人教版数学七年级上册 6.3.2 角的比较与运算 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
6.3.2
角的比较与运算
第6章 几何图形初步
复习回顾
我们上节课是如何比较线段AB，CD的长短？
C D
A B
方法一：度量法（分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较.）
方法二：叠合法（点A与点C重合，观察点B与点C、D之间的位置）
C D
A B
线段AB____线段CD
>
线段AB____线段CD
<
复习回顾
AB = AC + BC
BC = AB－AC
AC = AB－BC
线段的和、差
线段的中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC = AB
AB = 2 AC = 2 BC
你还记得线段的中点吗？
情景引入
有一天学生果果和庆华在交流假期旅行的见闻，他们各带了一把折扇(如图所示)，下面是他们的一段对话：
果果：我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
庆华：我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
你认为谁说得对？
新知探究
试比较∠AOB、∠A’O’B’的大小：
方法一：度量法
（分别用量角器测量∠AOB、∠A’O’B’的大小，再进行比较.）
A
O
B
A’
O’
B’
新知探究
方法二：叠合法
（点O与点O’重合，点B与点B’重合,观察点A与点A’ 的位置）
A
O(O’)
B(B’)
A’
∠AOB < ∠A’O’B’
A
O(O’)
B(B’)
A’
∠AOB > ∠A’O’B’
A(A’)
O(O’)
B(B’)
∠AOB = ∠A’O’B’
试比较∠AOB、∠A’O’B’的大小：
A
O
B
A’
O’
B’
新知探究
你能通过三角板画出75°、15°的角吗？
A
O
B
C
O
B
A
C
45°
30°
75°
15°
∠AOB=∠AOC+∠COB=75°
新知探究
你能通过三角板画出150°,135°,120°的角吗？
150°
135°
120°
深入思考:用三角板能拼出的角的大小有何特征？
15°的倍数
新知探究
A
B
O
C
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：
∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，
记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，
记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB= .
∠BOC
新知探究
纸上画一个任意度数的角（小于180°），将纸对折，将角的两边重合，
观察∠AOC和∠COB与∠AOB的关系？
∠AOC=∠COB
∠AOB= ∠AOC+∠COB
∠AOB= 2∠AOC=2∠COB
我们把射线OB叫做∠AOC的角平分线.
B
O
A
C
新知探究
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，
叫做这个角的平分线.
几何语言：
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，
∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
O
B
A
C
新知探究
角的n等分线：
类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，
叫做角的n等分线，
将一个角三等分
射线OC、OD为∠AOB的
三等分线
将一个角四等分
射线OC、OD 、OE 为∠AOB的
四等分线
典例精析
例1
C
D
B
A
已知∠ABC=90°，∠DBC=53°17′，求∠ABD的大小.
解： ∠ABD = ∠ABC - ∠ DBC
=90 °- 53°17′
= 89°60′ - 53°17′
= 36°43′
典例精析
例2
如图，小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A，C放在长方形纸片DEFG的对边上，若AC平分∠BAE，则∠DAB的度数是（ ）
A．100° B．150° C．130° D．120°
解：
∵AC平分∠BAE
∴∠BAC=∠CAE=30°
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°
∴∠DAB=120°故选D.
典例精析
例3
计算:
(1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″;
(3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3.
解:(1)56°18′+72°48′=128°66′=129°6′;
(2)131°28′-51°32′15″
=130°87′60″-51°32′15″
=79°55′45″;
涉及度、分、秒的角度和、差计算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60.
归纳总结
典例精析
例3
计算:
(1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″;
(3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3.
解:
涉及度、分、秒的角度和、差计算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢 60 要进位，相减时要借 1 作 60.
归纳总结
(3)12°30′20″×2
= 24°60′40″
= 25°40″;
(4)12°31′21″÷3
=4°+31′21″÷3
=4°10′+81″÷3
=4°10′27″.
典例精析
例4
如图，∠BOD=∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数.
解:因为∠BOD=∠COD=15°
所以∠COD=3∠BOD=45°，
所以∠BOC=∠COD-∠BOD=30°
又因为OC平分∠AOB，
所以∠AOB=2∠BOC=60°.
典例精析
例5
如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
解：(1)∵OC是∠AOD的平分线，
OE是∠BOD的平分线，
∴∠COD＝ ∠AOD，∠DOE＝ ∠BOD.
∴∠COD＋∠DOE
＝ ∠AOD＋ ∠BOD
＝ (∠AOD＋∠BOD)
＝ ∠AOB=65°.
典例精析
例5
如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
(2)在(1)的条件下，如果∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？
（2）∵∠DOE＝∠COE－∠COD
＝65°－20°＝45°，
又∵OE平分∠DOB，
∴∠BOE＝∠DOE＝45°.
如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．
(1)如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？
典例精析
例6
如图，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOB=90°，∠BOC=38°，求∠DOE的度数；
解:(1)因为∠AOB=90°,∠BOC=38°
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+38°=128°.
因为OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COE=∠AOC=×128°=64°
∠COD=∠BOC=×38°=19°
所以∠DOE=∠COE-∠COD=64°-19°=45°
典例精析
例6
(2)若∠AOB=α，∠BOC=β(∠AOB，∠BOC均为锐角，且α＞β)，
其他条件不变，求∠DOE的度数；
(2)因为∠AOB=α，∠BOC=β，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β.
因为OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COE=∠AOC=(α+β)，
∠COD=∠BOC=β.
所以∠DOE=∠COE-∠COD=(α+β)-β=α.
典例精析
例6
(3)从(1)(2)的结果中，你发现了什么规律 请写出来.
(3)∠DOE的大小是∠AOB的大小的一半，
与∠BOC的大小无关.
角的比较与运算
角的比较
度量法、叠合法
角的平分线
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
角的运算
加减乘除
随堂演练
1．22°20′×8等于( ).
A．178°20′ B．178°40′
C．176°16′ D．178°30′
2．如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（ ）.
A．OA B．OB C．OC D．OD
3.已知OC平分∠AOB.若∠AOB=70°，∠COD=10°，则∠AOD的度数为
______________.
25°或45°
B
C
随堂演练
4.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于( )
A．20° B．50° C．75° D．100°
5.如图，∠AOB＝60°，且∠AOC＝∠AOB，则∠BOC＝ ．
D
第4题图
40°
第5题图
随堂演练
6.计算：
(1)98°45′36″＋71°22′34″＝ ；
(2)52°37′－31°45′12″＝ ；
(3)13°24′15″×5＝ ；
(4)58°34′16″÷4＝ ．
170°8′10″
20°51′48″
67°1′15″
14°38′34″
随堂演练
7.如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝36°，
求∠BOD的度数．
解：∵O是直线CD上的点，OA平分
∠BOC，∠AOC＝36°，
∴∠BOC＝2∠AOC＝72°，
∴∠BOD＝180°－∠BOC
＝180°－72°＝108°.
随堂演练
8.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°，
求∠AOD和∠BOC的度数.
解:因为OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，
所以∠BOD=2∠BOE=30°，
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD= 90°+30°=120°，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°.
随堂演练
9.如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数.
解:因为∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，
所以设∠AOC=(2x)°，∠COD=(3x)°，∠DOB=(4x)°,
则∠AOB=∠.AOC+∠COD+∠DOB= (2x)°+(3x)°+(4x)°=(9x)°.
因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
所以∠MOC=∠AOC=x°，∠NOD=∠DOB=(2x)°，
随堂演练
9.如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数.
所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠NOD
=x°+(3x)°+(2x) °
=(6x)°.
又∠MON= 90°，
所以6x=90，
所以x=15，
所以∠AOB=9×15°=135°.