中小学教育资源及组卷应用平台
期中易错题压轴题专项复习【28大题型】
（考试范围：第1~3章）
【北师大版】
【易错篇】 2
【考点1 等腰三角形】 2
【考点2 等边三角形】 7
【考点3 含30度角的直角三角形】 13
【考点4 直角三角形全等的判定与性质】 18
【考点5 勾股定理与网格】 23
【考点6 利用勾股定理求值】 26
【考点7 赵爽弦图】 30
【考点8 勾股定理逆定理的应用】 37
【考点9 勾股定理的应用】 40
【考点10 线段的垂直平分线】 44
【考点11 角平分线】 48
【考点12 一元一次不等式】 54
【考点13 一元一次不等式组】 56
【考点14 图形的平移】 58
【考点15 图形的旋转】 62
【考点16 中心对称】 66
【压轴篇】 69
【考点17 等腰三角形与图形变换】 69
【考点18 等腰三角形中的动态变化】 79
【考点19 等腰三角形中的存在性问题】 86
【考点20 等腰三角形中的最值问题】 98
【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 104
【考点22 利用勾股定理构造图形解决问题】 110
【考点23 求立体图形的最短路径问题】 116
【考点24 不等式(组)的整数解问题】 119
【考点25 不等式组的有解或无解问题】 122
【考点26 利用不等式的基本性质求最值】 125
【考点27 方程与不等式（组）的实际应用】 128
【考点28 利用图形的变换设计图案】 134
【易错篇】
【考点1 等腰三角形】
【例1】（24-25八年级·河南新乡·期中）如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用证明，进而解答判断①由，进而得到．求得，求出．所以是等边三角形，即可判断②，进而根据全等三角形的性质可得结合等腰三角形的性质，即可判断③和④，即可求解．
【详解】解：，
．
，，
．
是边的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，故①正确
∵，
∴，
．
．
是等边三角形．故②正确
∵
∴
又∵
∴，故③正确，
连接，
∵
∴
又∵
∴垂直平分，故④正确
故选：A．
【变式1-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
先证明和全等得，，则，再根据得，由此可得出的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：5．
【变式1-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，求的度数．
(2)若面积为40，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【详解】（1）解：∵，
，
∵平分，
∴，
∵为高，
，
．
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式1-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
(1)点的坐标是__________；
(2)如图2，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
①若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
②若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)①当或时，是直角三角形；②或
【分析】（1）首先求出，然后得到，进而求解即可；
（2）①由题意，得，，得到，然后分两种情况讨论：当时和当时，根据题意分别求解即可；
②根据题意分两种情况讨论：当时和当时，然后根据等腰三角形的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）①由题意，得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴只有和两种情况，此时点P只能在线段上，
则；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上所述，当或时，是直角三角形；
②如图：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是等边三角形，
∴，即；
如图3：当时，
∵，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，即，
∴，
综上所述：当是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：或．
【点睛】此题考查了坐标与图形综合，含角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【考点2 等边三角形】
【例2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据、，可证是等边三角形，连接交于点，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可求的长度．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
．
故选： C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．
【变式2-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形，D，E分别为边的中点，连接；G为射线上的一个动点，以为边，并在其左侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，若，，与相交于点，则 ， °．
(2)如图2，当点G在的延长线上时，
①与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算的度数．
【答案】(1)
(2)①，证明见详解，②
【分析】（1）根据在等边三角形中，D，E分别为边的中点，得，又因为，是等边三角形，得，，运用勾股定理列式计算得，证明，即可作答．
（2）①先证明是等边三角形，再得出，则②因为，所以，则．
【详解】（1）解：∵在等边三角形中，D，E分别为边的中点，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
则在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
故答案为： ；
（2）解：①，证明见如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵在等边三角形中，D，E分别为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
②∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式2-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质证明，，，再结合全等三角形的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵等边三角形，等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，故A不符合题意；
∴，
∴，故B不符合题意；
同理可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故D不符合题意；
如图，延长交于，
∵为内动点，
根据现有条件无法得到，故C符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练的利用等边三角形的性质确定全等三角形是解本题的关键．
【考点3 含30度角的直角三角形】
【例3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，，
此时的值最小，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式3-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
由是等边三角形，则，，又是的中点，则，然后根据角所对直角边是斜边的一半得，，最后由线段和差即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
故选：．
【变式3-2】图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，若测量得时钟的长为，则时钟的另一边的长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【分析】此题考查了矩形的性质、钟面角、含角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．过点O作，垂足分别为点，根据题意得到，求出，进一步得到，则，即可求出答案．
【详解】解：过点O作，垂足分别为点，
由题意可得，，
∵，
∴，则，
∴，
在矩形中， ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【变式3-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且．
(1)如图，若，，求的度数；
(2)试探求与的数量关系；
(3)如图，若平分，于点，求证：．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和，三角形的外角，等边对等角，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理以及三角形的外角，角的和差关系进行求解即可；
（）在中，设，，则，结合，则，，又，则，最后由三角形外角性质和角度和差即可求解；
（）由，则，设，则，又平分，所以，然后求出，则，最后由含度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：与的数量关系是：，
理由如下：在中，设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵平分，
∴，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【考点4 直角三角形全等的判定与性质】
【例4】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
连接，过作于，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：连接，过作于，
平分，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
与的差为，
，
，
故选：A
【变式4-1】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等．
【答案】4或8/8或4
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
①当时，
在和中，
，
∴，
∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，
∴，
所以运动时间为秒；
