22.2二次函数与一元二次方程（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 二次函数与一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 天心区校级开学）抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（　　）
A．（3，0）
B．（﹣3，0）
C．（，0）
D．不能确定，与a的值有关
2．（2024 巧家县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
3．（2024秋 颍上县校级月考）关于二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（﹣1，﹣2）
D．图象与x轴没有交点
4．（2024 高港区期末）表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的最小值为﹣6
B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点
D．当x＞2时，y的值随x值的增大而增大
5．（2024 东莞市校级一模）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共5小题）
6．（2024 河东区期末）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为 　 　．
7．（2024 吉林期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　．
8．（2024 丹徒区二模）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为　 　．
9．（2024 宿迁模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 　 　．
10．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 互助县期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中A（3，0），C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在二次函数图象上，且S△AOP＝4S△BOC，求点P的坐标．
12．（2024 德城区校级开学）已知函数y＝﹣（x﹣1）2+4．
（1）当x＝　 　时，抛物线有最大值，是 　 　．
（2）当x 　 　时，y随x的增大而增大．
（3）该函数可以由函数y＝﹣x2的图象经过怎样的平移得到？
（4）该抛物线与x轴交于点 　 　，与y轴交于点 　 　．（写坐标）
（5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．
13．（2024 鄄城县一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．
14．（2024 东丰县期末）如图是二次函数y＝a（x+1）2+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题．
（1）抛物线与x轴的一个交点的坐标是　 　，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是　 　；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
15．（2024 河东区模拟）已知：抛物线yx2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
新课预习衔接 二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 天心区校级开学）抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（　　）
A．（3，0）
B．（﹣3，0）
C．（，0）
D．不能确定，与a的值有关
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．
2．（2024 巧家县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），从而可确定方程ax2+bx+c＝0的另一个根．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝5，
即方程的另一个根为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
3．（2024秋 颍上县校级月考）关于二次函数y＝﹣x2+2x﹣3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为（﹣1，﹣2）
D．图象与x轴没有交点
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
故A，C错误，不符合题意；
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴图象与x轴没有交点，
故D正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B错误，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．（2024 高港区期末）表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的最小值为﹣6
B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点
D．当x＞2时，y的值随x值的增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴x时，y随x增大而增大，
∴当x＞2时，y随x增大而增大，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
5．（2024 东莞市校级一模）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】令x2+4x+4＝0，求出Δ的值，判断出其符号即可．
【解答】解：令x2+4x+4＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×4＝0，
∴抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数是1．
故选：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 河东区期末）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为 　　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】．
【分析】x2+x+c＝0，通过求根的判别式Δ＝0求解．
【解答】解：令x2+x+c＝0，
则Δ＝12﹣4c＝0，
解得c．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
7．（2024 吉林期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　x＝1或x＝3　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】x＝1或x＝3．
【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，由此求得关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
8．（2024 丹徒区二模）二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为　3或﹣5　．
【考点】抛物线与x轴的交点；一元二次方程的定义；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】3或﹣5．
【分析】求出抛物线的对称轴x＝﹣1，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），可得（3+x）＝﹣1，解得x的值，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标．
【解答】解：函数的对称轴为直线x1
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，
∴（3+x）＝﹣1，
解得：x＝﹣5，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5，
故答案为：3或﹣5．
【点评】本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，关键是掌握抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称．
9．（2024 宿迁模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 　﹣2或2　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】﹣2或2．
【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到Δ＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，从而解m的方程即可．
【解答】解：由题意得：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
Δ＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝2，
故答案为：﹣2或2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
10．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 　（4，1）　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（4，1）．
【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标．
【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，
在中，令x＝0，则y＝6，
∴点A（0，6），
令y＝0，则，
解得x＝2或x＝6，
