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3.2.2函数的奇偶性---课后调研检测--解析版
一、单选题
1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解.
【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误；
对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误；
对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确；
对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误.
故选：C.
2．设函数，则“”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件、必要条件的概念结合偶函数的定义即可判断；
【详解】当时，，，为偶函数，
当是偶函数时，由，
即恒成立，
可得：恒成立，即，
所以“”是“是偶函数”的充要条件，
故选：C.
3．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以；
是定义在上的偶函数，所以，
则，所以为奇函数，故A错误；
，所以为偶函数，故B错误；
，则为非奇非偶函数，故C错误；
，故为偶函数，故D正确.
故选：D
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶函数的性质即可求解.
【详解】当时，，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
故选：C
5．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，图乙函数是偶函数，与图甲对照，y轴左侧图象相同，右侧与左侧关于y轴对称，对选项一一利用排除法分析可得答案．
【详解】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数，
对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错；
对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错．
对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错；
故选:C
6．设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可.
【详解】设，，
则，所以函数为奇函数，
则，即.
故选：D.
二、多选题
7．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．若在上单调递增，则当时，
D．若在上单调递减，则当时，
【答案】ACD
【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断AB；根据奇函数的图象关于原点对称判断C；根据偶函数的图象关于对称判断D.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，.
A. 设，则，所以是奇函数，故正确；
B. 设，则，所以不是偶函数，故错误；
C. 因为函数是定义在上的奇函数，所以其图象关于原点对称，若在上单调递增，则在上单调递增，当时，，正确；
D. 因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称，若在上单调递减，则在上单调递增，当时，，正确.
故选：ACD.
8．若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】ABD
【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D.
【详解】函数的定义域都为，
对于A，因为，所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确；
对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误；
对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
【答案】0
【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以．
10．若函数是奇函数，则 ．
【答案】3
【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再求分段函数值即可.
【详解】因为函数为奇函数，所以，
设，则，所以，
所以，则，
所以.
故答案为：3
四、解答题
11．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数性质求对称区间的解析式，及奇函数满足，即得答案；
（2）求两个分段的二次函数值域，再求三段值域的并集即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，
由题，
当，
，
所以，
（2）在单调递增，
所以
在单调递增，
所以，
又因为，
所以的值域为.
12．设函数的定义域为，且满足，，又当时，．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对于奇偶性，利用赋值法找到与关系；
（2）证明单调性根据定义设，，比较与大小；
（3）解不等式先利用已知求出，再结合函数单调性求解.
【详解】（1）令，得，．
令，则，
即，
，
即函数是奇函数；
（2）设，，，
在上是增函数；
（3），，
，
由单调性得，解得．故不等式解集为
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3.2.2函数的奇偶性---课后调研检测--试题版
【1】检测要点
1.奇偶性的定义.2.奇偶性的判断和证明.3.奇、偶函数图象的对称性．4.用奇偶性求解析式 5.奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．
【2】检测记录（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
一、单选题
1．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B．
C． D．
2．设函数，则“”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
5．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数
B．是偶函数
C．若在上单调递增，则当时，
D．若在上单调递减，则当时，
8．若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是奇函数
三、填空题
9．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
10．若函数是奇函数，则 ．
四、解答题
11．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
12．设函数的定义域为，且满足，，又当时，．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【4】备查知识
1.函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
2. 函数奇偶性的定义
①偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
②奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
3.奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
4.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
5.利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
6. 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
7.奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
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