②当时，
在和中，
，
∴，
∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，
∴，
所以运动时间为秒；
综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等．
故答案为：4或8．
【变式4-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，．
(1)求证：；
(2)若，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意得到，然后证明，即可得到；
（2）根据题意得到为的中线，推出，然后得到，求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，， ，
，
；
（2）解：，
为等腰三角形，
由（1）知，
∴，
即为的平分线，
为的中线，
，
在中
，
，
∵，，
，
，
为中线，
，
的面积为．
【变式4-3】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质求出，根据角平分线性质求出，即可证明，即可得出答案；
（2）证明，推出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接和，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
，
即．
【考点5 勾股定理与网格】
【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算．此题为了最大化种植苹果树的数量，同时满足每两棵苹果树之间的距离都要大于2米的要求，我们采用隔点种植的方法，在横纵方向，每行每列最多能种植3棵苹果树，因两棵树之间的距离最小为3米，而试验田的边长为7米，所以最多可以种植3棵苹果树，满足要求，即可求出答案．
【详解】解：在的正方形网格田中，采用隔点种植的方式，每行每列最多能种植3棵苹果树,小正方形的对角线长度为 ，最小长方形的对角线长度为，均满足大于2米的要求，
如图，
因此，这块试验田最多可种植棵苹果树，
故答案为：
【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．
(1)画一个三边长分别为4，，的三角形；
(2)画一个腰长为的等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形；
（2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形
【详解】（1）解：，，
如图，即为边长分别为4，，的三角形，
（2）解：，
如图，即为腰长为的等腰直角三角形
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，取格点E，F，连接，利用勾股定理证明是等腰直角三角形，得出，根据格点的性质推出，得到，即即可求解．
【详解】解：如图，取格点E，F，连接，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由格点的性质得：，
，
，
故选：D．
【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
【答案】2
【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长．
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
的面积，
，
．
故答案为：2．
【考点6 利用勾股定理求值】
【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：∵长方形中，，，
∴，
∵将沿折叠，点B落在处，与交于E，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形，为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
,
∴，
∴，即，
∴，即，
故选：D．
【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．
【答案】17
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
【详解】解：∵，
由勾股定理得，
故答案为：17．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键．
（1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理求出，再求出，再根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【考点7 赵爽弦图】
【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．
(1)类比“弦图”，证明定理
小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．
因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证．
善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．
(2)利用“弦图”，割拼图形
如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．
(3)构造“弦图”，应用计算
如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)作图见解析，
(3)9
【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示；
（2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形；
（3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解．
【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样，
设梯形的面积为，则
，
又，
，
．
（2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形．
，
（3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连，
，
，
，
．
．
又，，
．
．
又是的中点，
．
．
，
，
的中点为，的中点为，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键．
【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到．
【详解】解：由题意得，
∵正方形的面积为，
∴，
∵阴影部分的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴(负值已舍)，
∴，
故选：C．
【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解．
【详解】解：如图，由题意得，
∴（负值已舍），
如图，，设，，则，
由题意得，
∴，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
解得，
如图，，设点C到的距离为，
∴，即，
∴，
∴点C到的距离为，
故答案为：．
【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）．
（1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ；
（2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，图形面积的几何意义与代数式的变形．掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出和的等式，即可得到；
（2）求出，，之间的关系式，从而求得面积比．
【详解】解：（1）设， ，
∵若的面积为，小正方形的面积为，
∴，，
∴，
∵，
∴
故答案为：；
（2）∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米．
【答案】/
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．
【详解】解：
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴，解得x=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．
【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离．
(1)连接，则是__________三角形，请写出推理过程．
(2)点C到的距离是__________．
【答案】(1)直角，见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．
（1）过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：过点作于点，则的长即点到的距离，
在中，
∵，，，
，，
，
为直角三角形；
（2），
，即，
．
【考点9 勾股定理的应用】
【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【答案】(1)
(2)万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可；
（2）由的面积求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
答：公路的长度为；
（2），
，
，
，
∴修建林荫小道需要的费用为万元．
【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺．
【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案；
（2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺；
故答案为：5，1；
（2）设芦苇长EG=AG=x尺，
则水深FG=（x-1）尺，
在Rt△AGF中，
52+（x-1）2=x2，
解得：x=13，
∴芦苇长13尺．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．
【变式9-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，．
(1)求的距离，（取）
(2)试判断此车是否超过了的限制速度？
【答案】(1)
(2)此车超过的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答；
（2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴,
∴．
（2）解：小车的速度为：
∴此车超过的限制速度．
【变式9-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
【答案】19米
