期末复习必考解答压轴题二十大题型总结
【北师大版】
【题型1 等腰三角形中的动点问题】 1
【题型2 等腰三角形中的最值问题】 3
【题型3 等腰三角形中的存在性问题】 5
【题型4 勾股定理在网格中的运用】 7
【题型5 勾股定理在折叠问题中的运用】 9
【题型6 由勾股定理构造图形解决实际问题】 11
【题型7 由勾股定理求最短距离】 14
【题型8 求一元一次不等式（组）中参数】 16
【题型9 解特殊不等式组】 17
【题型10 一元一次不等式（组）的应用】 19
【题型11 利用几何变换设计图案】 20
【题型12 利用拆项或添项进行因式分解】 22
【题型13 因式分解的应用】 24
【题型14 利用分式性质求值问题】 25
【题型15 与分式有关的材料题】 26
【题型16 由分式方程解的情况求值】 28
【题型17 分式方程的实际应用】 30
【题型18 与平行四边形有关的证明或求值】 31
【题型19 与平行四边形有关的线段或角度探究问题】 33
【题型20 与平行四边形有关的多解问题】 35
【题型1 等腰三角形中的动点问题】
【例1】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．
(1)在中， ， ；
(2)点P在边上运动，
①当时， ， ；
②当时，判断与的数量关系，并说明理由；
③当为等腰三角形时，直接写出的长．
【变式1-1】（24-25八年级·江苏南通·期中）（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：；
（2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：；
（3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．
【变式1-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，，．
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；
(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值．
【变式1-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知的顶点，且满足，点C在y轴上．
(1)直接写出A，B两点的坐标：A ，B ；
(2)如图1，当为等边三角形时，，点P为线段上的一个动点，以为边作等边，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q所经过的路径长；
(3)如图2点D为内一点，连接，，，当，，时，求的度数．
【题型2 等腰三角形中的最值问题】
【例2】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形．
(1)如图，若点在边上，交于点．
求证：；
当平分时，求证：．
(2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ．
【变式2-1】（24-25八年级·重庆开州·期末）已知，和都是等腰三角形，且，．
(1)如图1，若，点是上一点，连接，求证：；
(2)如图2，若，绕点旋转，经过的中点，点落在上，请探究、、之间的数量关系并给出证明；
(3)如图3，若，，点和点重合，连接，点为上一点，连接，，当面积的最大值时，请直接写出的最小值．
【变式2-2】（24-25八年级·重庆奉节·期末）在中，，点是边上的一点，连接．
(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，若，点在的延长线上，是边上一点，连接，，且，，求证：；
(3)如图3，是边上一点，连接，若，且，平分，，的面积为30，点M，N分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值．
【变式2-3】（24-25八年级·江苏淮安·期末）如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；
(1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数．
(2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由．
(3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长．
(4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______；
【题型3 等腰三角形中的存在性问题】
【例3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积（用含的代数式表示）；
(3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒．
(1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
(2)当秒时，的面积是11，求此时点的坐标；
(3)如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（24-25八年级·湖北荆门·期末）如图① ，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点．的长度分别为和，且满足．
(1)判断的形状；
(2)如图② ，在直线上取一点，连接，过两点分别作于，于，若，求的长；
(3)如图③ ，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系 写出你的结论并证明．
【变式3-3】（24-25八年级·云南昆明·期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．
(1)如图1，若，则______．
(2)如图2，点在延长线上，且．
①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若，求的长．
【题型4 勾股定理在网格中的运用】
【例4】（24-25八年级·广东云浮·期中）综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
【变式4-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为，，5，并直接写出这个三角形的面积．
【变式4-2】（24-25八年级·山东淄博·期中）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．
（1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．
（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．
【变式4-3】（24-25八年级·山西晋中·期末）问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．△ABC的面积是 ．
（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积 ．
【题型5 勾股定理在折叠问题中的运用】
【例5】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系；
②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：．
（3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度．
【变式5-1】（24-25八年级·广东佛山·期末）综合探究
直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在中，，，.
(1)尺规作图：如图1，在中，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)操作探究：在（1）的条件下，将沿着过点的直线折叠，使点落在三边所在直线上（顶点除外），画出示意图；
(3)迁移运用：
①如图2，若为边的中点，为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，当时，求的长；
②如图3，若点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，求的面积的最大值.
【变式5-2】（24-25八年级·四川成都·期末）在中，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的．
(1)如图1，当于点时，求证：；
(2)若，．
①如图2，当，，三点在同一条直线上时，求的长（用含的代数式表示）；
②连接，，当时，求的值．
【变式5-3】（24-25八年级·四川成都·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
【题型6 由勾股定理构造图形解决实际问题】
【例6】（24-25八年级·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【变式6-1】（24-25八年级·四川资阳·期末）已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°．
（1）如图,摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD线段AE 与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．（直接写出答案）
（2）如图,摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图,摆放△ACD和△BCE时，连接AE、DE．若有AE2=DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
【变式6-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x满足，求x的值．
【变式6-3】（24-25八年级·广西南宁·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【题型7 由勾股定理求最短距离】
【例7】（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【变式7-1】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，观察图形解答下面的问题：
(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______；
(3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
【变式7-2】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度；
路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度．
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子：
①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短；
②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短．
（2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？
（三）回顾反思
（3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？
【变式7-3】（24-25八年级·山东威海·期末）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【题型8 求一元一次不等式（组）中参数】
【例8】（24-25八年级·河南信阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
【变式8-1】（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（24-25八年级·四川南充·期末）阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．
解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
(1)解关于x的不等式．
(2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
