22.1二次函数的图象和性质（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 二次函数的图象和性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024 长沙模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
2．（2024 武隆区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 4 6 …
y … 8 18 20 18 …
下列结论中，正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x＝4
C．当x＞4时，y随x的增大而减小
D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大
3．（2024 泾阳县模拟）已知抛物线y＝x2+2kx﹣k2的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或1 B．﹣5 C．1 D．5
4．（2024 社旗县期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
5．（2024春 肇东市校级月考）已知二次函数，则（　　）
A．函数图象的对称轴为直线x＝3
B．函数的最大值为2
C．当x≤﹣3时，y随x的增大而增大
D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
二．填空题（共5小题）
6．（2024 恩施市校级一模）已知函数y，点P（a，ka）在该函数的图象上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为　 　．
7．（2024春 凉州区月考）已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x 　 　时，y随x的增大而减小．
8．（2024 东湖区期末）点A（1，m），B（4，n）是抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则m 　 　n．（填＜，＞或＝）
9．（2024 沂南县一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 　 　．
10．（2024 朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．（用“＜”表示）
三．解答题（共5小题）
11．（2024 凉州区校级三模）如图1，已知抛物线F1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线F2：ybx+c经过点A、B，点P是射线CB上一动点．
（1）求抛物线F2的表达式；
（2）如图2，过点P作PE⊥BC交抛物线F1第一象限部分于点E，作EF∥AB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）抛物线F1与F2在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点P作PG∥y轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．
12．（2024 头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接AC、BC，求S△ABC；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2024 东营区校级四模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．
14．（2024 凉州区三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2），对称轴为直线x，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；
（2）设点M的坐标为（m，0），求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值；
（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
15．（2024 双辽市期末）已知抛物线y＝ax2+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）
（1）求这个函数的关系式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
新课预习衔接 二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 长沙模拟）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h．
2．（2024 武隆区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x … 1 3 4 6 …
y … 8 18 20 18 …
下列结论中，正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．对称轴是直线x＝4
C．当x＞4时，y随x的增大而减小
D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【解答】解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值，
∴抛物线开口向下，故选项A、B错误，
∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小，
故选项C错误，选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．
3．（2024 泾阳县模拟）已知抛物线y＝x2+2kx﹣k2的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（　　）
A．﹣5或1 B．﹣5 C．1 D．5
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，然后将（0，0）代入，求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2kx﹣k2的对称轴在y轴左侧，
∴x＝﹣k＜0，
∴k＞0．
∵抛物线y＝x2+2kx﹣k2＝（x+k）2﹣2k2．
∴将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y＝（x+k﹣2）2﹣2k2+1，
∴将（0，0）代入，得0＝（k﹣2）2﹣2k2+1，
解得k1＝1，k2＝﹣5（舍去）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是写出平移后抛物线解析式．
4．（2024 社旗县期末）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2024春 肇东市校级月考）已知二次函数，则（　　）
A．函数图象的对称轴为直线x＝3
B．函数的最大值为2
C．当x≤﹣3时，y随x的增大而增大
D．函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．
【解答】解：由可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，故A错误；
函数的最大值为﹣2，故B错误；
因为，则抛物线开口向下所以当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，故C正确；
令x＝0，则，所以函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 恩施市校级一模）已知函数y，点P（a，ka）在该函数的图象上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为　1或410　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出函数y，的图象如图，
