON，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，．
(1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系；
（2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长．
【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下：
当时，则，
，，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示：
当时，，
，，
和均为等边三角形，
，
同理可证：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
设，则，
，，
，
，
为等边三角形，，
是线段的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
【题型21 利用勾股定理在网格中作图】
【例21】（24-25八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．
(1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______；
(2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰；
(3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可；
（3）在的延长线上取格点E，使，连接，取的中点D，连接，即为所求．
【详解】（1）解：由勾股定理得，．
故答案为：5；
（2）解：如图，等腰即为所求(答案不唯一)
（3）解：如图，即为所求．
【变式21-1】（24-25八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1）
【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点）
【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长．
【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形．
【答案】（1），；（2）图见解析，边长为；（3）见解析
【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键．
（1）线段为底，高为1的三角形，利用勾股定理即可求得另外两边长；
（2）拼图：以图（2）①中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图（2）②；
（3）将两个正方形分割为1个边长为的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可．
【详解】解：（1）如图，即为所作，
，，，
故答案为：，；
（2）拼成的大正方形的面积是5，边长为；
剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示：
（3）拼成的大正方形的面积是，边长为；
剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示：
．
【变式21-2】（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示．
(1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使．
(2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求；
（2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图，，点即为所求；
理由如下：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴是的高，
∵，，，
∴（），
∴，
∵，，
∴（），
∴；
（2）解：如图，点，点即为所求．
理由如下：连接、，
同（）可证，由（）得，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴．
【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式21-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积．
【答案】见解析；； ；
【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可
【详解】解：钝角三角形时，如图，
∵BC⊥BD，BC=5，
∴△ABC是钝角三角形，
根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4,
∴；
直角三角形时，如图，
取格点F使得BF=4，FC=3，
根据勾股定理，得BC==5，
∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴∠EAB=∠FBC，
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠FBC+∠EBA=90°，
∴∠ABC =90°，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理，得AB==5，
∴ ；
锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4，
根据勾股定理，得BC==5，
根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°，
∴∠ABC＜∠ABN，
∴∠ABC＜90°
∵AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，
∴=12；
【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键．
【题型22 勾股定理的应用】
【例22】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？
【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析
(2)台风中心的移动速度是
【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键．
（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解；
（2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度．
【详解】（1）解：作于点D，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，
则，
∴台风在段上移动时A受到影响，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴台风中心的移动速度．
故台风中心的移动速度是．
【变式22-1】（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；
（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍．
【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长，圆柱的高，
该长度最短的金属丝的长为．
（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍：
．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【变式22-2】（24-25八年级·广东佛山·期中）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴