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D，
由题意可得：，
故，
∴，
则，
故，
答：树原来的高度19米．
【考点10 线段的垂直平分线】
【例10】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在中，为钝角，为的平分线．
(1)尺规作图：在上作点，并连接，使得（要求：不与作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，在边上有一点（不与点，重合），连接，，求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）作线段的垂直平分线交于点E，连接，点E即为所求；
（2）证明，推出可得结论．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
；
（2）证明：由作图可知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段．
【变式10-1】如图，在中，．作，点A在内，点D在上，．若D为的中点，且，则 （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，进而根据三角形的内角和定理求出．
【详解】如图，连接．
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式10-2】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和等角对等边，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据题意证明，得到点、在线段的垂直平分线上，再根据垂直平分线的性质得到答案即可．
【详解】证明： ，
，
．
．
点、在线段的垂直平分线上．
垂直平分．
．
【变式10-3】（24-25八年级·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键．
（1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答；
（2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答．
【详解】（1）解： 垂直平分，
，
，
，
为角平分线
；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点
，，为角分平线，
，
，
，
， ，且，
，
的面积为12．
【考点11 角平分线】
【例11】（24-25八年级·湖北荆州·期中）如图，在中，，是的外角．
(1)求证：．
(2)利用尺规作图分别做出，的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若，求的度数．
(3)连接，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
(3)见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理与外角的性质，尺规作图——作角平分线，角平分线的性质及判定．
（1）根据三角形的内角和定理与邻补角互补即可证明；
（2）根据尺规作图作角平分线的方法即可作图．由角平分线得到， ，根据三角形外角的性质得到即可解答；
（3）过点F作于点M，于点N，于点H，根据角平分线的性质得到，，从而，根据角平分线的判定即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
，
∴．
（2）解：所求图形，如图所示．
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
，
．
（3）证明：过点F作于点M，于点N，于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
【变式11-1】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（ ）
A．13 B．15 C．26 D．30
【答案】B
【分析】本题主要考查作图-基本作图、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
如图：过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过点G作于点H，
由作图可得，为的平分线，
∵，
∴，
∴的面积为．
故选：B．
【变式11-2】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】对于（1），作，先根据角平分线的性质定理得，再由折叠可得平分，进而根据角平分线的性质定理得，
即可得，最后根据角平分线的判定定理得出结论；
对于（2），连接，先根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可知是等边三角形，再证明，然后根据求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，过点D作，垂足分别为M，N，G，
∵于点H，
∴平分．
∵，
∴．
由折叠可得，即平分．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点D在的角平分线上，
∴平分；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵，
∴，
∴
，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，折叠的性质，准确的作出辅助线是解题的关键．
【变式11-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/63度
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，
，，，
平分，
平分，，，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【考点12 一元一次不等式】
【例12】关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围．
【详解】解：
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得．
由题意可知，
解得．
故答案为：
【变式12-1】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得，
∴原不等式为，
解得．
故选：D．
【变式12-2】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：．
关于的方程的解是负数，
，
解得．
故选：B．
【变式12-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得．
【详解】解：，
，
，
；
，
，
，
，
；
∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立，
∴，
解得，
故选：B．
【考点13 一元一次不等式组】
【例13】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
【变式13-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
，
解得：，
故选：B．
【变式13-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
不等式组的解集为，
，
故选：A．
【变式13-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故选：B．
【考点14 图形的平移】
【例14】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点为，
向右平移m个单位，得到点的坐标为，
由题意，点落在轴上，
解得．
故答案为：．
【变式14-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解决本题的关键．
根据平移的定义判断即可．
【详解】解：根据平移的定义，平移前后的图形形状、大小完全一样，仅位置不一样，那么D符合题意．
故选：D．
【变式14-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知在中，，把沿方向平移得到．
(1)图中与相等的角有个，分别是_______________；
(2)图中的平行线共有组，分别是是_______________；
(3)直接写出的值．
【答案】(1)3，；
(2)2，、；
(3)1：2：3
【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意结合图形解题的思想．
（1）根据平移前后的两个图形的对应角相等可以得到；
（2）根据平移前后的两对对应点的连线互相平行可以得到；
（3）利用平移的性质求得有关线段的长，然后求其比值即可．
【详解】（1）解：∵把沿方向平移得到，
，
∴有3个，分别是；
（2）解：根据（1）中原理可得、
故有2对，、，
（3）解：∵沿方向平移，
【变式14-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点 ，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
即到和的距离的和
如图所示，作关于轴的对称点
∴ 的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．
【考点15 图形的旋转】
【例15】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与旋转，过点作轴，过点作，交轴于点，证明，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：过点作轴，过点作，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转至，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式15-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A．点O， B．点O， C．点O， D．点B，
【答案】A
【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质解答即可，熟练掌握旋转的定义及性质是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O，，
故选：A．
【变式15-2】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ．
【答案】 2.5 6.5
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，当在延长线上时，取最大值．
【详解】解：连接，如图：
将绕顶点顺时针旋转得到，
，，
为的中点，
，
，为中点，
，
在中，，
当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，
如图：
的最小值为，
同理，当在延长线上时，取最大值，此时，
的最大值为，
故答案为：2.5；6.5
【变式15-3】（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到 依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等腰三角形的性质、图形的规律等知识点，发现各点坐标的变化规律是解题的关键．根据题意可以求得的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，，从而发现其中的变化的规律，然后根据规律即可解答．
【详解】解：如图：作轴于H，
∵点，，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴的纵坐标为1，，
∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，
∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，
∴，
当时，．
故答案为：．
【考点16 中心对称】
【例16】（24-25八年级·河北邯郸·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征以及两点间距离公式，解题的关键是先根据原点对称性质求出点坐标，再利用距离公式计算长度．
先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，再代入两点间距离公式计算的长度．
【详解】因为点与点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横，纵坐标都互为相反数，可得，即．
根据两点间距离公式，其中，则：
，
所以长为10．
故答案为：10．
【变式16-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹．用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式16-2】（24-25八年级·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点坐标；
(2)计算关于原点对称的点和点之间的距离．
【答案】(1)图见解析，，，
(2)
【分析】本题考查了关于原点对称的点、勾股定理，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．
（1）根据原点对称的定义，作出关于原点对称的，再根据坐标系写出各顶点坐标即可；
（2）先利用勾股定理求出的长，再由对称性可得，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
由坐标系可得，，，；
（2）解：由勾股定理得，，
，
关于原点对称的点和点之间的距离为．
【变式16-3】（2024八年级·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步，
故答案为：．
【压轴篇】
【考点17 等腰三角形与图形变换】
【例17】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点 ，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
即到和的距离的和
如图所示，作关于轴的对称点
∴ 的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．
【变式17-1】（24-25八年级·四川自贡·期中）如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
在和中 ，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴ 故④错误；
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当时，，
则，
即，
∵与不一定垂直，
∴不一定等于，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②③，
故选：.
【变式17-2】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理得，，由翻折后，点A始终落在边上，可得，即，，可求，进而可得，然后作答即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∴，
如图，作于，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵翻折后，点A始终落在边上，
∴，即，，即，
解得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识．熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化是解题的关键．
【变式17-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究．
【操作探究】
（1）和都是等腰直角三角形，，，．
如图，当点是上一点时， ；
如图，当点在延长线上时，求的长；
【迁移探究】
（2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（） ； ；（）或或．
【分析】（）由和都是等腰直角三角形，则，，，通过角度和差可以得到，再证明，所以通过性质可求，最后由勾股定理即可求解；
连接，由和都是等腰直角三角形，则，，，通过角度和差可以得到，再证明，所以通过性质可求，最后由勾股定理即可求解；
（）分当在左侧，且时，当在左侧，且时，当在左侧，且时三种情况分析求解即可；
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键。
【详解】解：（）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
如图，连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
（）如图，当在左侧，且时，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
如图，当在左侧，且时，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴；
如图，当在左侧，且时，
由上得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上可知：的长为或或．
【考点18 等腰三角形中的动态变化】
【例18】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）在等边三角形中，，点E在边上以的速度由点B向点C运动，同时，点F在边上由点C向点A运动，连接，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得与全等，则点F的运动速度是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的对应边相等的性质、等边三角形的性质等知识点，根据对应边分情况讨论是解题的关键．
设点E、F的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况求解即可．
【详解】解：∵在等边三角形中，，
∴，，
设点E、F的运动时间为，，
∴
若与全等．则有：
①当时，，解得：，
∴，
故点F的运动速度为：；
②当时，，
∴，解得：．
故点F的运动速度为．
所以，点F的运动速度为或．
故选：C．
【变式18-1】（23-24八年级·江西上饶·期末）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，是等腰三角形．
【答案】4或或16
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，分情况讨论是本题的关键，注意不要丢解．分三种情况：①当点在上时，如图，②当点在上时，，③当点在上时，，根据点的运动速度和路程可得结论．
【详解】解：①当点在上时，如图，
秒；
②当点在上时，，过作于，过作交 的延长线于点F，交于，
，
，
是矩形，
,
,
,
，
秒；
③当点在上时，，
，
秒；
综上，的值是4秒或秒或16秒时，是等腰三角形．
故答案为：4或或16．
【变式18-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知的顶点，且满足，点C在y轴上．
(1)直接写出A，B两点的坐标：A ，B ；
(2)如图1，当为等边三角形时，，点P为线段上的一个动点，以为边作等边，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q所经过的路径长；
(3)如图2点D为内一点，连接，，，当，，时，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据得到，得到，解答即可；
（2）取中点M，连接，证明即可求解；
（3）延长交y轴于点E，连接，利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：由得到，
解得，
故，，
故答案为：，．
（2）解：取中点M，连接，
∵M为中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∴，
又点P在C处时，
点P在O处时，点Q与点M重合
∴点Q所经过的路径长．
（3）解：延长交y轴于点E，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了实数的非负性，图形与坐标系，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式18-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，，点为线段上的点，连接，在右侧作等边，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当平分时，求的值；
(3)当点在线段上运动时，试探究线段，，的数量关系．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可求解；
（2）取边中点，连接，过点作于点，证明为等边三角形得，由，得，设，则，，，，证明得，再根据即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，；当时．
【详解】（1）证明： ，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：取边中点，连接，过点作于点，
在中，，，点为边中点，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
为等边三角形，
，
由此得出结论：所对的直角边等于斜边的一半，
，，
，，
设，则，，
平分，
，
又，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
，，
，
，
；
（3）解：
当时，易证：，
，
，，
，
当时，易证：，
，
，，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
【考点19 等腰三角形中的存在性问题】
【例19】（2021·浙江金华·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点D为的中点，一块的三角板底角与点D重合，并绕点D旋转，另外两边分别与和相交于点E，点F，在旋转过程中，恰好存在，此时，，则 ．
【答案】
【分析】过点D作于点G，通过角度等量代换，证明，进一步推导=2，在中，根据勾股定理求得长度，转化求得AB、BC长度，根据CF=BC-BF，即可求得CF的长度．
【详解】如下图：
过点D作于点G，
∵,，
∴，
又∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴=2，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的全等、等腰三角形的性质、勾股定理等相关知识点，根据条件，准确找到相关的条件是解题的关键点．
【变式19-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接．
(1)若，解决下列问题：
①当点E落在边上时，与的位置关系是__________；
②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)如图2，
①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值；
②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________．
【答案】(1)①；②见解析
(2)①或；②
【分析】（1）①根据题意得，，可得，得出；
②当时，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，结合已知可得为的中点，画出的垂直平分线，则垂足即可点D；
（2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，从而根据等腰三角形的性质讨论即可；
②当存在点E落在边上，，即，可得，点E可与点C重合，不与点D重合，即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
当点E落在上时，，
可得，
，
，即；
②
，
，
，
，
，
故是的中点，即点D的位置如图所示：
（2）①当为等腰三角形时，可分为三种情况，
当时，
，
，
，
，
解得：，
当时，
，
，
解得：（不符合题意），
当时，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
综上：或．
故或．
②当存在点E落在边上，，
即，
，
，点E可与点C重合，不与点D重合，
，
，
解得：，
综上所述：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，折叠，三角形内角和定理，平行线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键．
【变式19-2】（24-25八年级·江苏·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、．
(1)点B的坐标为 ；
(2)若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标；
(3)若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）求出，从而可得，由此即可得；
（2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得；
（3）分两种情况：①点在轴的正半轴上；②点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（2）解：如图1，设与交于点，
∵，，
∵，，，
∴，
∵点关于对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为．
（3）解：存在，求解过程如下：
∵点在轴上，
∴分以下两种情况：
①当点在轴的正半轴上时，
如图2，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为．
②当点在轴的负半轴上时，
如图3，过点作轴于点，
同理可证：，，
∴，
∴点的坐标为．
综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式19-3】（24-25八年级·福建莆田·期末）如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点．
(1)求证：；
(2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形；
(3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)存在，的度数为或
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解答；
（2）作交的延长线于Q，作于点M，证明得，从而，求出即可；
（3）分点C和点D在的同侧、点C和点D在的异侧两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：作交的延长线于Q，作于点M，则．
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴和是“等腰相伴”三角形；
（3）解：当点C和点D在的同侧时，如图，，，，
把沿翻折得，D的对应点为，延长交于H，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
∵，
∴垂直平分，
∴；
当点C和点D在的异侧时，如图，，，，
把沿翻折得，D的对应点为，延长交于H，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
∵，
∴垂直平分，
∴
∴．
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题考查了新定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，理解新定义是解答本题的关键．
【考点20 等腰三角形中的最值问题】
【例20】（20-21八年级·江苏连云港·期末）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（ ）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的三边关系等知识，证出最大时的长为是解本题的关键．由先等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形的三边关系得，则当、、共线时，有最大值，最大值是，然后由直角三角形斜边上的中线性质求出，即可解决问题．
【详解】解：取的中点，连接，如图所示：
，，
点是边中点，
，
，
连接，，有，
当、、共线时，有最大值，最大值是，
又为直角三角形，为斜边的中点，
，
，
即点到点的最大距离为14，
故选：C．
【变式20-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，根据旋转的性质得是等边三角形，得，根据等边三角形的性质得，，证明，得，继而得到，当点在上时取“”，此时取得最大值，即可得出结论．确定是解题的关键．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，即，
当点在上时取“”，此时取得最大值，
∴的最大值为．
故选：C．
【变式20-2】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
【答案】
【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．
【变式20-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】证明得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，则的最小值为的长．
【详解】解：∵，
∴，
过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，交轴于点，如图，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
又∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，如图，
∴，
∴，
∴，
当，，三点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长，
此时，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造全等三角形找到点的运动路径是解题的关键．
【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例21】（2024·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m 5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2 10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．
【变式21-1】（24-25八年级·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t=或2或
【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可；
（3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
（2）解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
（3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：
设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．
【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键．
【变式21-2】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
【答案】点的坐标为或
【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标
【详解】设点的坐标为，分两种情况：
①当点为直角顶点时，点在轴正半轴，
作轴于，轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示：
由勾股定理，得，
即，解得，
∴点的坐标为．
综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或．
【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式
【变式21-3】（24-25八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直．
【答案】或或．