∴点B（2，0），
∵抛物线的对称轴为直线x4，
∴A′（8，6），
∴A″（8，3），
设直线A″B的解析式为y＝kx+b，
代入A″、B的坐标得，
解得，
∴直线A″B的解析式为yx﹣1，
当x＝4时，y＝1，
∴C（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 互助县期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中A（3，0），C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在二次函数图象上，且S△AOP＝4S△BOC，求点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数的应用；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）（1，4）或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出△COB的面积，则由三角形面积公式可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中得：，
∴，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（﹣1，0），
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA＝3，OB＝1，OC＝3，
∴，
∴S△AOP＝4S△BOC＝6，
∴，
∴|yP|＝4，
∴yP＝±4，
当y＝﹣x2+2x+3＝4时，解得x＝1，即P（1，4）；
当y＝﹣x2+2x+3＝﹣4时，解得或，即或；
综上所述，点P的坐标为（1，4）或或．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．（2024 德城区校级开学）已知函数y＝﹣（x﹣1）2+4．
（1）当x＝　1　时，抛物线有最大值，是 　4　．
（2）当x 　＜1　时，y随x的增大而增大．
（3）该函数可以由函数y＝﹣x2的图象经过怎样的平移得到？
（4）该抛物线与x轴交于点 　（﹣1，0）和（3，0）　，与y轴交于点 　（0，3）　．（写坐标）
（5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为﹣1得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；
（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；
（3）找出函数y＝﹣x2的顶点坐标，结合函数y＝﹣（x﹣1）2+4的顶点坐标，即可找出平移的方法；
（4）令y＝0可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此得出抛物线与x轴的交点坐标；令x＝0求出y值，由此即可得出抛物线与y轴的交点坐标；
（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象．
【解答】解：（1）∵函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，4）．
∴当x＝1时，抛物线有最大值，是4．
故答案为：1；4；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大．
故答案为：＜1；
（3）∵函数y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），
∴将函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数y＝﹣（x﹣1）2+4的图象．
（4）令y＝0，则有﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．
当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+4＝3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故答案为：（﹣1，0）和（3，0）；（0，3）．
（5）列表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
描点，连线，该抛物线的图象如图：
【点评】本题考查了二次函数的性质抛物线与x轴的交点，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2024 鄄城县一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点C和点D的坐标；
（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入x＝0求出y值，由此可得出点C的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶点D的坐标；
（3）设点P的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），根据三角形的面积公式结合S△ABP＝4S△COE，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n值，再代入n值求出m值，取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（3）设点P的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
S△COE1×3，S△ABP4n＝2n，
∵S△ABP＝4S△COE，
∴2n＝4，
∴n＝3，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P的坐标为（2，3）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函数性质求出顶点D的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△ABP＝4S△COE求出点P的纵坐标．
14．（2024 东丰县期末）如图是二次函数y＝a（x+1）2+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题．
（1）抛物线与x轴的一个交点的坐标是　（﹣3，0）　，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是　（1，0）　；
（2）确定a的值；
（3）设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标；
（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．
【解答】解：
（1）由图象可知A点坐标为（﹣3，0），
∵y＝a（x+1）2+2，
∴抛物线对称轴方程为x＝﹣1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为（1，0），
故答案为：（﹣3，0）；（1，0）；
（2）将（1，0）代入y＝a（x+1）2+2，
可得0＝4a+2，解得a；
（3）∵y＝a（x+1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝XB﹣XA＝1﹣（﹣3）＝4，
∴S△PAB4×2＝4．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴及顶点坐标的求法是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
15．（2024 河东区模拟）已知：抛物线yx2+bx+c（b，c为常数），经过点A（﹣2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN＝2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（Ⅰ）yx2x+4；
（Ⅱ）P（3，5）；
（Ⅲ）222．
【分析】（Ⅰ）把A、C点坐标分别代入yx2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程得抛物线解析式；
（Ⅱ）先解方程x2x+4＝0得B（6，0），则利用待定系数法求出直线BC的解析式为yx+4，过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，设P（t，t2t+4），则Q（t，t+4），利用三角形面积公式得到S△PBC＝﹣t2+6t，然后利用二次函数的性质解决问题；
（Ⅲ）取OC的中点D，连接BD交直线x＝2于点M，如图，则D（0，2），则四边形CDMN为平行四边形，所以DM＝CN，由于CN+AM＝BD，根据两点之间线段最短可判断此时四边形AMNC周长最小，然后计算BD、AC可得到四边形AMNC周长的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）把A（﹣2，0），C（0，4）分别代入yx2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为yx2x+4；
（Ⅱ）当y＝0时，x2x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴B（6，0），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（6，0），C（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为yx+4，
过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
设P（t，t2t+4），则Q（t，t+4），
∴PQ＝（t2t+4）﹣（t+4）t2+2t，
∴S△PBC6×PQ＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，S△PBC的值最大，此时P点坐标为（3，5）；
（Ⅲ）取OC的中点D，连接BD交直线x＝2于点M，如图，则D（0，2），
∵MN∥CD，MN＝CD＝2，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴DM＝CN，
∵MA＝MB，
∴CN+AM＝DM+BM＝BD，
∴此时四边形AMNC周长最小，
∵BD2，AC2，
∴四边形AMNC周长的最小值为222．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
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