由图象可知①当x＝3，y＝3时，可得：k＝1
②当x＝5，y＝﹣1时，可得：
x2﹣10x+24﹣kx＝0，
△＝（10+k）2﹣96＝0时，
解得：k＝4，
故答案为：1或410．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答．
7．（2024春 凉州区月考）已知二次函数y＝（x﹣3）2+m，当x 　＜3　时，y随x的增大而减小．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】＜3．
【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是（3，m），且图象开口向上，由此即可求解．
【解答】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是（3，m），抛物线开口向上，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，
故答案是：＜3．
【点评】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键．
8．（2024 东湖区期末）点A（1，m），B（4，n）是抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则m 　＜　n．（填＜，＞或＝）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】＜．
【分析】根据抛物线解析式得到开口向上，对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵点A（1，m）关于对称轴的对称点为（3，m），且3＜4，
∴m＜n．
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（2024 沂南县一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x﹣2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 　6＜k≤11或k＝2　．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】6＜k≤11或k＝2．
【分析】由题意可知，将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后抛物线为y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2+k，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN上，当抛物线经过点N（5，4）时，求出对应k的值，结合图形即可求解．
【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+2+k，
当抛物线顶点恰好平移到线段MN上，此时，2+k＝4，可得k＝2；
当抛物线经过点M（0，4）时，此时﹣（0﹣2）2+2+k＝4，可得k＝6，
此时M（0，4）关于对称轴x＝2对称的点M′（4，4），在线段MN上，不符合题意；
当抛物线经过点N（5，4）时，此时﹣（5﹣2）2+2+k＝4，可得k＝11，
此时N（5，4）关于对称轴x＝2对称的点N′（﹣1，4），不在线段MN上，符合题意；
结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点时，k＝2或6＜k≤11；
故答案为：k＝2或6＜k≤11．
【点评】本题考查二次函数的性质及图象的平移，熟练掌握二次函数性质是关键．
10．（2024 朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 　y1＜y2＜y3　．（用“＜”表示）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离的大小判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1，
∵0＜n＜1，
∴﹣2＜n﹣2＜﹣1，﹣1＜n﹣1＜0，1＜n+1＜2，
∴点（n﹣2，y1）到对称轴的距离最大，（n+1，y3）到对称轴距离最短，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 凉州区校级三模）如图1，已知抛物线F1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线F2：ybx+c经过点A、B，点P是射线CB上一动点．
（1）求抛物线F2的表达式；
（2）如图2，过点P作PE⊥BC交抛物线F1第一象限部分于点E，作EF∥AB交BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）抛物线F1与F2在第一象限内的图象记为“图象Z”，过点P作PG∥y轴交图象Z于点G，是否存在这样的点P，使△CPG与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【答案】（1）抛物线F2的函数表达式；
（2）△PEF面积的最大值为，；
（3）P的横坐标为2或或1或．
【分析】（1）由y＝﹣x2+2x+3求出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），再用待定系数法可得抛物线 F2的函数表达式，直线BC解析式为y＝﹣x+3；
（2）过E作EH∥y轴交BC于H，由△EFP是等腰直角三角形，知△PEF面积最大时PE最大，此时EH最大，设E（m，﹣m2+2m+3），即得 ，由二次函数性质可得答案；
（3）由（2）知△OBC是等腰直角三角形，当△CPG与△OBC相似时，△CPG为等腰直角三角形，由∠CPG＝∠OCB＝45°，分两种情况当∠PGC＝90°时，此时G与C纵坐标相等，当∠PCG＝90°时，设P3（n，﹣n+3），（﹣n2+3n）2＝2×2n2，解方程即可解得答案；
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
把A（﹣1，0），B（3，0）代入得：
，
解得 ，
∴抛物线F2的函数表达式，
（2）设直线BC解析式为y＝tx+a，把B（3，0），C（0，3）代入得：
，
解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
过E作EH∥y轴交BC于H，如图：
∵B（3，0），C（0，3），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵EF∥AB，
∴∠EFP＝45°，
∴△EFP是等腰直角三角形，
∴△PEF面积最大时PE最大，
∵EH∥y轴，
∴∠EHP＝∠OCB＝45°，
∴△EHP是等腰直角三角形，
∴EH最大时，PE最大，即EH最大时，△PEF面积最大，
设E（m，﹣m2+2m+3），则H（m，﹣m+3），
∴，
∴当 时，EH最大为，
∴，此时，
∴△PEF面积的最大值为；
（3）存在点P，使△CPG与△OBC相似，理由如下：
由（2）知△OBC是等腰直角三角形，当△CPG与△OBC相似时，△CPG为等腰直角三角形，
∵PG∥y轴，
∴∠CPG＝∠OCB＝45°，
当∠PGC＝90°时，如图：
此时G与C纵坐标相等，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝3得x＝0或x＝2，
∴G1（2，3），此时P1的横坐标为2，
在中，令y＝3得，3x2﹣x，
整理得x2﹣2x﹣9＝0，
解得或（此时G不在第一象限，舍去），
∴P2的横坐标为，
当∠PCG＝90°时，如图：
设P3（n，﹣n+3），则，
∵C（0，3），
∴，，
∵△CP3G3是等腰直角三角形，
∴（﹣n2+3n）2＝2×2n2，
∴﹣n2+3n＝±2n，
﹣n2+5n＝0或﹣n2+n＝0，
解得n＝0（舍去）或n＝1或n＝5（此时G不在第一象限，舍去），
∴P3的横坐标为1，
同理可得：P4的横坐标为（负值舍去），
综上所述，P的横坐标为2或或1或．
【点评】本题属于二次函数综合题．考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