【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．
【详解】解：设运动时间为
则，
当时，如图1所示，
过点作于点
，
中有，
，
中，，
中，，
，
，
解得：；
当时，如图2所示，
由可知，
又
；
当时，如图3所示，
过点作于点
由知，
中有，
中有，
，
又
当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．
【考点22 利用勾股定理构造图形解决问题】
【例22】（24-25八年级·广东江门·期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）；
；
，
满足的关系式为：．
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：，
，则的最小值，即为的最小值，
由三角形三边关系可得：，当三点共线时，
∴的最小值为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴米，
故答案为：；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．
【变式22-1】（2024·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解．
【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点，
设， ，
∴，，
∴在、、中，依次可得到：
，
，
，
∴
．
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．
【变式22-2】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】连接，过点A作交的延长线于点C，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式22-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米．
已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．
【答案】(1)7.5米
(2)能成功，见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点，
则米，米，，
∴（米），
∴（米）；
（2）能成功，理由如下：
假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接，
则米，
∴（米），
∴（米），
∵米，余线仅剩7.5米，
∴，
∴能上升9米，即能成功．
【考点23 求立体图形的最短路径问题】
【例23】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求
高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜
，，，
故选：D．
【变式23-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了几何体截面图、垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先分析出将裁剪后的几何体表面展开，可得是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点，易得当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短，且垂直平分线，利用勾股定理和直角三角形的性质解得，的值，即可获得答案．
【详解】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点，
当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短，
此时，，
∴垂直平分线，
在中，，
∴，，
在 中，，
∴从顶点爬行到顶点的最短距离为．
故选：D．
【变式23-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．5 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：A．
【变式23-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，
；
如图，
；
如图，
；
，
∴它所行的最短路线的长为．
故答案为：．
【考点24 不等式(组)的整数解问题】
【例24】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】B
【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果．
【详解】解：由，可得：，
∵关于x的不等式组最多有2个整数解，
∴或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴，解得：；
解，得：，
∵方程的解为非正数，
∴，解得：，
综上：，
符合条件的的整数值为：，和为；
故选B．
【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键．
【变式24-1】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【详解】解：∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为－4＜x＜，
∵不等式组的所有整数解的和为－5，
∴不等式组的整数解为－3、－2或－3、－2、－1、0、1．
当不等式组的整数解为－3、－2时，有－2＜≤－1，m的取值范围为2≤m＜4；
当不等式组的整数解为－3、－2、－1、0、1时，有1＜≤2，m的取值范围为－4≤m＜－2．
故答案为：或
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定m的取值范围是解决本题的关键．
【变式24-2】（20-21八年级·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组有5个整数解，
∴，
解得，，
，
移项合并得，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
综上，，
∴的值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式24-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于的不等式有 个整数解；
（2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ；
（3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和．
【答案】 4 2 4
【分析】本题考查了一元一次不等式，不等式组的整数解问题，解一元一次方程，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接找出的范围内的整数即可；
（2）先求出不等式组的解集为，满足题意得，解方程即可；
（3）由题意得：，化简得到，由于和为常数，且为整数，分类讨论即可．
【详解】（1）解：在的范围内整数为，
∴有4个，
故答案为：4．
（2）解：
由①得：；
由②得：，
则不等式组的解集为：，
∵方程组恰有5个整数解，
∴，
解得：，
故答案为：2．
（3）解：由题意得：，
化简得：，
∵和为常数，且为整数，
∴只有或，
∴有，
∴有4组满足题意的和，
故答案为：4．
【考点25 不等式组的有解或无解问题】
【例25】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可
【详解】∵，
∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，
∵不等式组有解但没有整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．
【变式25-1】若不等式组无解，则不等式组的解集是中小学教育资源及组卷应用平台
期中易错题压轴题专项复习【28大题型】
（考试范围：第1~3章）
【北师大版】
【易错篇】 2
【考点1 等腰三角形】 2
【考点2 等边三角形】 3
【考点3 含30度角的直角三角形】 4
【考点4 直角三角形全等的判定与性质】 5
【考点5 勾股定理与网格】 6
【考点6 利用勾股定理求值】 8
【考点7 赵爽弦图】 9
【考点8 勾股定理逆定理的应用】 11
【考点9 勾股定理的应用】 12
【考点10 线段的垂直平分线】 13
【考点11 角平分线】 14
【考点12 一元一次不等式】 15
【考点13 一元一次不等式组】 16
【考点14 图形的平移】 16
【考点15 图形的旋转】 18
【考点16 中心对称】 19
【压轴篇】 20
【考点17 等腰三角形与图形变换】 20
【考点18 等腰三角形中的动态变化】 22
【考点19 等腰三角形中的存在性问题】 24
【考点20 等腰三角形中的最值问题】 25
【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 27
【考点22 利用勾股定理构造图形解决问题】 28
【考点23 求立体图形的最短路径问题】 29
【考点24 不等式(组)的整数解问题】 31
【考点25 不等式组的有解或无解问题】 31
【考点26 利用不等式的基本性质求最值】 31
【考点27 方程与不等式（组）的实际应用】 32
【考点28 利用图形的变换设计图案】 33
【易错篇】
【考点1 等腰三角形】
【例1】（24-25八年级·河南新乡·期中）如图，在中，，；是 边的中点，于， 于，以下四个结论：①；②是等边三角形；③是等腰三角形；④连接，垂直平分．其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ．
【变式1-2】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
(1)若，求的度数．
(2)若面积为40，，求的长．
【变式1-3】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
(1)点的坐标是__________；
(2)如图2，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
①若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
②若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
【考点2 等边三角形】
【例2】（24-25八年级·山西大同·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ．
【变式2-2】（24-25八年级·山西大同·期末）已知等边三角形，D，E分别为边的中点，连接；G为射线上的一个动点，以为边，并在其左侧作等边三角形，连接．
(1)如图1，若，，与相交于点，则 ， °．
(2)如图2，当点G在的延长线上时，
①与有怎样的数量关系？并证明你的结论．
②请计算的度数．
