2024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拔尖卷）
【北师大版】
考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~2章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024八年级·浙江·学业考试）如图，在正中，D为上一点，E为上一点，交于点P．若四边形与面积相等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2024八年级·四川眉山·期末）如图：中，，，中线，则长为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．10 D．14
6．（3分）（24-25八年级·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级·重庆开州·期末）如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2024八年级全国·竞赛）将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
9．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25八年级·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则 ．
12．（3分）（24-25八年级·湖南长沙·单元测试）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．（3分）（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在中，，，点为斜边上任意一点．
（1）的长度等于 ；
（2）线段的最小值为 ．
14．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·单元测试）若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ．
15．（3分）（24-25八年级·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ．
16．（3分）（24-25八年级·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有 个．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·北京·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围．
18．（6分）（24-25八年级·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点，点，动点（），、分别为点关于直线、的对称点，连接，．
(1)如图1，当时，______；
(2)如图2，当时，是否存在点，使得，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由：
(3)当时，四边形的面积是否随点的运动而改变？若不变，请求出四边形的面积：若改变，请描述四边形的面积随点运动的变化规律．
19．（6分）（24-25八年级·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
20．（8分）（24-25八年级·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
21．（8分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图 1，在五边形 ABCDE 中，∠E=90°，BC=DE.连接 AC，AD， 且 AB=AD，AC⊥BC.
（1）求证：AC=AE；
（2）如图 2，若∠ABC=∠CAD，AF 为 BE 边上的中线，求证：AF⊥CD；
（3）如图 3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为
22．（9分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）点为等边所在平面内一点，连接，，，且．
(1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）；
(2)点在内部，连接．
①如图2，若，求的值；
②如图3，D为边中点，连接，求的度数．
23．（9分）（24-25八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．
(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；
(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：
(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
24．（10分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）．
(1)若P点在边上且满足，则此时________；
(2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值；
(3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值．
25．（10分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，，，，．
(1)如图1，连接，，当时，求的面积；
(2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系；
(3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积．
小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程．
12024-2025学年八年级（下）第一次月考数学试卷（拔尖卷）
【北师大版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·湖北黄石·期末）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解．
【详解】解：由得：，
∵不等式的解集是，
且
设
则
∴的解集是，
即，
故选：A．
2．（3分）（2024八年级·浙江·学业考试）如图，在正中，D为上一点，E为上一点，交于点P．若四边形与面积相等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形性质和三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是利用全等得到一对对应角相等，进而求得所求角的度数．根据三角形全等的判定定理，可证，证得．
【详解】解：如图，分别过点E，D作，垂足为N，M，则．
，
即
．
又
．
∵在正中，
，
，
故答案为：A．
3．（3分）（2024八年级·四川眉山·期末）如图：中，，，中线，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键．
延长至点E，使，连接，结合是的中线证明，得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，利用勾股定理求得，即可求得．
【详解】解：如图，延长至点E，使，连接，
∵，
∴
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
故选：C ．
4．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可．
【详解】解：由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵无论 取何值，始终有 ，
∴两直线平行，才会始终有 ，
∴，
当过时，
∴，
解得：，
此时两条直线相交，
如图，
∴且，
当时，如图，不符合题意；
故选：D
5．（3分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．10 D．14
【答案】A
【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，
直线垂直平分线段，
，
点为边的中点，，
，
周长，
周长的最小值为，
，点为边的中点，
，
，，
，
解得，
周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键．
6．（3分）（24-25八年级·江苏南京·开学考试）已知的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式组与方程组综合．熟练掌握解不等式组，不等式组解集定义，解方程组，是解决问题的关键．
根据的解集是，求出a，b的值，把a的值代入，解不等式，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的解集是，
∴，
∴，
解得，，
∴，
解得，．
故选：D．
7．（3分）（24-25八年级·重庆开州·期末）如图，四边形中，平分，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H，根据角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，解答即可．
本题考查了角的平分线的性质定理和判定定理，三角形外角性质，平角的定义，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点G，作，交的延长线于点F，作，交的延长线于点H，
∵平分，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．（3分）（2024八年级全国·竞赛）将函数的图象记为．若一次函数的图象与有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象性质与不等式的关系，找出一元一次不等式是解题的关键；
根据的非负性得或两种情况，分类讨论得一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
【详解】图象如图所示：设,
当时，，
，
当时，，
，
过点，当y过处，即同时过A、B时，
将代入得：
解得：
当时，的图象与在第一象限有交点，
时，当与平行时，的图象与无交点，
，
时，的图象与在第二象限有交点，
故选：D
9．（3分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
在中，由勾股定理得：，