(3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
【变式8-3】（24-25八年级·福建福州·期末）若点的坐标满足．
(1)若点的坐标为，求，的值；
(2)若点在第二象限，且符合要求的整数只有五个，求的取值范围；
(3)若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【题型9 解特殊不等式组】
【例9】（24-25八年级·福建泉州·期末）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例 1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为．
例 2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）解不等式：；
（3）解不等式：．
【变式9-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）记表示正数x四舍五入后的结果，例如
(1) =_ , =
(2)若,则x的取值范围是 ．
(3)若则x的取值范围是
【变式9-2】（24-25八年级·福建三明·期中）【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
【变式9-3】（24-25八年级·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值．
(1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值；
(2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值．
【题型10 一元一次不等式（组）的应用】
【例10】（24-25八年级·广东深圳·期末）根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
【变式10-1】（24-25八年级·浙江金华·期末）某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元．
(1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元．
(2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案．
【变式10-2】（24-25八年级·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元）
型 27000
型 12000
已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%．
(1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
【变式10-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【题型11 利用几何变换设计图案】
【例11】（24-25八年级·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
【变式11-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）在的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【变式11-2】（24-25八年级·重庆梁平·期末）在网格中画对称图形．
图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形
【变式11-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【题型12 利用拆项或添项进行因式分解】
【例12】（24-25八年级·广东江门·期中）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【变式12-1】（24-25八年级·安徽池州·期中）【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【变式12-2】（24-25八年级·陕西汉中·期中）阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)；
(2)．
【变式12-3】（24-25八年级·甘肃张掖·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
＝
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①﹣6a﹣7；
②．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①；
②的值．
【题型13 因式分解的应用】
【例13】（24-25八年级·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________．
【变式13-1】（24-25八年级·浙江宁波·期中）若两个正整数，满足为自然数，则称为的“级”数．例如，，则2为3的“11级”数．
(1)4是5的“______”级数；正整数为1的“______”级数（用关于的代数式表示）；
(2)是否存在的值，使得为的“级”数？若存在，请举出一组的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为小于100的正整数，且为的“100”级数，直接写出所有满足条件的的值．
【变式13-2】（24-25八年级·福建泉州·期中）阅读材料：
试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
解：设表示一个三位数，
则 ．
因为能被3整除，所以如果也能被3整除，那么就能被3整除．
(1)①一个四位数，如果能被9整除，试说明能被9整除；
②若一个五位数能被9整除，则 ；
(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是 (数字“1”除外)；
(3)由数字1至9组成的一个九位数(各数位上的数不重复)，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是 ．
【变式13-3】（24-25八年级·重庆大足·期末）已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；
此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
(2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．
【题型14 利用分式性质求值问题】
【例14】（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知，，，求的值．
【变式14-1】（24-25八年级·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足．
【变式14-2】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）已知、、为有理数，且，，，那么的值是多少？
【变式14-3】（24-25八年级·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数）
(1)当时，，求此时的值；
(2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示）
(3)当为整数时，求此时的值．
【题型15 与分式有关的材料题】
【例15】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【变式15-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解：由分母为，可设.
因为，
所以.
所以，解之，得.
所以
这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式.
问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
【变式15-2】（24-25八年级·江苏扬州·期中）阅读下列材料：
若，试求、的值．（其中、为常数）
解：等式右边通分，得
根据题意，得，解之得．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知（其中、为常数）求、的值；
(2)若对任意自然数都成立，则______，______．
(3)计算：______．
【变式15-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：，即
，．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，
根据材料回答问题：
(1)已知，则______．
(2)已知，求的值．
(3)解关于，的方程组．
【题型16 由分式方程解的情况求值】
【例16】（24-25八年级·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
【变式16-1】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为2，________．
(2)关于x的方程的两个解分别为2，_________．
(3)关于x的方程的两个解分别为，求的值．
【变式16-2】（24-25八年级·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”．
(1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”；
(2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a．
①求M所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值．
【变式16-3】（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值．
(2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值；
(3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值．
【题型17 分式方程的实际应用】
【例17】（24-25八年级·辽宁大连·期末）某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a＝0.8，m＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a、m的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【变式17-1】（24-25八年级·福建福州·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）；
②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）．
【变式17-2】（24-25八年级·山东泰安·期末）2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数．
【变式17-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)．
(1)扶梯在外面的部分有多少级．
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？
【题型18 与平行四边形有关的证明或求值】
【例18】（24-25八年级·北京·期中）已知中，于点E，．
(1)如图1，若平分交线段于点F．
①当，时，______，______；
②如图2，若，且，试探究线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图3，若点P为线段上一动点，，．连接，点Q是中点，且，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为______．（直接写出答案）
【变式18-1】（24-25八年级·辽宁锦州·期末）【模型建构】
如图1，已知线段，所在直线交于点O，其所夹锐角为．小明在学移之后，将图1中的线段，其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到．
【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在中，，，点D，E分别在，延长线上，且，，求证：．
方法一：过点E作，且，连接，，将证明，转化为证明；
