人教版数学七年级上册 6.2.2 线段的比较与运算-课件（36张PPT）

(共36张PPT)
6.2.2
线段的比较与运算
第6章 几何图形初步
情境引入
很多时候，眼见未必为实，准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.
观察下列图形，你能比较出上下两条线段 的长短吗？正方形的边长和圆的直径谁更长？
新知探究
在没有刻度尺的条件下，电工师傅若想从较长的电线上截下一段，使截下的电线等于另一根短电线的长，你有什么好办法吗？
画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？
思考：
新知探究
新知探究
尺规作图：画一条线段等于已知线段
已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺画射线 AF；
第二步：用圆规在射线 AF 上截取
AB = a.
∴ 线段 AB 为所求.
a
A F
a
B
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
典例精析
例1
如图，已知线段a，b，求作线段AB＝2a－b.不写步骤，保留作图痕迹．
解：如图，线段AB即为所求作．
新知探究
思考:怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到一些启发吗？
我身高1.5m.
我身高1.53m.
比你高3cm.
新知探究
比较两条线段的长短，我们可以用刻度尺分别测量出它们的长度来比较.
C D
A B
2.7cm
3.5cm
AB < CD
度量法：
新知探究
或者把其中一条线段移到另一条上作比较.
C D
A B
AB < CD
叠合法：
新知探究
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 CD 的延长线上，
那么 AB CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
新知探究
在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作 AD = .
A
B
C
D
a + b
a - b
a
b
b
a
b
a + b
a
b
a - b
1. 如图，点 B，C 在线段 AD 上，则 AB + BC =____， AD－CD =___，BC =___ －___ = ___ － ___.
新知探究
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
2. 如图，已知线段 a，b，画一条线段 AB，使 AB = 2a－b.
a
b
A
B
2a－b
2a
b
新知探究
条件 图形 作法 结论
用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，再在射线BE上截取线段BC＝b
线段AC是线段a、b的和，即AC＝a＋b
用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，再在线段AB上截取线段BD＝b
线段AD是线段a、b的差，即AD＝a－b
典例精析
例2
估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用圆规来
检验你的估计.
典例精析
例3
如图，填空：
(1)AD＝AB＋______＝AC＋_______＝______＋BC＋______；
(2)AB＝AD－______＝AC－______＝______－BC－______；
(3)AC＋BD－AD＝______．
BD
CD
AB
CD
BD
BC
AD
CD
BC
新知探究
A
B
M
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
......
学习笔记
新知探究
A
a
a
M
B
M 是线段 AB 的中点.
几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点，
所以 AM = BM = AB
(或 AB = 2AM = 2BM).
反之也成立：因为 AM = BM = AB
(或 AB = 2AM = 2BM)，
所以 M 是线段 AB 的中点.
新知探究
点 M，N 是线段 AB 的三等分点：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
类似地，还有线段的四等分点，
如图②所示，
AB＝BC＝CD＝DE＝AE 或 AE＝4AB＝4BC＝4CD＝4DE.
典例精析
例4
如图，点 D 是线段 AB 的中点，点 C 是线段 AD 的中点，若 CD=1，
则AB= .
解：因为点 C 是线段 AD 的中点，
所以 AD=2CD =2.
因为点 D 是线段 AB 的中点，
所以 AB=2AD=4.
4
A
C
D
B
典例精析
例5
如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝6，求CD的长；
解：(1)∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝AB－AC＝10－6＝4.
∵点D是线段BC的中点,
∴CD＝ BC＝2；
CD
BC
AB
AC
—
中 点
典例精析
(2)若AC＝30，BD＝10，求AB的长．
解：∵点D是线段BC的中点，
∴BC＝2BD＝2×10＝20.
∵AB＝AC＋BC，
∴AB＝30＋20＝50.
AB
BD
AC
BC
+
中 点
例5
如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点．
典例精析
例6
如图，B、C 是线段 AD 上两点，且 AB : BC : CD = 3 : 2 : 5，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且 EF = 24，求线段 AB、BC、CD 的长．
F
E
C
B
D
A
解：设 AB = 3x，BC = 2x，CD = 5x.
因为 E、F 分别是 AB、CD 的中点，
所以
所以 EF = BE + BC + CF =
因为 EF = 24，所以 6x = 24，解得 x = 4.
所以 AB = 3x = 12，BC = 2x = 8，CD = 5x = 20.
典例精析
例7
若线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，求A、
D两点间的距离.
解：分情况讨论：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
所以AC＝AB－BC=6－4＝2，
因为D是AC的中点，
所以AD＝1；
典例精析
例7
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
解：（2）
所以AC＝AB＋BC=6＋4＝10，
因为D是AC的中点，
所以AD＝5.
综上所述，AD＝1或5
学习笔记
典例精析
求线段的长度时，若题目中涉及线段长度的比例或倍分关系，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
无图求线段的长时，应注意分类讨论，一般情况有：
点在线段上；
点在该线段的延长线上.
新知探究
思考：如图，小狗从 A 地到 B 地吃骨头有四条道路，你认为小狗会走哪条路？为什么


A
B
学习笔记
新知探究
1．线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．两点间的距离：连接两点的线段的长度．
注：线段是一个图形，两点间的距离是指线段的长度，
是一个数值，而不是线段本身，因此不能说“A，B
两点间的距离是线段AB”，而应该说“A，B两点间
的距离是线段AB的长度”．
典例精析
例8
如图，A，B是公路(直线l)两旁的两个村庄．若两个村庄要在公路上合修一个汽车站，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，试在直线l上标出汽车站的位置，并说明作图依据．
解：如图，连接AB交直线l于点P，则点P即为汽车站的位置．
依据：两点之间，线段最短．
l
B
A
·
·
·
典例精析
例9
公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？
两点之间，线段最短．
曲折迂回的桥增加了
游人在桥上行走的路程，
便于游人欣赏风光.
线段长短的比较与运算
比较
度量法、叠合法
基本事实
两点之间，线段最短
线段和差
中点、三等分点...
两点间的距离
方程思想、分类思想
随堂演练
1.如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，结论正确的是(　 　)
A．A′B′>AB
B．A′B′＝AB
C．A′B′D．没有刻度尺，无法确定
C
随堂演练
2.点B在线段AC上，下列关系式：①AB＝ AC；②AB＝BC；
③AC＝2BC；④AB＋BC＝AC.其中能表示点B是线段AC的中点
的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
3. 下列说法正确的是 ( )
A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段
B. 两点之间的距离是指两点之间的直线
C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度
D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度
C
随堂演练
4.为比较线段AB、CD的长短，小明将点A与点C重合，使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(　 　)
A．ABCD
C．AB＝CD D．以上都有可能
B
5.如图，C，D是线段AB上两点．若AC＝3，点C是线段AD的中点，AB＝10，则B，D两点之间的距离是____．
4
随堂演练
6.下列四个现象中，可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有(　 　)
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能地沿着直线架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
D
随堂演练
7. 已知点M，N，P在同一条直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长.
解：如图(1)，当点P在MN的延长线上时，
因为MP=MN+NP，所以MP=3+1=4（cm）.
答：当点P在MN的延长线上时，线段MP的长为4cm；当点P在线段MN上时，线段MP的长为2cm.
N
M
P
(1)
3cm
1cm
N
M
P
(2)
3cm
1cm
如图(2)，当点P在线段MN上时，
因为MP=MN-NP，所以MP=3-1=2（cm）.
随堂演练
8.若C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，点M、N分别是AC、BC的中点，请猜想MN的长，并画出图形，说明理由．