，则，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
即第1个等边三角形的边长为：，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
在中，，，
，
即第2个等边三角形的边长为：，
同理：第3个等边三角形的边长为：，
，依次类推，第个等边三角形的边长为：，
第2024个等边三角形的边长等于．
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级·湖南岳阳·期末）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，则，于是可证得四边形是矩形，进而可得，在中，由即可判断结论①；由全等三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由三角形三边之间的关系可得，由此即可判断结论②；由全等三角形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，因而，在中，根据勾股定理可得，即，由不等式的性质可得，即，由此即可判断结论③；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，故结论①正确；
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，故结论②正确；
，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
即：，
，
即：，
，故结论③正确；
综上，所有正确的结论有：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形三边之间的关系，矩形的判定与性质，完全平方公式，不等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在延长线上，若交BC于P，且，，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得出，，根据直角三角形性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
12．（3分）（24-25八年级·湖南长沙·单元测试）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集及整数解的个数求出的取值范围是解此题的关键．
先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，
，
解得：，
解方程得：，
，
，
解得：，
∵a为整数，
∴a为16或17，
，
故答案为：33．
13．（3分）（24-25八年级·河北唐山·期末）如图，在中，，，点为斜边上任意一点．
（1）的长度等于 ；
（2）线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，
（1）由勾股定理即可求出的长；
（2）当时，线段的值最小，由三角形面积公式得到，即可求出线段的最小值；
解题的关键是掌握勾股定理，正确理解垂线段最短的意义．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
故答案为：；
（2）当时，线段的值最小，
此时，
∴，
∴，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·单元测试）若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由一元一次不等式组和一元一次不等式解集的情况求参数的取值范围，先分别求出不等式组和不等式的解集，再根据解集的情况列出关于的不等式即可求解，掌握解一元一次不等式组和一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：解不等式组，得，
解不等式，得，
∵不等式组解集中的任意的值都能使不等式成立，
∴，
∴，
故答案为：
15．（3分）（24-25八年级·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ．
【答案】 8 12
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键．
当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解．
【详解】解：如图2，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵成，
∴是直角三角形，由勾股定理，得
∴；
当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图，
∵，于H，过点D作于F，
∴，，
∴，
∴
由勾股定理，得
∴
∴
∴
故答案为：8；12．
16．（3分）（24-25八年级·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有 个．
【答案】4
【分析】根据题意，分三种情况讨论：①为腰且；②为腰且；③ 为底边且，确定符合条件的点个数，再根据，便可得到答案．
【详解】解：如图
① 为腰且时，可得，
② 为腰且时，可得 ，
③ 为底边且 时，可得 ，
∵
∴和不符合题意，其它4个都符合题意
故答案为4
【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·北京·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围．
【答案】(1)A点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．
（1）令纵坐标为0求解即可；
（2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可．
【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点，
∴A点的纵坐标为0，即，
∴解得，
∴A点坐标为；
（2）解：如图，
∵一次函数，
∴一次函数过定点，
当时，，
把代入，得
解得，
由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或．
18．（6分）（24-25八年级·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点，点，动点（），、分别为点关于直线、的对称点，连接，．
(1)如图1，当时，______；
(2)如图2，当时，是否存在点，使得，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由：
(3)当时，四边形的面积是否随点的运动而改变？若不变，请求出四边形的面积：若改变，请描述四边形的面积随点运动的变化规律．
【答案】(1)
(2)点P坐标为；
(3)当时，四边形的面积不随点P的运动而改变．
【分析】（1）证明是等腰直角三角形，根据轴对称性可得，，进而可以解决问题；
（2）设长为x，则的长为，长为，得，根据，列出方程求出x的值，即可解决问题；
（3）设，得，，，根据，代入值即可解决问题．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图1，连接，
∵M、N分别为点P关于直线的对称点，
∴O为的中点，为的中垂线，，
∴为等腰三角形，
∴，
同理可证，
∴，
故答案为：；
（2）解：当时，存在点P，使得，理由如下：
∵M为点P关于直线的对称点，
∴，
∴，
如图2，连接．
由（1）知B在的中垂线上，A在的中垂线上，
∴，，
设长为x，则的长为，长为，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点P坐标为；
（3）解：当时，四边形的面积不随点P的运动而改变，
如图2，连接．由（1）知B在的中垂线上，A在的中垂线上，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∵
．
∴当时，四边形的面积不随点P的运动而改变．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查梯形的面积，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19．（6分）（24-25八年级·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，为锐角三角形；
当时，为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当为锐角三角形时，，
；
当为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
20．（8分）（24-25八年级·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含．
(1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：，
①的解集中点值为 ．
②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含．
(2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围．
(3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围．
【答案】(1)①； ②是
(2)
(3)
【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解；
（）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解；
（）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解；
本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：①解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
故答案为：；
②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为，
∴不等式组对于不等式组是中点包含，
故答案为：是；
（2）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴
解得；
（3）解：解不等式组得，，
∴不等式组的解集中点值为，
解不等式组得，，
∵不等式组对于不等式组中点包含，
∴，
解得，
∵所有符合要求的整数之积为，
∴可取或可取，
∴或，
即．
21．（8分）（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图 1，在五边形 ABCDE 中，∠E=90°，BC=DE.连接 AC，AD， 且 AB=AD，AC⊥BC.