方法二：过点C作，且，连接，，将证明，转化为证明．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在中，，E为上一点，D为延长线上一点，且，，连接交于点G，求的度数．
（3）如图6，在中，，D，E分别是边，上的点，且于点H，若，， ，请直接写出的长．
【变式18-2】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒．
(1)______，______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值．
(4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数．
【变式18-3】（24-25八年级·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．
(1)【观察发现】如图1，若，，，求的长；
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
【题型19 与平行四边形有关的线段或角度探究问题】
【例19】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期中）在中，，，延长交于点F，，交于点H．点M是边上的点．
（1）如图1，若点M与点G重合，，，求的长；
（2）如图2，若是的角平分线，连接，，求证：；
（3）如图3，若点M为的中点，作点B关于的对称点N，连接、、，请直接写出、、之间的角度关系．
【变式19-1】（24-25八年级·广西玉林·期末）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由；
【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值．
【变式19-2】（24-25八年级·广东佛山·期末）综合探究
综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
问题初探：
（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；
迁移探究
（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；
拓展探索
（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由
【变式19-3】（24-25八年级·四川成都·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当时时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
【题型20 与平行四边形有关的多解问题】
【例20】（24-25八年级·福建福州·期中）如图，中，，，，以边为斜边向左上方作直角三角形，其中，．
(1)求的长；
(2)以为边作，使点，分别落在的边上，请画出示意图，并求出的长．
【变式20-1】（24-25八年级·吉林长春·期中）在中，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上运动时，直接写出的长为________，________．（用含代数式表示）
(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；
(3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．
【变式20-2】（24-25八年级·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与一次函数的图像交于点C，点D是直线上一个动点（不与C、O重合），过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接．
(1)填空：________；
(2)连接，若四边形是平行四边形，求的面积；
(3)将沿直线翻折得到，点E落在点F处．若点F恰好在y轴上，求点D的坐标．
【变式20-3】（24-25八年级·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标．
1期末复习必考解答压轴题二十大题型总结
【北师大版】
【题型1 等腰三角形中的动点问题】 1
【题型2 等腰三角形中的最值问题】 12
【题型3 等腰三角形中的存在性问题】 24
【题型4 勾股定理在网格中的运用】 34
【题型5 勾股定理在折叠问题中的运用】 40
【题型6 由勾股定理构造图形解决实际问题】 55
【题型7 由勾股定理求最短距离】 63
【题型8 求一元一次不等式（组）中参数】 69
【题型9 解特殊不等式组】 76
【题型10 一元一次不等式（组）的应用】 81
【题型11 利用几何变换设计图案】 86
【题型12 利用拆项或添项进行因式分解】 90
【题型13 因式分解的应用】 94
【题型14 利用分式性质求值问题】 100
【题型15 与分式有关的材料题】 105
【题型16 由分式方程解的情况求值】 112
【题型17 分式方程的实际应用】 118
【题型18 与平行四边形有关的证明或求值】 123
【题型19 与平行四边形有关的线段或角度探究问题】 135
【题型20 与平行四边形有关的多解问题】 146
【题型1 等腰三角形中的动点问题】
【例1】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．
(1)在中， ， ；
(2)点P在边上运动，
①当时， ， ；
②当时，判断与的数量关系，并说明理由；
③当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)，45
(2)①15，60；②，理由见解析；③或3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及分类等知识，解决问题的关键是分类讨论．
（1）根据勾股定理求得，根据“等角对等边”得出的值；
（2）①根据，，得出，进一步得出结果；
②可证得，从而得出；
③分三种情形讨论：当时，可推出，从而得出，，进一步得出结果；当时，可得出，进一步得出结果；当时，点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：，45；
（2）解：①∵，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：15，60；
②，理由如下：
由①知，，
∵，，
∴，
∴；
③分以下三种情况：
如图，
当时，
由②知，，，
∴，
∴，，
∴；
如图，
当时，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
，
∴，，
∴点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在，
综上所述：或3．
【变式1-1】（24-25八年级·江苏南通·期中）（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：；
（2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：；
（3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质，等边三角形性质，全等三角形判定和性质，是解题的关键．
（1）证明，可得，即得；
（2）在上截取，连接，证明和，可得，得，即可得；
（3）在上截取，连接，证明，根据是等边三角形，证明，可得，得，即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3），理由如下：
如图3，在上截取，连接，
∵，且，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在中，，，．
(1)如图1，求的长；
(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；
(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值．
【答案】(1)10
(2)；见解析
(3)或
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键；
（1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解；
（2）先证明，进而证明，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据勾股定理得出结论即可；
（3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解．
【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
解得：，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：；理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则，
①当点在线段上时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，则，
同理可证，
∴，
∴，
∴，
综上，当点到直线的距离等于6时，或．
【变式1-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知的顶点，且满足，点C在y轴上．
(1)直接写出A，B两点的坐标：A ，B ；
(2)如图1，当为等边三角形时，，点P为线段上的一个动点，以为边作等边，在点P从点C到点O的运动过程中，求点Q所经过的路径长；
(3)如图2点D为内一点，连接，，，当，，时，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据得到，得到，解答即可；
（2）取中点M，连接，证明即可求解；
（3）延长交y轴于点E，连接，利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：由得到，
解得，
故，，
故答案为：，．
（2）解：取中点M，连接，
∵M为中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵和为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∴，
又点P在C处时，
点P在O处时，点Q与点M重合
∴点Q所经过的路径长．
（3）解：延长交y轴于点E，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了实数的非负性，图形与坐标系，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【题型2 等腰三角形中的最值问题】
【例2】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形．
(1)如图，若点在边上，交于点．
求证：；
当平分时，求证：．
(2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ．
【答案】(1)见解析 见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）可证得，，从而；
延长，交的延长线于点，可证得，从而，可证得，从而，从而；
（2）当时，最小，延长，交于，可证得，从而，可证得，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
如图，
延长，交的延长线于点，
由得，，，
，，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，
当时，最小，
，
延长，交于，
由（1）知，，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
线段的最小值为，
故答案为：．
【变式2-1】（24-25八年级·重庆开州·期末）已知，和都是等腰三角形，且，．
(1)如图1，若，点是上一点，连接，求证：；
(2)如图2，若，绕点旋转，经过的中点，点落在上，请探究、、之间的数量关系并给出证明；
(3)如图3，若，，点和点重合，连接，点为上一点，连接，，当面积的最大值时，请直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)6
【分析】（1）证明即可由全等三角形的性质得出结论；
（2）过点B作于F，利用等腰三角形三线合一的性质证得，，，，得出，即可得出．
（3）当面积的最大值时，此时，可证得、是等边三角形，求得，当点P与点A重合时，最小，最小值为，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：，
证明：过点B作于F，如图2，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，经过的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）解：∵，，，点和点重合，
∴
当面积的最大值时，此时，
∵，
∴，
∵，
∴、是等边三角形，
∴，
∵点为上一点，
∴，
∴当点P与点A重合时，最小，最小值为，
∴当面积的最大值时，最小值．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，最短路径问题．熟练掌握等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-2】（24-25八年级·重庆奉节·期末）在中，，点是边上的一点，连接．
(1)如图1，若，，求的长度；
(2)如图2，若，点在的延长线上，是边上一点，连接，，且，，求证：；
(3)如图3，是边上一点，连接，若，且，平分，，的面积为30，点M，N分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)4.8
【分析】（1）易得是等边三角形，作于E点，根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求得，进而可求得．
（2）易得是等边三角形，由可得．由等边三角形的性质和三角形外角定理可得．又由可得．由可得，则可得， ．过E点作交于G点，则可得是等边三角形．再由可得，则可得，进而可得．
（3）由题得， ，．由勾股定理得，由平分可得射线和射线关于射线对称，因此M点关于的对称点在上．由垂线段最短可得当D，N，三点共线，且时，的值最小，最小值为的长，由面积法可求得的长，即可得的最小值．
【详解】（1）解：，，
，
是等边三角形，
作于E点，
则，，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
是等边三角形，
，，
，
，
又，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
过E点作交于G点，
则，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，，
，，
，
，
，
，
∵平分，
∴射线和射线关于射线对称，
作M点关于的对称点，
则点在上．
连接，则，
当D，N，三点共线，且时，的值最小，最小值为的长，
由得，
，
，
解得，
∴的值最小为4.8．
【点睛】本题等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及利用垂线段最短求两条线段和的最小值．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2-3】（24-25八年级·江苏淮安·期末）如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；
(1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数．
(2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由．
(3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长．
(4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______；
【答案】(1)
(2)相等，理由见解析
(3)4
(4)
【分析】（1）证明，由对应角相等即可得出；
（2）过E作交的延长线于G，过D作于F，证明，则，从而可得与面积相等；
（3）过点E作交的延长线于点N，由点F是中点可证明，则，再证明，可得；由与面积相等及等积关系可求得的长；
（4）的面积为定值，且与面积相等，则的面积最大时，四边形的面积最大；由于为锐角，过D作于M，则，当点M与点C重合时，最大，从而可求得四边形面积的最大值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∵、是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：面积相等，
理由如下：
过E作交的延长线于G，过D作于F，如图，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即与面积相等；
（3）解：过点E作交的延长线于点N，如图，
则，；
∵点F是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵与面积相等
∴，
即，
∴；
（4）解：∵，，
∴，
即的面积为定值，
由（2）知，与面积相等，
∴当的面积最大时，四边形的面积最大；
过D作于M，如图，
∴，
当点M与点C重合时，最大，此时，
而这时，
∴四边形面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余关系，四边形内角和为等知识，其中全等三角形的判定与性质的应用是解题的关键．
【题型3 等腰三角形中的存在性问题】
【例3】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线交直线于点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积（用含的代数式表示）；
(3)当的面积等于1时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定与性质等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）设直线的解析式为，把，代入得：，解得，故直线的解析式为；
（2）求出，，可得；
（3）求出，设，有，，，分三种情况列方程可得答案．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：在中，令得，
，
是直线上一动点，且在点上方，纵坐标为，
，
，
的面积为；
（3）解：在轴上存在点，使是等腰三角形，理由如下：
的面积等于1，
，
解得，
，
设，
，
，，，
①当时，，
解得或；
或；
②当时，，
解得；
；
③当时，，
方程无实数解；
综上所述，的坐标为或或．
【变式3-1】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图①，在等腰直角中，，，在轴上，，点是轴上一动点，当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴的正方向运动，点为轴上一点，连接、、，设运动时间为秒．
(1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
(2)当秒时，的面积是11，求此时点的坐标；
(3)如图②，当点运动到轴的正半轴时，是否存在以点、、为顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)存在，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握分类讨论思想的运用．
（1）如图1，过点作于，由等腰直角三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2，②当点在轴的负半轴时，如图3，根据三角形的面积差列方程可解答；
（3）分三种情况：如图4和图5和图6，作辅助线构建全等三角形即可解答．
【详解】（1）解：如图1，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
，
连接，
分两种情况：①当点在轴的正半轴时，如图 2 ，
∵，
，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
②当点在轴的负半轴时，如图3，
∵，
∴，
∴，
∴（不符合题意，舍）；
综上，点的坐标为；
（3）解：存在，
分三种情况：①如图4，，
过点作轴于，过点作于，过点作于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
此时点；
②如图5，，
过点作轴于，过点作于，过点作于，则，
同理得：，
，
，
，
，
，
；
③如图6，，
过点作轴于，过点作于，过点作于，则，
同理得：，
，
，
，
，
，
；
综上，，点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为．
【变式3-2】（24-25八年级·湖北荆门·期末）如图① ，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于两点．的长度分别为和，且满足．
(1)判断的形状；
(2)如图② ，在直线上取一点，连接，过两点分别作于，于，若，求的长；
(3)如图③ ，为上一动点，以为斜边作等腰直角，为的中点，连接，试问：线段是否存在某种确定的数量关系和位置关系 写出你的结论并证明．
【答案】(1)为等腰直角三角形
(2)
(3)，且，证明见解析
【分析】本题考查完全平方差公式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质相关知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）已知，化简可得，然后可得为等腰直角三角形；
（2）证明，求出、、，然后数形结合求出的值；
（3）延长到点，使，连接、、、，如图所示，利用三角形全等的判定与性质求证即可得到答案．
【详解】（1）解：等腰直角三角形．
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
；
（3）解：且，
证明如下：
延长到点，使，连接、、、，如图所示：
在和中，
．
，
，，则，
又，，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，且．
【变式3-3】（24-25八年级·云南昆明·期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．
(1)如图1，若，则______．
(2)如图2，点在延长线上，且．
①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若，求的长．
【答案】(1)；
(2)①，理由见解析；②6．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据角度计算可得，由折叠的性质可得，根据即可求解；
（2）①连接，在上取一点，使，证明，是等边三角形，即可得到；
②先证明，C，P三点共线，结合①的结论求解即可．
【详解】（1）解：
理由：是等边三角形，
，
，
把沿对折，得到，
，
，
；
（2）解：①
理由如下：
连接，在上取一点，使，如图，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即；
②如图
由①可得，
，
由（1）可知，
把沿对折，得到，
，
，
，
，
，
三点共线，
把沿对折，得到，
，
，
，
，
，
由①可得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型4 勾股定理在网格中的运用】
【例4】（24-25八年级·广东云浮·期中）综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
(3)拓展应用：求代数式：的最小值．
【答案】(1)
(2)图见解析，
(3)5
【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可；
（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
（3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
（2）的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：的面积是；
（3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解．
【变式4-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为，，5，并直接写出这个三角形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，5
【分析】（1）根据勾股定理得到3、4、5得等腰三角形的腰为整数5，再连接图形即可得到满足条件的等腰三角形；
（2）根据勾股定理得到：直角边为1与2的斜边为，直角边为2与4的斜边为2，再连接图形即可得到满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形再利用面积公式求出答案即可.
【详解】解：（1）如图1所示，即为所求：
（2）如图2所示，即为所求：
∵，
∴△DEF是直角三角形，
∴.
