21.1一元二次方程（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 溆浦县校级开学）已知m，n是不为0的实数，且m≠n，若，则的值为（　　）
A．23 B．15 C．10 D．5
2．（2024 阿荣旗期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
3．（2024春 淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（　　）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
4．（2024春 大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
5．（2024 明水县期末）已知关于x的方程kx2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
二．填空题（共5小题）
6．（2024 新会区期末）写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 　 　．
7．（2024 哈密市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是　 　．
8．（2024 浦东新区期末）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝　 　．
9．（2024春 肇源县月考）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
10．（2024春 扶沟县期末）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 滨州模拟）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
12．（2024 凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
13．（2024 民勤县三模）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
14．（2024 任丘市校级月考）已知a是x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a的值．
15．（2022秋 同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
新课预习衔接 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 溆浦县校级开学）已知m，n是不为0的实数，且m≠n，若，则的值为（　　）
A．23 B．15 C．10 D．5
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将进行变形可知m，n为方程x2﹣5x+1＝0的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到m+n，mn的值，利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值．
【解答】解：∵m，n是不为0的实数，
∴由，得m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，
又m≠n，
∴m，n为一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个不相等实根，
∴，mn＝1，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．
2．（2024 阿荣旗期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C．ax2+bx+c＝0，a＝0，b≠0时是一元一次方程，故本选项不符合题意，；
D．该方程整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
3．（2024春 淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（　　）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
4．（2024春 大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m1＝3，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得，
2m+2+1﹣m2＝0，
m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0，
∴2m+2≠0，
∴m≠﹣1，
∴m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
5．（2024 明水县期末）已知关于x的方程kx2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【答案】C
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9k﹣3﹣6＝0，解得k＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 新会区期末）写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 　x2﹣4x＝0（答案不唯一）　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程解的定义，以及一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：依题意得x2﹣4x＝0，
解得x1＝4，x2＝0，
故答案为：x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．（2024 哈密市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是　﹣1　．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0得到m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，解题的关键是正确的代入求解，属于基础题型．
8．（2024 浦东新区期末）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝　﹣3　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝3代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
9．（2024春 肇源县月考）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　2　．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且|m|＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0且|m|＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+2≠0和|m|＝2是解此题的关键．
10．（2024春 扶沟县期末）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　x2﹣3x+2＝0　．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣3x+2＝0．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再根据一元二次方程的一般形式解答即可．
【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4，
则2x2﹣4x+x﹣2＝x2﹣4，
整理得：x2﹣3x+2＝0，
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 滨州模拟）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【考点】一元二次方程的解；分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程求出x的值，继而选择使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式，
解x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，
原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
12．（2024 凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．（2024 民勤县三模）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可．
【解答】解：设修建的路宽应x米，可列出方程：
（20﹣x）（30﹣x）＝551，
整理得：x 2﹣50x+49＝0，
解得：x 1＝1米，x 2＝49米（不合题意舍去），
答：修建的道路宽为1米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．
14．（2024 任丘市校级月考）已知a是x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a的值．
【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．
【专题】分式；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2019．
【分析】先根据方程的解的概念得出a2﹣2020a＝﹣1，a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，再代入代数式求解即可．
【解答】解：∵a是x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，即a2﹣2020a＝﹣1，a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则原式＝2020a﹣1﹣2019a
＝a﹣1
1
1
＝2020﹣1
＝2019．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解的概念、分式的化简求值，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念与分式的混合运算顺序及运算法则．
15．（2022秋 同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
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