23.2中心对称（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 中心对称
一．选择题（共5小题）
1．（2024 长垣市期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 昭通期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
3．（2024 东营期末）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024 蓬江区校级二模）若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞3 B．0＜m＜3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
5．（2024春 肥乡区期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
二．填空题（共5小题）
6．（2024 阿荣旗期末）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
7．（2024 德城区期末）点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
8．（2024 中山市模拟）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 　 　．
9．（2024 巴南区期末）已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a﹣b的值为 　 　．
10．（2024 伊通县期末）若点A（m，1）与B（﹣3，n+1）关于原点中心对称，则（m+n）2023的值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新民市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　 　；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 　 　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
12．（2024春 大祥区期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
13．（2024 龙亭区一模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC，求AB的长．
14．（2024春 保定期末）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
15．（2024 于都县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．
（1）图中点B的坐标是 　 　；
（2）点B关于原点对称的点D的坐标是 　 　；点A关于y轴对称的点C的坐标是 　 　；
（3）四边形ABCD的面积是 　 　；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为 　 　．
新课预习衔接 中心对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 长垣市期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（2024 昭通期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
3．（2024 东营期末）在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，
∴，
解得，
∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．
4．（2024 蓬江区校级二模）若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞3 B．0＜m＜3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
【考点】关于原点对称的点的坐标；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；平面直角坐标系；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【解答】解：点P（﹣m，m﹣3）关于原点的对称点为（m，3﹣m），
∵（m，3﹣m）在第二象限，
∴，
解得m＜0，
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
5．（2024春 肥乡区期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【考点】中心对称．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】根据中心对称的性质：“成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分．”，连接BE和CF，其交点即为对称中心．
【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，
根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．
故选C．
【点评】本题考查中心对称的性质，知道“成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分”，是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 阿荣旗期末）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
7．（2024 德城区期末）点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是 　（1，﹣2）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，2），
∴点A关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限．
8．（2024 中山市模拟）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 　　．
【考点】中心对称；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】．
【分析】作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，则PE+QE的最小值为P′Q，证明出△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，利用勾股定理求出P′Q和PQ即可．
【解答】解：如图，作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，
∴P′E＝PE，
∴PE+QE的最小值为P′Q，
∴△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，
作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，
∵AP＝3，
∴P′A＝3＝FB，
∵点O是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点O，
∴AP＝CQ＝3，
∵BC＝8，
∴BQ＝5，
∴FQ＝8，
∵P′F＝AB＝6，
∴P′Q＝10，
∵PH＝AB＝6，HQ＝5﹣3＝2，
∴，
∴△EPQ周长的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
9．（2024 巴南区期末）已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a﹣b的值为 　4　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】4．
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征得到a＝3，b＝﹣1，从而得到a﹣b的值．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴a﹣b＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
10．（2024 伊通县期末）若点A（m，1）与B（﹣3，n+1）关于原点中心对称，则（m+n）2023的值为 　1　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据点A（m，1）与B（﹣3，n+1）关于原点中心对称可得m＝3，﹣1＝n+1，进而即可求解．
【解答】解：∵点A（m，1）与B（﹣3，n+1）关于原点中心对称，
∴m＝3，﹣1＝n+1，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴（m+n）2023＝（3﹣2）2023＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024 新民市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 　4　；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 　（﹣4，﹣3）　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）（﹣4，﹣3）；
（3）（10，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于原点对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
12．（2024春 大祥区期末）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A﹣D﹣B﹣C﹣A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
13．（2024 龙亭区一模）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC，求AB的长．
【考点】中心对称；平行线的性质；旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）∠ABC＝∠BEC，理由见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝BE，可得∠BCE＝∠BEC，由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCE＝∠BEC；
（2）过点D作DF⊥CE于点E，由旋转的性质可得AC＝DE，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，可证△BCE是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得CE＝BC＝10，即可得BD＝AB的长．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
∴CFCD＝1，DFCF，
在Rt△DEF中，EF4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的长为3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
14．（2024春 保定期末）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
【考点】中心对称图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据知识背景即可求解；
（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．
【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：＝．
【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．
15．（2024 于都县期末）如图，在直角坐标系内，已知点A（﹣1，0）．
（1）图中点B的坐标是 　（﹣3，4）　；
（2）点B关于原点对称的点D的坐标是 　（3，﹣4）　；点A关于y轴对称的点C的坐标是 　（1，0）　；
（3）四边形ABCD的面积是 　8　；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC．那么点F的坐标为 　（0，﹣3）或（0，1）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系．
【答案】（1）（﹣3，4）；
（2）（3，﹣4），（1，0）；
（3）8；
（4）（0，﹣3）或（0，1）．
【分析】（1）根据坐标的意义即可得出点B的坐标；
（2）根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点B关于原点对称的点D的坐标，同理根据关于y轴对称的两个点坐标之间的关系得出点A关于y对称点C的坐标；
（3）平行四边形ABCD的面积等于三角形ABD面积的2倍，根据坐标可求出三角形ABD的面积；
（4）三角形ABC的面积等于平行四边形ABCD面积的一半，也等于三角形ABD的面积，根据面积公式求出OF的长即可．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点D（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣1，0）关于y轴对称点C（1，0），
故答案为：（3，﹣4），（1，0）；
（3）S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝22×4＝8，
故答案为：8；
（4）设点F的坐标为（0，y），
因为S△ABCS平行四边形ABCD＝4＝S△ADF，
所以﹣1﹣y＝|2|，
解得y＝﹣3或1，
所以点F（0，﹣3）或（0，1），
故答案为：（0，﹣3）或（0，1）．
【点评】本题考查点的坐标，关于x轴、y轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
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