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟练掌握一些无理数线段的作图方法是解题的关键.
【变式4-2】（24-25八年级·山东淄博·期中）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．
（1）你能在方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．
（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．
【答案】（1）能，作图见解析；（2）能，作图见解析；（3）5，作图及说明见解析
【分析】（1）画出边长为的正方形即可；
（2）结合例题，画出边长为的正方形即可；
（3）在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，然后拼成大正方形即可．
【详解】解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；
（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；
（3）如图所示，
在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，
DM、FM即为裁剪线，
将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG重合，得到正方形DMFH，
∴剪出的块数最少为5块，
故答案为：5．
【点睛】本题考查图形的拼接，全等三角形的判定与性质，勾股定理，确定正方形的边长是解题的关键．
【变式4-3】（24-25八年级·山西晋中·期末）问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．△ABC的面积是 ．
（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积 ．
【答案】（1），，，；（2）图见解析；7．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC，AC，理由分割法求出△ABC的面积．
（2）模仿（1）中方法，画出△PMN，利用分割法求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，AB＝＝＝，BC＝＝＝，AC＝＝＝，
S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣﹣2＝，
故答案为，，，．
（2）△PMN如图所示．
S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
【题型5 勾股定理在折叠问题中的运用】
【例5】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系；
②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：．
（3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）选择豆豆（或乐琪）同学的证明方法，证明见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明得出是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证；
（2）延长到点，使，连接，延长证明,进而根据等腰直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理即可得证；
（3）将沿折叠得到，得出三点共线，是等腰直角三角形，则，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解．
【详解】（1）选择豆豆同学的证明方法
证明：∵，平分，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
乐琪同学的证明方法
证明：∵，平分，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：延长到点，使，连接，延长，
∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
（3）如图所示，将沿折叠得到，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图所示，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，
∵，则，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴ ，则，
在中，，则，
∴，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式5-1】（24-25八年级·广东佛山·期末）综合探究
直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在中，，，.
(1)尺规作图：如图1，在中，作的角平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)操作探究：在（1）的条件下，将沿着过点的直线折叠，使点落在三边所在直线上（顶点除外），画出示意图；
(3)迁移运用：
①如图2，若为边的中点，为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，当时，求的长；
②如图3，若点是边的中点，是边上一点，将沿折叠至，点的对应点为，连接、，求的面积的最大值.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①的长为3或；②
【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧交、于、两点，再分别以、为圆心，大于为半径画弧交于一点，作射线交于点；
（2）分两种情况：点落在边上；点落在边上；分别画出图形即可；
（3）①由折叠的性质可得，，，结合得出点、、在一条直线上，由点是边的中点得出，由勾股定理得出，然后分两种情况及利用勾股定理即可得出答案；②由勾股定理可得，由点是边的中点，可得，，由折叠的性质可得，，从而得出，设点到的距离为，则，当时，点到的距离最大，为，由此即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，作于，
，平分，，
，
，
，
不是的中点，点不能落在边上，
当沿直线折叠时，此时点落在边上，得到的图形如图所示，
；
当点落在边上时，如图所示：
；
（3）解：①第一种情况，如图，
， 为射线上一点，，
，
将沿着翻折得到，点的对应点为，
，，，
，
点、、在一条直线上，
为边的中点，，
，
，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
；
第二种情况，如图所示：
此时点F在上，由第一种情况可知：三点共线，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，
解得：，
∴；
综上所述：的长为3或；
②在中，，，，
，
点是边的中点，
，
，
将沿折叠至，
，，
，
，
设点到的距离为，则，
，
如图，当时，点到的距离最大，为，
， 的面积的最大值为：．
【点睛】本题主要考查了作图—作角平分线、角平分线的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【变式5-2】（24-25八年级·四川成都·期末）在中，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的．
(1)如图1，当于点时，求证：；
(2)若，．
①如图2，当，，三点在同一条直线上时，求的长（用含的代数式表示）；
②连接，，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①，②或
【分析】（1）由得出，根据折叠的性质得出，进而得出，根据等角对等边即可得证；
（2）①设，则，在中，勾股定理得出，进而根据折叠的性质，以及勾股定理得出的长为；
②方法一：情形①过点在直线上方时，过作交的延长线于点，在中，，，根据勾股定理得出，证明，进而得出，根据，即可求解；情形②当点在直线下方时．过作交的延长线于点．同①，可证，在中，，．得出，勾股定理得出，进而即可求解；
方法二：①当点在直线上方时，取的中点，连接，得出过作于点，②当点在直线下方时．
取的中点，连接，过作交的延长线于点，同理可得，，进而即可求解
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵将沿直线翻折，得到对应的
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）①设，则．
在中，．
∵将沿直线翻折，得到对应的，
∴，．
∴．
即．
解得．
即的长为．
②方法一：情形①过点在直线上方时．
过作交的延长线于点．
∴．
∴，．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
解得．
∴，．
∴，．
又∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
情形②当点在直线下方时．
过作交的延长线于点．
同①，可证．
∴．
∴
∴是等腰直角三角形．
在中，，．
∴．
∴．
∴．
综上所述，或．
方法二：
情形①当点在直线上方时，
取的中点，连接，
∴．
在中，．
∵将沿直线翻折，得到对应的，
∴．
∴．
∴．
∴．
过作于点，
∴．即点与点重合．
∵，
∴．
∵，
∴．
情形②当点在直线下方时．
取的中点，连接，
∴．
在中，
．
∵将沿直线翻折，得到对应的，
∴．
∴．
∴．
过作交的延长线于点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式5-3】（24-25八年级·四川成都·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先勾股定理得AB=5，再由对称性得AC'=AC=4，得BC'=1，在Rt△BC'D中，利用勾股定理列方程即可；
（2）由翻折得∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，再根据∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，可得∠AEC=∠ACE，从而证明结论；
（3）当∠C'BD=90°时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，设BC'为x，则C'E=4-x，在Rt△AC'E中，由勾股定理得，（4-x）2+32=42，解方程从而解决问题．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵点C关于AD的对称点C′恰好落在AB边上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
（2）证明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
（3）存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能为90°，
当BC'⊥BC时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，
∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四边形ACBE为矩形，设BC'为x，则C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′长为．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【题型6 由勾股定理构造图形解决实际问题】
【例6】（24-25八年级·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】(1)验证见解析
(2)①；②绳索的长为
【分析】（1）用含、的式子用两种方法表示正方形的面积，然后整理即可证明结论；
（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】（1）解：证明勾股定理：
由题意得，，，
∴，
∴．
（2）解：①在中，
,
,
点表示的数是．
故答案为：．
②，，
．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方以及数形结合思想是解题的关键．
【变式6-1】（24-25八年级·四川资阳·期末）已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°．
（1）如图,摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD线段AE 与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．（直接写出答案）
（2）如图,摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图,摆放△ACD和△BCE时，连接AE、DE．若有AE2=DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
【答案】（1）AE=BD；AE⊥BD．（2）结论AE=BD，AE⊥BD仍然成立．（3）45°
【分析】（1）可直接证明三角形全等；
（2）证明△ACE≌△DCB （SAS）；
（3）先证明△ACE≌△DCB （SAS），再利用勾股定理和等量代换，从而证明∠BED=90°.