【变式2-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3 含30度角的直角三角形】
【例3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，若测量得时钟的长为，则时钟的另一边的长为 cm．（结果保留根号）
【变式3-3】（24-25八年级·浙江杭州·期末）在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且．
(1)如图，若，，求的度数；
(2)试探求与的数量关系；
(3)如图，若平分，于点，求证：．
【考点4 直角三角形全等的判定与性质】
【例4】（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25八年级·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等．
【变式4-2】（24-25八年级·山东聊城·期末）在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，．
(1)求证：；
(2)若，的面积为6，求的面积．
【变式4-3】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．
(1)求证：．
(2)求证：．
【考点5 勾股定理与网格】
【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树．
【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．
(1)画一个三边长分别为4，，的三角形；
(2)画一个腰长为的等腰直角三角形．
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
【考点6 利用勾股定理求值】
【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A． B． C． D．2
【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．
【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【考点7 赵爽弦图】
【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．
(1)类比“弦图”，证明定理
小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．
因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证．
善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．
(2)利用“弦图”，割拼图形
如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．
(3)构造“弦图”，应用计算
如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长．
【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ．
【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）．
（1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ；
（2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）．
【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米．
【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离．
(1)连接，则是__________三角形，请写出推理过程．
(2)点C到的距离是__________．
【考点9 勾股定理的应用】
【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，．
(1)求支渠的长度．（结果保留根号）
(2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？
【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
【变式9-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，．
(1)求的距离，（取）
(2)试判断此车是否超过了的限制速度？
【变式9-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．
【考点10 线段的垂直平分线】
【例10】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在中，为钝角，为的平分线．
(1)尺规作图：在上作点，并连接，使得（要求：不与作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，在边上有一点（不与点，重合），连接，，求证：垂直平分．
【变式10-1】如图，在中，．作，点A在内，点D在上，．若D为的中点，且，则 （用含的代数式表示）．
【变式10-2】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知：如图，，．求证：．
【变式10-3】（24-25八年级·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？
【考点11 角平分线】
【例11】（24-25八年级·湖北荆州·期中）如图，在中，，是的外角．
(1)求证：．
(2)利用尺规作图分别做出，的角平分线（不写做法保留作图痕迹），两条角平分线相交于点F．若，求的度数．
(3)连接，求证：平分．
【变式11-1】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（ ）
A．13 B．15 C．26 D．30
【变式11-2】（24-25八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，于点H，点D在上，且，将沿折叠得到，交于点E．
(1)求证：平分；
(2)求的度数．
【变式11-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ．
【考点12 一元一次不等式】
【例12】关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【变式12-1】若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点13 一元一次不等式组】
【例13】（24-25八年级·四川眉山·期末）若不等式组的解集为，则的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式13-1】（24-25八年级·广西贵港·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式13-2】（24-25八年级·山东聊城·期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【考点14 图形的平移】
【例14】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ．
【变式14-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．“滨滨”和“妮妮”的原型是2023年9月出生于黑龙江东北虎林园的两只可爱的小东北虎，“滨滨”名字取自“哈尔滨”，“妮妮”取自“您”的读音，两个名字寓意“哈尔滨欢迎您”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式14-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知在中，，把沿方向平移得到．
(1)图中与相等的角有个，分别是_______________；
(2)图中的平行线共有组，分别是是_______________；
(3)直接写出的值．
【变式14-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点15 图形的旋转】
【例15】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ．
【变式15-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A．点O， B．点O， C．点O， D．点B，
【变式15-2】（24-25八年级·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ．
【变式15-3】（24-25八年级·黑龙江鸡西·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到 依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ．
【考点16 中心对称】
【例16】（24-25八年级·河北邯郸·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则长为 ．
【变式16-1】（24-25八年级·山东济宁·期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹．用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列剪纸图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式16-2】（24-25八年级·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，．
(1)在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点坐标；
(2)计算关于原点对称的点和点之间的距离．
【变式16-3】（2024八年级·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次．
【压轴篇】
【考点17 等腰三角形与图形变换】
【例17】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式17-1】（24-25八年级·四川自贡·期中）如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④⑤
【变式17-2】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究．
【操作探究】
（1）和都是等腰直角三角形，，，．
如图，当点是上一点时， ；
如图，当点在延长线上时，求的长；
【迁移探究】
（2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长．
【考点18 等腰三角形中的动态变化】
