21.2解一元二次方程（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 解一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 香坊区校级月考）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
2．（2024 巴林左旗校级一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
3．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
4．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
5．（2024 鞍山二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 　．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　．
8．（2024 东港区二模）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是　 　．
9．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　 　．
10．（2024 宣汉县期末）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
12．（2024春 龙口市期末）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
13．（2024 涪城区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
14．（2024 洪洞县期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 　 　步开始出现错误；
②此题的正确结果是 　 　．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
15．（2024 东城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
新课预习衔接 解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 香坊区校级月考）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
2．（2024 巴林左旗校级一模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
∴Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式Δ＝b2﹣4ac及相应结果是解题关键．
3．（2024 阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣8x+10＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣10，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16，
整理得：（x﹣4）2＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
4．（2024 昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
5．（2024 鞍山二模）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程没有实数根得出（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解之求出n的范围，结合各选项可得答案．
【解答】解：根据题意，得：（﹣3）2﹣4×1×n＜0，
解得：n，
∴n的值可以是3，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　　．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝12+4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4k＞0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2024 椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】3．
【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．
8．（2024 东港区二模）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是　10或6或12　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2或x＝4，
∵等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．
当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2＝6．
当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4＝12．
∴这个三角形的周长为10或6或12．
故答案为：10或6或12．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2024春 和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
10．（2024 宣汉县期末）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　﹣1　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】当二次项系数为零时，原方程为一元一次方程，解之可得出该方程的解，进而可得出a＝﹣1符合题意；当二次项系数非零时，由根的判别式Δ≥0，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，综上，可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：当a+1＝0时，原方程为﹣2x+3＝0，解得x，
∴a＝﹣1符合题意；
当a+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a+1）×3≥0，
解得：a，
∴a且a≠﹣1．
综上所述，a．
又∵a为整数，
∴a的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x 1＝a﹣2，
解得：x，a，
即a，方程的另一个根为；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1 x2，要记牢公式，灵活运用．
12．（2024春 龙口市期末）解方程
（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2，x2＝6；
（2）x1，x2．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4，
2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝2，x2＝6；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
∵Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
13．（2024 涪城区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）a＝1，另一根为x＝﹣2．
【分析】（1）证明方程根的判别式Δ＞0即可；
（2）先把x＝1代入原方程求出a的值，再解方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣3）＝a2﹣4a+12＝（a﹣2）2+8＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：当x＝1时，12+a 1+a﹣3＝0，
∴a＝1，
当a＝1时，
原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
∴该方程的另一个根为2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．
14．（2024 洪洞县期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 　一　步开始出现错误；
②此题的正确结果是 　x1，x2＝1　．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】①一；
②x1，x2＝1；
③x1＝﹣2，x2．
【分析】①利用等式的性质，即可解答；
②利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
③利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：①小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
②此题的正确结果是x1，x2＝1，
故答案为：x1，x2＝1；
③3x（x+2）＝2x+4，
3x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（3x﹣2）＝0，
x+2＝0或3x﹣2＝0，
x1＝﹣2，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
15．（2024 东城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）﹣3．
【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝m，c＝m﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝m2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，
∴﹣m＝3，
∴m＝﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
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