【详解】解：（1）AE=BD；AE⊥BD．
（2）结论AE=BD，AE⊥BD仍然成立．
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
∴AC=CD，CE=CB，
又∵∠ACE+∠ECD=90°，∠BCD+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB 中，
AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB （SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠BDC.
延长AE交BD于点F，交DC于点G，
在△ACG和△DFG中，
∵∠EAC=∠BDC，∠AGC=∠DGF，
∴∠DFG=∠ACG=90°，
即AE⊥BD.
（3）连接BD，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
∴AC=CD，CE=CB，
又∵∠ACE=∠ACB+90°，∠BCD=∠ACB+90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB 中，
AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB （SAS），
∴AE=BD
∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠BEC=45°，CE=CB，CE2+CB2=BE2，
∴2CE2=BE2，
∵AE2=DE2+2CE2，
∴BD2=DE2+BE2
∴∠BED=90°
∴∠DEC=∠BED﹣∠BEC=45°
【点睛】本题主要考查三角形的全等和勾股定理，从而证明线段的位置和数量关系，关键要熟练掌握证明全等的方法，积累常见全等的模型.
【变式6-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值；
【模型拓展】
（3）已知正数x满足，求x的值．
【答案】（1）13；（2）；（3）4.8
【知识点】用勾股定理构造图形解决问题
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题．
（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【详解】（1），，
，
∴的最小值是13，
故答案为13；
（2）如图，
，
，
，
∴的最小值是；
（3）构造于，如图所示：
设，则，
，
，
，
，
，
∴方程的解是．
【变式6-3】（24-25八年级·广西南宁·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解；
（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】（1）解：图2：；
图3：；
（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：，
即，；
（3）解：，，，
，
，
，
，
解得；
（4）解：由“应用”的解答过程可知：
∴阴影部分面积和，
，，
阴影部分面积和．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
【题型7 由勾股定理求最短距离】
【例7】（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为＝＝
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为＝
由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为．
【变式7-1】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，观察图形解答下面的问题：
(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_______；
(3)如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)的长为10，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
【答案】(1)圆锥
(2)扇形
(3)见解析
(4)125
【分析】本题考查勾股定理应用、圆锥的侧面展开图，“化曲面为平面”等知识，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（1）根据几何体的特点可判断此图形为圆锥；
（2）圆锥的侧面展开图是扇形；
（3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果；
（4）直接用勾股定理解直角三角形即可．
【详解】（1）解：此图形的名称为圆锥;
故答案为：圆锥；
（2）动手操作略．它的侧面展开图是一个扇形；
故答案为：扇形；
（3）把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连接，则为蜗牛爬行的最短路线．
（4）由题易知．
在中，由勾股定理，得．
故蜗牛爬行的最短路程的平方为125．
【变式7-2】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度；
路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度．
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子：
①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短；
②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短．
（2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？
（三）回顾反思
（3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？
【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短
【分析】本题考查的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键，
（1）①根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；
（2）根据勾股定理分别求出，根据即可得出答案；
（3）结合（1）（2）结论得出答案即可；
【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，，
，
所以选择路线1路程最短；
②当圆柱的高，底面半径时，，，
，
所以选择路线2路程最短；
（2）由题意得：，，，
当时，，
解得：，
当时，；
（3）由题意得：当时，；
此时选择路线1路程最短；
当时，；
此时选择路线2路程最短．
【变式7-3】（24-25八年级·山东威海·期末）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．-
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得
，
故答案为：；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,
，
，
，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
【题型8 求一元一次不等式（组）中参数】
【例8】（24-25八年级·河南信阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)或
【分析】（1）分别解出每个不等式，再求出其与不等式的公共解，最后由“云不等式”的定义判断即可；
（2）解不等式，得．由不等式，得．再分类讨论：①当即时，和②当，即时，结合“云不等式”的定义求解即可．
【详解】（1）解不等式①得：，
∴一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴①是不等式的“云不等式”；
一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴②是不等式的“云不等式”；
解不等式③得：
∴一元一次不等式和一元一次不等式没有公共解，
∴③不是不等式的“云不等式”．
故答案为：①②；
（2）由得：，
由得：，
分类讨论：①当即时，．
∵其与互为“云不等式”，
∴，
解得：．
∴；
②当，即时，．
此时与一定互为“云不等式”
综上所述，当或时，两不等式互为“云不等式”．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数．理解“云不等式”的定义和掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小大小中间找，大大小小找不到”是解题关键．
【变式8-1】（24-25八年级·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键．
（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案；
（2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案；
（3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
【变式8-2】（24-25八年级·四川南充·期末）阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．
解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
(1)解关于x的不等式．
(2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
(3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)
(3)或
【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可；
（2）仿照阅读材料解答即可；
（3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
当时，．
（2）解：∵，
∴，
∵关于x不等式的所有解都满足不等式，
∴且，
∴；
∴；
（3）解：
由①得，，
由②得，，
∵不等式组非负整数解的和为3，
∴不合题意，，
∵非负整数解的和为3，
∴①非负整数解为0,1,2，
∴，
解得，∴无解；
②非负整数解为1,2，
∴，
解得，
∴；
③非负整数解为3，
∴
∴，
解得，
综上或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级·福建福州·期末）若点的坐标满足．
(1)若点的坐标为，求，的值；
(2)若点在第二象限，且符合要求的整数只有五个，求的取值范围；
(3)若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解方程组得，当，时，可得，解之即可得出答案；
（2）解方程组得，由点P在第二象限，得，则，由题意得出，1，2，3，4，得出即可；
（3）由（1）得，，由题意得出，即，由不等式的解集得可得，，求出，解不等式即可．
【详解】（1）解：解方程组得：，
∵点的坐标为
∴，解得：；
（2）∵点P在第二象限，则，
∴，，
∴，
∵符合要求的整数a只有五个，
∴，1，2，3，4；
∴，
即b的取值范围为；
（3）由（1）得：，，
∵点P为不在x轴上的点，
∴，即，
∵关于z的不等式的解集为，
∴，
∴，则，
∴，
代入得：，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是综合题，考查了二元一次方程组的解法、点的坐标特征、一元一次不等式组的解法等知识；本题综合性强，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【题型9 解特殊不等式组】
【例9】（24-25八年级·福建泉州·期末）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例 1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为．
例 2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）解不等式：；
（3）解不等式：．
【答案】（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.