【例18】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）在等边三角形中，，点E在边上以的速度由点B向点C运动，同时，点F在边上由点C向点A运动，连接，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得与全等，则点F的运动速度是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式18-1】（23-24八年级·江西上饶·期末）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，是等腰三角形．
【变式18-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知的顶点，且满足，点C在y轴上．
(1)直接写出A，B两点的坐标：A ，B ；
(2)如图1，当为等边三角形时，，点P为线段上的一个动点，以为边作等边，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q所经过的路径长；
(3)如图2点D为内一点，连接，，，当，，时，求的度数．
【变式18-3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，，点为线段上的点，连接，在右侧作等边，连接．
(1)当时，求证：；
(2)当平分时，求的值；
(3)当点在线段上运动时，试探究线段，，的数量关系．
【考点19 等腰三角形中的存在性问题】
【例19】（2021·浙江金华·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点D为的中点，一块的三角板底角与点D重合，并绕点D旋转，另外两边分别与和相交于点E，点F，在旋转过程中，恰好存在，此时，，则 ．
【变式19-1】（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图1，在等腰中，，，点D是边上一点（不与点A、C重合），连接，将沿翻折得，连接．
(1)若，解决下列问题：
①当点E落在边上时，与的位置关系是__________；
②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点D的位置（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)如图2，
①当点E落在边上，且为等腰三角形时，求的值；
②当点D在边上运动时，存在点E落在边上，则的取值范围是__________．
【变式19-2】（24-25八年级·江苏·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、．
(1)点B的坐标为 ；
(2)若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标；
(3)若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式19-3】（24-25八年级·福建莆田·期末）如图1，在和中，，，且，我们把和称为“等腰相伴”三角形，点和点为对应顶点．
(1)求证：；
(2)如图2，在四边形中，，为对角线，，，．若，求证：和是“等腰相伴”三角形；
(3)在中，，，在平面内是否存在点（，两点位于直线同侧），使和是“等腰相伴”三角形，且点和点为对应顶点．若存在，请画出图形，并求的度数；若不存在，请说明理由．
【考点20 等腰三角形中的最值问题】
【例20】（20-21八年级·江苏连云港·期末）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（ ）
A．12.5 B．13 C．14 D．15
【变式20-1】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式20-2】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
【变式20-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ．
【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例21】（2024·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【变式21-1】（24-25八年级·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
【变式21-2】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
【变式21-3】（24-25八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直．
【考点22 利用勾股定理构造图形解决问题】
【例22】（24-25八年级·广东江门·期末）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
【变式22-1】（2024·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式22-2】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号）
【变式22-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米．
已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．
【考点23 求立体图形的最短路径问题】
【例23】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（ ）
A． B． C． D．
【变式23-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式23-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．5 B． C． D．3
【变式23-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ．
【考点24 不等式(组)的整数解问题】
【例24】（22-23八年级·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【变式24-1】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－5，则m的取值范围为 ．
【变式24-2】（20-21八年级·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
【变式24-3】（23-24八年级·北京·期中）（1）关于的不等式有 个整数解；
（2）若关于的不等式组（为常数，且为整数）恰有5个整数解，则的取值为 ；
（3）若关于的不等式（和为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有 组满足题意的和．
【考点25 不等式组的有解或无解问题】
【例25】（2021·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为 ．
【变式25-1】若不等式组无解，则不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【变式25-2】关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
【变式25-3】从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件的m的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点26 利用不等式的基本性质求最值】
【例26】（20-21八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【变式26-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知非负数a，b，c满足条件，，设的最大值是m，最小值是n，则的值为 ．
【变式26-2】（20-21八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ．
【变式26-3】（23-24八年级·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ．
【考点27 方程与不等式（组）的实际应用】
【例27】（22-23八年级·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．
(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；
(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：
(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
【变式27-1】（23-24八年级·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
(2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
【变式27-2】某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
【变式27-3】（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务．
信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类．
信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元．
信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品．
任务1：求A奖品和B奖品的单价；
任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案；
任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案．
【考点28 利用图形的变换设计图案】
【例28】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【变式28-1】（23-24八年级·北京·期中）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．
【变式28-2】（22-23八年级·广东河源·阶段练习）亦姝家最近买了一种如图（）所示的瓷砖．请你用 块如图（）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（）、图（）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）
【变式28-3】（2023·吉林长春·模拟预测）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形．
(1)第一关：完成图4中的图案．
(2)第二关：完成图5中的图案．
1
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