（1）求证：AC=AE；
（2）如图 2，若∠ABC=∠CAD，AF 为 BE 边上的中线，求证：AF⊥CD；
（3）如图 3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）42
【分析】(1)由已知可得Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得结论；
（2）延长 AF，BC 交于点 G，连接CG，可得∠G=∠EAG，可证明得：△AEF≌△GBF（AAS），可得AE=BG，∠ABG=∠CAD，可证明得△ABG≌△DAC（SAS），∠G=∠ACD，可得结论；
(3) 在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为42.
【详解】（1）∵AC⊥BC，，
∴∠ACB=90°=∠E． 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，
AB AD，BC DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AE.
（2）延长 AF，BC 交于点 G，
∵∠ABC=∠CAD，∠BAC=∠DAE，
∴∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB，，
∴BG∥AE，
∴∠G=∠EAG，
在△AEF 和△GBF 中，
AFE GFB，EAF G，EF BF，
∴△AEF≌△GBF（AAS），
∴AE=BG，
∵AC= AE，
∴BG=AC．
∵∠2=∠3，
又∠ABG=∠1+∠2，
∠CAD=∠BAD+∠CAE-∠BAE，，
=180-∠BAE=180-（180-∠1-∠3）=∠1+∠3，
∴∠ABG=∠CAD，
在△ABG 和△DAC 中，
AB AD，ABG DAC，BG AC，
∴△ABG≌△DAC（SAS），
∴∠G=∠ACD，
∵∠ACG=∠ACB= 90° 即：∠ACD+∠GCD=90°，
∴∠G+∠GCD=90°，
∴AF⊥CD；
（3）在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为42 .
【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键.
22．（9分）（24-25八年级·湖北武汉·期末）点为等边所在平面内一点，连接，，，且．
(1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）；
(2)点在内部，连接．
①如图2，若，求的值；
②如图3，D为边中点，连接，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，得到，点的对应点为，首先证明点C在线段上，再证明是等边三角形，从而得出答案；
（2）①将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案；
②延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点P的对应点为点，连接，同理得是等边三角形，再利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为，
则，，，，，
∴，
∴点在线段上，
∵
，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，
则，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②如图，延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，连接，
同理可知，是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
23．（9分）（24-25八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．
(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；
(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：
(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张
(2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
(3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．
【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可；
（2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答；
（3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论．
【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，
根据题意可得方程，
解得，
该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
（2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，
由题意可得，
解得，
是正整数，
或17，
或13，
故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
（3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，
①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，
售出后的利润为（元），
，
即，
是正整数，
，
②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，
售出后的利润为（元），
，
即，
是正整数，
无解，
综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组．
24．（10分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，若点P从点C出发，以每秒的速度沿折线方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运动时间为秒（）．
(1)若P点在边上且满足，则此时________；
(2)若P点恰好在的角平分线上，求此时的值；
(3)在P点运动的过程中，当为何值时，是等腰三角形，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或12或13
【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到t的值．
（2）过P作于D，设，则，在中，，列方程求解即可得到t的值．
（3）分四种情况：当P在上且时，当P在上且时，过C作于D，当P在上且时，当P在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．
【详解】（1）解：如图，设，则，
∵，，，
，
在中，，
，
解得：，
,
，
故答案为：；
（2）如图，过P作于D，
平分，
∵，
∴（）
∴，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
（3）①如图，当P在上且时，
；
②如图，当P在上且时，过C作于D，
，，
在中，，
，
；
③如图，当P在上且时，
，
；
④如图，当P在上且时，
，而，
，
，
是的中点，即，
；
综上所述，当或或12或13
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
25．（10分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，，，，．
(1)如图1，连接，，当时，求的面积；
(2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系；
(3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积．
小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质以及已知条件得出，进而可得，结合已知线段的长度以及勾股定理分别求得，即可求解；
（2）延长交于点，连接，证明，得出即，根据是等腰直角三角形，则，得出；
（3）根据题意得出在射线上运动，当时，取的最小值；进而证明，再求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，
∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴ ，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，延长交于点，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
∴
∴，
由（1）可得是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴即，
又∵，
∴是等腰直角三角形，则，
∴，即；
（3）解：依题意在射线上运动，
∴当时，取得最小值；
证明如下：如图所示，取的中点，连接，，
同（2）可得，
∵是的中点，，
∴，，
设，，
∵，
∴，则，
∴；
同理可得，
∴，，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴；
即在射线上运动；
∴当时，取的最小值；
如图所示，∵，
∴，
即，
∴点M在射线上运动；
过点作于点，过点作于点，
则；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式的混合运算；熟练掌握以上知识是解题的关键．
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