【分析】（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8求解即可；
（2）先求出的解，再求出的解集即可；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集.
【详解】解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8
∴方程的解为x=2或x=-8
（2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5
∴方程的解为x=-1或x=5
∴的解集为-1≤x≤5.
（3）由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值.
∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6
∴满足方程的x的点在4的右边或-2的左边
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3
∴方程的解为x=5或x=-3
∴的解集为x＞5或x＜-3.
故答案为（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.
【点睛】本题考查了绝对值及不等式的知识. 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离.
【变式9-1】（24-25八年级·湖北武汉·期末）记表示正数x四舍五入后的结果，例如
(1) =_ , =
(2)若,则x的取值范围是 ．
(3)若则x的取值范围是
【答案】(1) 3, 2；(2) ；(3)
【分析】（1）根据定义法则即可得出答案
（2）根据定义法则可知括号内的值的取值范围，列出不等式求解可得；
（3）根据定义可列出含有R（x+2）的不等式组，进而得出含有x的不等式组，即可得出答案
【详解】解：（1）∵π≈3.14
∴=3；
∵
∴=2
即：=3；=2
（2）∵,
∴
解得：
（3）∵
∴
∴
∵为整数
∴=7或=8
∴
∴
【点睛】此题考查新定义运算中的不等式组，理解运算法则为解题关键
【变式9-2】（24-25八年级·福建三明·期中）【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）0＜x﹣y＜10．
【分析】（1）模仿材料的计算方法，即可求出答案；
（2）根据已知算式求出y、x的范围，再求出答案即可．
【详解】解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴xy的取值范围是：0＜x﹣y＜10．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、列代数式等知识点，能分别求出x、y的范围是解此题的关键，注意：求解过程类似．
【变式9-3】（24-25八年级·安徽六安·期中）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值．
(1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值；
(2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值．
【答案】(1)0
(2)，，1，2
【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键．
（1）根据题意得出，然后求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴；
（2）当时，根据题意得：，
当时，即，不成立；
∴，即，
∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，
∴，
∵m为整数，
∴或，
∴或；
当时，根据题意得：，
当时，即，不成立；
∴，即，
当时，，不成立；
当时，，此时，成立；
当时，，此时，成立；
当时，，不成立；
综上可得：或2或或．
【题型10 一元一次不等式（组）的应用】
【例10】（24-25八年级·广东深圳·期末）根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键；
任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案；
任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论．
【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
【变式10-1】（24-25八年级·浙江金华·期末）某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元．
(1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元．
(2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案．
【答案】(1)平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元．
(2)购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式组．
设每本纪念册元，每件纪念品元，根据订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元，列方程组求解即可；
设订购了本纪念册，份校庆纪念品，根据订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据为整数求解即可．
【详解】（1）解：设每本纪念册元，每件纪念品元，
根据题意可得：。
整理得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解为，
答：平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元；
（2）解：设订购了本纪念册，份校庆纪念品，
根据题意可得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
又为整数，
或或，
当时，，
当时，，
当时，，
订购方案有：
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个．
【变式10-2】（24-25八年级·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元）
型 27000
型 12000
已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%．
(1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元；
(2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键．
（1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可．
（2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可．
【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台，
根据题意，可列方程，
解得，
即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元．
（2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台，
根据题意，得，
解得，
由于为整数，所以，
总费用为元，
故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元．
【变式10-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
(2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键．
（1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可；
（2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
根据题意，得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
【题型11 利用几何变换设计图案】
【例11】（24-25八年级·浙江宁波·期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；
（2）解：轴对称图形如图2所示．
【变式11-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）在的方格内选5个小正方形．
(1)在图1中，让它们以虚线为对称轴，组成一个轴对称图形；在图2中，让它们以虚线为对称轴组成一个轴对称图形；在图3中，让它们构成一个中心对称图形．请在图中画出你的这3种方案．（每个的方格内限画一种）
要求：①5个小正方形必须相连在一起（有公共边或公共顶点视为相连）；②将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）
(2)在你所画得三个图中，最喜欢的是哪一个？简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据自己的喜好判断即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）我更喜欢图3，理由：它既是轴对称图形，也是中心对称图形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查图案设计，中心对称图形，轴对称图形等知识，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
【变式11-2】（24-25八年级·重庆梁平·期末）在网格中画对称图形．
图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形
【答案】①见解析；②见解析；③见解析
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形．
【详解】①如图2，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②如图3，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③如图4，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【点睛】本题主要考查了利用图形的基本变换作图，由一个基本图案通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法可以变换出一些新图案，关键是要熟悉轴对称、平移以及旋转等图形变换的性质．
【变式11-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
【答案】见解析
【分析】由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称等方法变换出一些图案．利用翻折或旋转变换，即可得到图案．
【详解】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一.
