2024-2025北师大九年级数学上 1.3正方形的性质与判定 题型专题训练（含解析）

1.3正方形的性质与判定
题型一 利用正方形的性质求角度
1．如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形的外侧作等边，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知正方形通过逆时针旋转得到正方形，，则旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正六边形的顶点分别在正方形的边上，则的度数为 ．
5．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，延长交于点．若，求的度数．
题型二 利用正方形的性质求线段长
1．小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图（1）所示的菱形，其中，然后调整为图（2）所示的正方形，此时对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
2．如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将一块边长为正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．
4．如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ．
5．如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
(1)求的度数；(2)若，求的长．
题型三利用正方形的性质求面积
1．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（ ）
A．25 B．28 C．33 D．36
2．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ．
4．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
5．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．
题型四 利用正方形的性质解决折叠问题
1．如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ．
题型五 利用正方形的性质证明
1．如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形．
2．如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
求证：；(2)求的度数．
4．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．
（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）若DE＝2.5cm，EF＝1.7cm，求BF的长．
题型六 添加一个条件证明正方形
1．如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，，交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（ ）个．
①添加“”，则四边形是菱形
②添加“”，则四边形是矩形
③添加“”，则四边形是菱形
④添加“”，则四边形是正方形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形．
5．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可
题型七 正方形的判定条件判断
1．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
2．下列命题为真命题的个数有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形
4．下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ）
A．当时，是菱形 B．当时，是菱形
C．当时，是矩形 D．当时，是正方形
题型八 正方形判定的证明
1．如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形．
2．如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形．
3．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H．求证：四边形AFGH是正方形．
4．已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
题型一 利用正方形的性质求角度
1．如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先证明为等腰三角形，等边对等角求出的度数，角的和差关系求出的度数即可．
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∵在正方形的内部，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形的外侧作等边，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方形和等边三角形的性质，求出相关角的度数，再根据等腰三角形的性质计算的度数．本题主要考查正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些图形的性质，通过角度的计算求解是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，，
∴ ．
同理， ．
∵，
∴ ．
故选：B．
3．如图，已知正方形通过逆时针旋转得到正方形，，则旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，根据正方形性质得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形通过逆时针旋转得到正方形，
∴，
∵，
∴，
∴旋转角为，
故选：C．
4．如图，正六边形的顶点分别在正方形的边上，则的度数为 ．
【答案】【分析】本题考查了正多边形的内角问题和正方形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先求出正六边形的内角，再求出，最后由直角三角形锐角互余即可求解．
【详解】解：正六边形的内角的度数
则，
∵正方形，
，
故答案为：．
5．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，延长交于点．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意得到，证明，求出，即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，是对角线上一点，
．
又，
．
．
．
题型二 利用正方形的性质求线段长
1．小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图（1）所示的菱形，其中，然后调整为图（2）所示的正方形，此时对角线，则图（1）中菱形的对角线的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出，证明是等边三角形，得到，连接，求出，即可得到答案．
【详解】解：在正方形中，，
，
在菱形中，，
是等边三角形，
，
如图，连接，
，
，
，
故选：C
2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，根据旋转的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵在正方形中，，为的中点，
∴，，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
故选：D．
3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，将一块边长为正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出．
【详解】解：过点作于点，
由折叠得到，
，
又，
，
，
，
则，，
．
故选：B．
4如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．当点P运动到中点时，长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，连接，由正方形的性质得到，，则；证明四边形是矩形，得到，当点P运动到中点时，此时，则．
【详解】解；如图所示，连接，
∵四边形是正方形，且边长为2，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当点P运动到中点时，此时，
∴，
故答案为：．
5．如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知正方形的性质是解题的关键．
（1）由正方形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案；
（2）利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型三利用正方形的性质求面积
1．如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（ ）
A．25 B．28 C．33 D．36
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，设正方形边长为a，则，再根据建立方程求解即可．
【详解】解：设正方形边长为a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为28，
故选：B．
2．如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，由四边形，四边形是正方形，得，，然后通过即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴
，
故选：．
3．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决．
【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，
四边形是正方形，
所以，，．
．
又，
．
．
．
正方形边长为2，
正方形面积，
．
所以阴影部分面积为1．
故答案为1．
4．如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．证明，得到，计算即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
5．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
同理可得，
∴，
故答案为：．
题型四 利用正方形的性质解决折叠问题
1．如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，设的长度为．利用正方形的性质推导出，，在中，，代入数据解答即可．
【详解】解：设的长度为．
四边形是正方形，
．
是的中点，
．
，
．
在中，，
．
．
．
故选：D．
2．如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；在直角中，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
，
设，则．
为中点，，
，
在中，根据勾股定理，得：，
解得．
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的翻折问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
3．如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上性质是解题的关键．
根据折叠的性质可得，，根据正方形的性质及已知条件，可得到，进而利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
【详解】解：四边形是正方形，，
，，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
在中，设，则，
，
，
，
．
故选：D．
4．如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的不变性是解题的关键．
由图形折叠可得，，而正方形的边长为3，，求出，，在直角中，运用勾股定理求出，再求出．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
