21.3实际问题与一元二次方程（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 21.3实际问题与一元二次方程（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-09 17:44:00 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 实际问题与一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 潮州期末）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90
C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
2．（2024 武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
3．（2024 武威一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
4．（2024 右玉县四模）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
5．（2024 钦南区校级三模）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
二．填空题（共5小题）
6．（2024 琼山区校级一模）根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为7x﹣4.9x2．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面．
7．（2024春 奉贤区期末）“六一”儿童节时，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
8．（2024 重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
9．（2024 大荔县一模）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 ．
10．（2024 集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 西山区校级开学）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
12．（2024 建平县期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
13．（2024 大连一模）于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
x/元 55 52
y/件 460 520
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
14．（2024 长清区校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
15．（2024 黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
新课预习衔接 实际问题与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 潮州期末）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90
C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
2．（2024 武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 AB、AC 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．（2024 武威一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2024 右玉县四模）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键．
5．（2024 钦南区校级三模）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x+6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门宽为x尺，
∴门高为（x+6.8）尺．
根据题意得：x2+（x+6.8）2＝102．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 琼山区校级一模）根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为7x﹣4.9x2．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】跨学科；运算能力．
【答案】．
【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说S为0，建立方程求得答案即可．
【解答】解：S＝7x﹣4.9x2，
落回地面时S＝0，
所以7x﹣4.9x2＝0，
解得：x＝0或x，
因为时间为零时未扔出，
所以舍去．
答：物体经过秒回落地面．
故答案为：．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．
7．（2024春 奉贤区期末）“六一”儿童节时，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 x（x﹣1）＝210 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（x﹣1）＝210．
【分析】由每位同学向其他同学赠送1句祝福语及小队共有x人，可得出每人赠送（x﹣1）句祝福语，再利用小队内共收到的祝福语＝人数×每人赠送祝福语数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小队共有x人，且每位同学向其他同学赠送1句祝福语，
∴每人赠送（x﹣1）句祝福语，
又∵小队内共收到210句祝福语，
∴可列方程x（x﹣1）＝210．
故答案为：x（x﹣1）＝210．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024 重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
根据题意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2024 大荔县一模）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 x（x+12）＝864 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．
【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
10．（2024 集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 12 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】12．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
整理得：（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 西山区校级开学）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
【分析】根据BC＝栅栏总长﹣2AB+EF，再利用矩形面积公式即可求出．
【解答】解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m；
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得x2﹣36x+320＝0，
解得：x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．
故当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
12．（2024 建平县期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×4
＝20+8
＝28（个）；
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2024 大连一模）于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
x/元 55 52
y/件 460 520
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣20x+1560；
（2）商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元．
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据单件的利润乘以销售量等于8400，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把x＝55，y＝460；x＝52，y＝520代入可得，
解得，
即y关于x的函数解析式为y＝﹣20x+1560；
（2）依题意得，（x﹣35）（﹣20x+1560）＝8400，
解得x1＝50，x2＝63（不合题意，舍去）
答：商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2024 长清区校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
（2）购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，由题意：网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的A、B款纪念币全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出（5﹣2a）个，使A款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，
，
解得，
答：购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，
依题意得：15m+20（80﹣m）≤1350，
解得：m≥50．
设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960．
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而增小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×50+960＝860（元），
此时80﹣m＝80﹣50＝30（个）．
即购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出6+2（25﹣a）＝（56﹣2a）个，
依题意得：（a﹣15）（56﹣2a）＝84，
解得：a1＝21，a2＝22．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
15．（2024 黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【分析】（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33﹣3x）中，取使得（33﹣3x）小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣111＜0，即可得出结论．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，
依题意，得：x（33﹣3x）＝90，
解得：x1＝6，x2＝5．
当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，
当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，
依题意，得：y（33﹣3y）＝100，
整理，得：3y2﹣33y+100＝0．
∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，
∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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新课预习衔接 实际问题与一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024 潮州期末）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90
C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
2．（2024 武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
3．（2024 武威一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
4．（2024 右玉县四模）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
5．（2024 钦南区校级三模）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
二．填空题（共5小题）
6．（2024 琼山区校级一模）根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为7x﹣4.9x2．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面．
7．（2024春 奉贤区期末）“六一”儿童节时，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
8．（2024 重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
9．（2024 大荔县一模）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 ．
10．（2024 集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 西山区校级开学）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
12．（2024 建平县期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
13．（2024 大连一模）于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
x/元 55 52
y/件 460 520
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
14．（2024 长清区校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
15．（2024 黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
新课预习衔接 实际问题与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 潮州期末）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90
C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
2．（2024 武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 AB、AC 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．（2024 武威一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2024 右玉县四模）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键．
5．（2024 钦南区校级三模）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x+6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门宽为x尺，
∴门高为（x+6.8）尺．
根据题意得：x2+（x+6.8）2＝102．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 琼山区校级一模）根据物理学规律，如果把一物体从地面以7m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为7x﹣4.9x2．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】跨学科；运算能力．
【答案】．
【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说S为0，建立方程求得答案即可．
【解答】解：S＝7x﹣4.9x2，
落回地面时S＝0，
所以7x﹣4.9x2＝0，
解得：x＝0或x，
因为时间为零时未扔出，
所以舍去．
答：物体经过秒回落地面．
故答案为：．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题．
7．（2024春 奉贤区期末）“六一”儿童节时，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 x（x﹣1）＝210 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（x﹣1）＝210．
【分析】由每位同学向其他同学赠送1句祝福语及小队共有x人，可得出每人赠送（x﹣1）句祝福语，再利用小队内共收到的祝福语＝人数×每人赠送祝福语数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小队共有x人，且每位同学向其他同学赠送1句祝福语，
∴每人赠送（x﹣1）句祝福语，
又∵小队内共收到210句祝福语，
∴可列方程x（x﹣1）＝210．
故答案为：x（x﹣1）＝210．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024 重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
根据题意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2024 大荔县一模）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 x（x+12）＝864 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．
【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
10．（2024 集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 12 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】12．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
整理得：（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 西山区校级开学）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
【分析】根据BC＝栅栏总长﹣2AB+EF，再利用矩形面积公式即可求出．
【解答】解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m；
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得x2﹣36x+320＝0，
解得：x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．
故当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
12．（2024 建平县期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×4
＝20+8
＝28（个）；
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2024 大连一模）于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
x/元 55 52
y/件 460 520
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣20x+1560；
（2）商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元．
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据单件的利润乘以销售量等于8400，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把x＝55，y＝460；x＝52，y＝520代入可得，
解得，
即y关于x的函数解析式为y＝﹣20x+1560；
（2）依题意得，（x﹣35）（﹣20x+1560）＝8400，
解得x1＝50，x2＝63（不合题意，舍去）
答：商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2024 长清区校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
（2）购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，由题意：网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的A、B款纪念币全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出（5﹣2a）个，使A款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，
，
解得，
答：购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，
依题意得：15m+20（80﹣m）≤1350，
解得：m≥50．
设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960．
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而增小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×50+960＝860（元），
此时80﹣m＝80﹣50＝30（个）．
即购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出6+2（25﹣a）＝（56﹣2a）个，
依题意得：（a﹣15）（56﹣2a）＝84，
解得：a1＝21，a2＝22．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
15．（2024 黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【分析】（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33﹣3x）中，取使得（33﹣3x）小于等于15的值即可得出结论；
（2）不能，理由如下，设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣111＜0，即可得出结论．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，
依题意，得：x（33﹣3x）＝90，
解得：x1＝6，x2＝5．
当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，
当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，
依题意，得：y（33﹣3y）＝100，
整理，得：3y2﹣33y+100＝0．
∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，
∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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