【点睛】本题主要考查了利用翻折或旋转变换设计图案，由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复杂图案．
【题型12 利用拆项或添项进行因式分解】
【例12】（24-25八年级·广东江门·期中）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方进行因式分解；
（3）先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设，
∴ ；
（3）解：是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
∴，，，
得，，，．
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式12-1】（24-25八年级·安徽池州·期中）【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
（2）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目的实例，配完全平方．
【变式12-2】（24-25八年级·陕西汉中·期中）阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式；
（2）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．
【变式12-3】（24-25八年级·甘肃张掖·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
＝
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①﹣6a﹣7；
②．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①；
②的值．
【答案】(1)①（a+1）（a﹣7）②
(2)①13②97
【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子分解因式；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
【详解】（1）解：利用“配方法”分解因式：
①﹣6a﹣7＝﹣6a+9﹣9﹣7
＝﹣16
＝（a﹣3+4）（a﹣3﹣4）
＝（a+1）（a﹣7）；
②
＝
＝
＝．
（2）解：①，
将a+b＝5，ab＝6代入得：
原式＝＝25﹣12＝13；
②
将＝13，ab＝6代入得：
原式＝
＝97．
【点睛】本题考查了配方法，因式分解和完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
【题型13 因式分解的应用】
【例13】（24-25八年级·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________．
【答案】(1)或
(2)
(3)，，
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用；
(1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案；
(2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案；
(3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
（2）根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3），
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，，．
【变式13-1】（24-25八年级·浙江宁波·期中）若两个正整数，满足为自然数，则称为的“级”数．例如，，则2为3的“11级”数．
(1)4是5的“______”级数；正整数为1的“______”级数（用关于的代数式表示）；
(2)是否存在的值，使得为的“级”数？若存在，请举出一组的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为小于100的正整数，且为的“100”级数，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)19，
(2)不存在，理由见解析
(3)或或
【分析】本题考查完全平方公式，因式分解的应用：
（1）根据新定义，进行求解即可；
（2）根据新定义，分别求出，以及，进行判断即可；
（3）根据题意，得到，进而得到，即两个连续的正整数的积是99的倍数，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵为自然数，
当时，，解得：，
∴4是5的19级数；
当时，，
∴，
∴正整数为1的级数；
故答案为：18，；
（2）不存在，
∵，
，
∵，为正整数，
∴，
∴，
故不存在的值，使得为的“级”数；
（3）由题意，得：
∴，
∴，即两个连续的正整数的积是99的倍数，
∵均为小于100的正整数，
∴①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，，此时；
综上：或或．
【变式13-2】（24-25八年级·福建泉州·期中）阅读材料：
试说明：命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”．
解：设表示一个三位数，
则 ．
因为能被3整除，所以如果也能被3整除，那么就能被3整除．
(1)①一个四位数，如果能被9整除，试说明能被9整除；
②若一个五位数能被9整除，则 ；
(2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是 (数字“1”除外)；
(3)由数字1至9组成的一个九位数(各数位上的数不重复)，这个数的第一位m能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是 ．
【答案】(1)①见解析，②1
(2)3
(3)381654729
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键．
（1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论；
②首先把五位数改写成，然后根据这个五位数能被9整除得能被9整除，即可求得答案；
（2）假设，则三位数，据此可得出答案；
（3）由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，从而得到对应，由为质数可得，由能被2整除可得，从而得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：①∵是一个四位数，
能被9整除，能被9整除，
四位数能被9整除；
② 是一个五位数，
，
五位数能被9整除，
能被9整除，
，
故答案为：1；
（2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，
不妨假设，
，
三位数的最小正因数一定是3(数字“1”除外)，
故答案为：3；
（3）解： 均为0至9之间的整数，
由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，
由九位数中已有7，9，可得，
由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，
由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，
这时的九位数为：，
对应，
两位数能被2整除，
，
当，，前七位组成的七位数是3816547，，符合题意，
此时这个九位数时：381654729，
当，，前七位组成的七位数是1836547，，不符合题意，
综上所述：此时这个九位数时：381654729，
故答案为：381654729．
【变式13-3】（24-25八年级·重庆大足·期末）已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；
此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
(2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．
【答案】(1)是，理由如下
(2)
【分析】（1）根据“平方差数”的定义计算即可；
（2）由M是“平方差数”，得，由比M的个位数字的9倍大30，得，进而得，结合分解分数的方法分解并分情况讨论即可．
【详解】（1）解： 7254是“平方差数”．理由如下：
∵，
∴7254是“平方差数”．
（2）∵是“平方差数”，
∴，
∵比M的个位数字的9倍大30，
∴，即，
∴，
即．
∵且均为30的正因数，
∴将30分解为或或．
①，
解得，
∵，
∴；
②，
解得，
∵，
∴（舍）；
③，
解得，
∵，，
∴（舍）或5214．
∴．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系．
【题型14 利用分式性质求值问题】
【例14】（24-25八年级·四川绵阳·期末）已知，，，求的值．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得，
，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
【变式14-1】（24-25八年级·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：，其中x，y满足．
【答案】，
【分析】利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．
【详解】解：原式
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
将其代入，可得
原式
【点睛】本题主要考查整式混合运算，解题关键是熟练使用整式运算法则及因式分解完成整式化简．
【变式14-2】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）已知、、为有理数，且，，，那么的值是多少？
【答案】
【分析】根据，得出，也即，同理可得出，，继而得出，通分可得到，倒过来即是.
【详解】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴，∴，∴.
【点睛】本题属于拔高题，考查多项式的通分与求解运算，需要熟练运用倒数的关系.
【变式14-3】（24-25八年级·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数）
(1)当时，，求此时的值；
(2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示）
(3)当为整数时，求此时的值．
【答案】(1)
(2)，，；
(3)
【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值．
（1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值．
（2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式；
（3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值．
【详解】（1）已知，，
将代入可得，，
把代入得．
∵，
∴，
解得．
（2），
，
，
，
，
∴，
∵，
∴．
将代入得
．
故答案为：，，；
（3）由（2）知，
，
．
．
∵为整数，
∴能整除，即或．
∴或或或
∵，
∴．
【题型15 与分式有关的材料题】
【例15】（24-25八年级·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】(1)3，6
(2)真分式，，4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
(4)当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时， ，
∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
【变式15-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解：由分母为，可设.
因为，
所以.
所以，解之，得.
所以
这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式.
问题：（1）请将