由图形折叠可得，，，
∴，
∴点共线，
，
，，，
在中，
，
，
解得，
．
故答案为：．
题型五 利用正方形的性质证明
1．如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题的关键是通过证明三角形全等得出四边形的四条边相等．
【详解】证明：如解图，连结交于点，
∵四边形是正方形，
，
，
，
根据正方形的性质可知，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
根据正方形的性质可知，
∴四边形是菱形．
2.如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由正方形得到，，然后根据互余关系以及等腰三角形的判定与性质即可求证；
（2）连接，证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）证明：连接
在和中
∴
∴．
3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等角对等边等知识．
（1）利用证明，即可得；
（2）根据等边三角形的性质和正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，同理可得的度数，再根据周角的定义可得答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
4．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）若DE＝2.5cm，EF＝1.7cm，求BF的长．
【答案】【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，根据同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADE，然后利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AF＝DE，FB＝AE，然后根据AF＝EF+AE等量代换即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠DEA＝90°，
∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵DE＝2.5cm，EF＝1.7cm，EF＝1.7cm，
∴AE＝AF﹣EF＝2.5﹣1.7＝0.8cm，
∴BF＝AE＝0.8cm．
题型六 添加一个条件证明正方形
1．如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的判定，根据对角线相等的菱形是正方形，即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴菱形是正方形．
故选：A．
2．如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用矩形的性质进一步得出，再根据三角形中位线的判定和性质得出四边形是菱形，再证明为等腰直角三角形，进而可得出，即可证明四边形是正方形．
【详解】解：添加的条件可以是，理由如下∶
∵点E是的中点，
∴，
∵是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点G、F、H分别是、、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，点E是的中点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是正方形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识，掌握正方形的判定是解题的关键．
3．如图，在四边形中，，，交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（ ）个．
①添加“”，则四边形是菱形
②添加“”，则四边形是矩形
③添加“”，则四边形是菱形
④添加“”，则四边形是正方形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，先说明是的垂直平分线，可得，再证明，可得判断①；当时，无法证明四边形是矩形，说明②即可；然后证明四边形是平行四边形，再根据，可得四边形是菱形，判断③；接下来结合已知说明，可得四边形是菱形，进而得出菱形是正方形，判断④ 即可．
【详解】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
当时，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．故①正确；
当时，无法证明四边形是矩形，所以②不正确；
当时 ，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．所以③正确；
当时，，
∴，
由①得四边形是菱形，
∵，
∴菱形是正方形．所以④正确．
综上所述，错误的有1个．
故选：B．
4．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）．
5．如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 添加一个条件即可
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件．
【详解】解：点D，E，F分别是边的中点，
，且，，且，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
添加的条件可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
题型七 正方形的判定条件判断
1．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【分析】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
根据特殊四边形的判定定理逐一分析选项，排除错误选项，确定正确答案．
【详解】A． 一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，而选项中另一组对边仅“相等”不满足条件（如等腰梯形），故为假命题．
B． 对角线互相平分的四边形是平行四边形，需对角线相等才是矩形，选项缺少“对角线相等”条件，故为假命题．
C． 菱形的判定需对角线互相垂直且平分，或四边相等．选项仅满足一组对边相等和对角线垂直，无法保证是菱形，故为假命题．
D． 三个角为直角说明四边形是矩形，而矩形对角线互相垂直时必为正方形，故为真命题．
故选：D．
2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列命题为真命题的个数有（ ）
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，根据各自的判定定理一一判定即可．
【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形无法判断，则该命题是假命题，
②如下图：
因为点H，点E分别为，的中点，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
同理，，，
∴，
∴四边形为菱形，
则顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是菱形，故该命题是假命题，
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，是假命题，
④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，满足正方形的判定定理，是真命题，
故选：A．
3．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定判断即可．
【详解】解：A、对角线平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以C选项错误；
D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确．
故选：D．
4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵平行四边形，，
∴平行四边形为矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形；故选项A不符合题意；
∵平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴；不能判断平行四边形是正方形，故选项B符合题意；
∵∵平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∵
∴平行四边形为正方形；故选项C不符合题意；
∵平行四边形，，
∴平行四边形为矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形；故选项D不符合题意；
故选B．
5．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
【答案】D
【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项．
【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意；
D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意；
故选D．
题型八 正方形判定的证明
1．如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定等知识，先利用平行四边形的性质得到，从而证明四边形是矩形，再结合即可得证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
2．如图，在矩形中，点M是对角线上一点，于点E，于点F，．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定．熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
3．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H．求证：四边形AFGH是正方形．
【答案】见解析
【分析】根据垂线的定义，可得∠AFG，∠FGH，∠AHG，根据矩形的判定，可得AHGF的形状，根据余角的性质，可得∠DAF与∠HAB，根据全等三角形的判定与性质，可得AH与AF的关系，根据正方形的定义，可得答案．
【详解】证明：∵过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H，
∴∠AFG＝∠FGH＝∠AHG＝90°，
∴四边形AFGH是矩形．
∵∠DAF+∠FAE＝90°，∠HAB+∠FAE＝90°，
∴∠DAF＝∠BAH．
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD．
在△AFD和△AHB中，
，
∴△AFD≌△AHB（AAS），
∴AF＝AH，
∴四边形AFGH是正方形．
4．已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
【答案】见解析
【分析】根据正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，求出∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，证△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，根据全等三角形的性质推出AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝HAD，求出∠HAK＝∠BAD＝90°，根据正方形的判定得出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，
∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，
∵DH＝CE，BK＝CE，
∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，
在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中
∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝HAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠HAK＝∠HAD+∠DAK＝∠BAK+∠DAK＝∠BAD＝90°，
∴四边形AKFH为正方形．