12．（2024 头屯河区期末）如图，点C为二次函数y＝x2+2x+1的顶点，直线y＝﹣x+m与该二次函数图象交于A（﹣3，4）、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接AC、BC，求S△ABC；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】推理能力．
【答案】（1）m＝1；C（﹣1，0）；
（2）3；
（3）存在，点Q的坐标为或（﹣1，8）或或．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4），
∴4＝3+m，
∴m＝1，
∴y＝﹣x+1，
∴B（0，1），
二次函数解析式为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
顶点坐标为C（﹣1，0）；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，C（﹣1，0），二次函数对称轴为直线x＝﹣1，
∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D，
∴设点D（﹣1，y），
∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2，
∴D（﹣1，2），
∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD；
（3）存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
∵顶点坐标为C（﹣1，0），
∴对称轴为直线x＝﹣1，
过点A作AE⊥CD于点E，
在Rt△ACE中，．
①当AQ＝CQ时，设CQ＝m，
在Rt△AEQ中，AE2+EQ2＝AQ2
∴22+（4﹣m）2＝m2
解之得
∴；
②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE＝QE＝4，
∴CE＝2CE＝8，
∴Q2（﹣1，8）；
③当CA＝CQ时，，
∴，．
综上所述：点Q的坐标为或（﹣1，8）或或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
13．（2024 东营区校级四模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；分类讨论；数据分析观念．
【答案】（1）C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0）；（2）M坐标（，）；（3）点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【分析】（1）在抛物线解析式中，令x＝0可求得点C坐标，令y＝0则可求得A、B的坐标；
（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM面积最大值时t的值，可求得点M坐标；
（3）由（2）可知点N坐标，设点Q坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m的方程，可求出m的值，可求得点Q坐标．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则y﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴B（3，0）；
（2）设BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t）2，
t时，PM最大，
此时点M坐标（，）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（，0），
∴CN，CQ，
NQ，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2＝NQ2
即（）2+（m2﹣6m+10），解得：m，
此时点Q坐标为（1，），
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2＝CN2，
即（m2﹣6m+10）（）2，解得：m1，m2，
此时点Q坐标为（1，）或（1，），
③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2＝CQ2，
即（）2（m2﹣6m+10），解得：m，
此时点Q坐标为（1，），
综上所述，点Q坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
14．（2024 凉州区三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2），对称轴为直线x，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，（1）求抛物线与直线BC的函数解析式；
（2）设点M的坐标为（m，0），求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值；
（3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由已知对称轴可得ba，再将点B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，即可求二次函数的解析式，再由待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）求出P、N的坐标，然后求出PN和PN的中点坐标，根据圆与y轴线切的条件，可得|m|PN，列出方程求出m即可；
（3）由题意可知△PCN是直角三角形，分两种情况求解：①当∠PCN＝90°时，过点N作EN⊥y轴交于点E，证明△OBC∽△ECN，再由边的比例关系求出m的值；②当∠CNP＝90°时，CN∥x轴，可得N点纵坐标为﹣2，由此可求m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x，
∴，
∴ba，
∴y＝ax2ax+c，
将点B（3，0），C（0，﹣2）代入，
∴，
∴，
∴yx2x﹣2，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴yx﹣2；
（2）∵点M的坐标为（m，0），PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣2），N（m，m2m﹣2），
∴PN＝Py﹣Nym2+4m，P、N的中点为（m，m2m﹣2），
∵以PN为直径的圆与y轴相切，
∴|m|PN＝|m2+2m|，
∴m或m；
（3）存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，理由如下：
∵∠PMB＝90°，∠MPB＝∠CPN，
∴当得△CPN与△BPM相似时有两种情况：
①当∠PCN＝90°时，
过点N作EN⊥y轴交于点E，
∵∠PCN＝90°，
∴∠OCB+∠ECP＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠ECP＝∠OBC，
∴△OBC∽△ECN，
∴，
∴，
∴m，
∴P（，）；
②当∠CNP＝90°时，CN∥x轴，
∴N点纵坐标为﹣2，
∴m2m﹣2＝﹣2，
∴m，
∴P（，）；
综上所述：P点的坐标为（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，圆与直线的位置关系是解题的关键．
15．（2024 双辽市期末）已知抛物线y＝ax2+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）
（1）求这个函数的关系式；
（2）当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．
（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y＝ax2+b得
，解得
所以这个函数的关系式为y＝﹣3x2+9；
（2）∵这个函数的关系式为y＝﹣3x2+9；
∴对称轴x＝0，
∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式．
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