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3.4函数的应用一--解析版
一．单选题
1．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
【答案】D
【分析】设在元的基础上提高元，得到，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】设在50元的基础上提高元，每月的月利润为，
则与的函数关系式为，
其图象的对称轴为直线，故每件商品的定价为70元时，月利润最高．
故选D
2．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定.
【详解】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是).
对应的值都是5，
以后每价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B.
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【答案】D
【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果.
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
5．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t的函数关系如图所示.下列说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度保持稳定；
③第三年后产量增长的速度保持稳定；
④第三年后，年产量保持不变；
⑤第三年后，这种产品停止生产.
其中说法正确的是（ ）
A．②⑤ B．①③ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】总产量C与时间t的函数是分段函数，按前三年与三年后两段图象的特征分别分析即可得解.
【详解】观察函数图象知，在区间上图象是线段，直线上升，表明年产量增长的速度保持不变，②正确；
在区间上图象是线段，却是水平的，表明总产量停留在第三年末的总产量上未变，第三年后的年产量为0，即产品停止生产，⑤正确.
故选：A
6．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
【答案】D
【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可
【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
二、多选题
7．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
8．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
【答案】BC
【分析】根据已知条件，结合图象，以及一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确，
当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确，
当40≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），
则，故当时，
y与x的关系式为，故D错误．
故选：BC
三、填空题
9．我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，函数有最大值，当时，函数值为，
所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量大于，
当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于，
故答案为：.
10．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有
①取得最大值时每月产量为台；
②边际利润函数的表达式为
③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.
【答案】②③④
【分析】对于①，表达出，根据单调性得到取得最大值时每月产量为台或台；对于②，计算出，②正确；对于③，计算出，；对于④，根据为减函数，得到④正确.
【详解】对于①，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，①错；
对于②，
，②对；
对于③，，
因为函数为减函数，则，③对；
对于④选项，因为函数为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对.
故答案为：②③④.
解答题
11．如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）作于点，连接，根据求出，从而可写出梯形的周长y和腰长x之间的函数关系式；
（2）根据二次函数求最值即可求出梯形周长的最大值.
【详解】（1）作于点，连接，因为是半圆的直径，所以，
易知，所以，所以，
又因为，，
所以，
所以，
因为，，所以，
所以.
（2）因为，，
所以时，有最大值，且最大值为，
所以当时，梯形的周长最大，最大为.
12．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求：
(1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数；
(2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解.
（2）根据条件列不等式，解不等式时要注意.
【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得，
故.
所以利润表示为月产量的函数为.
（2）当时，，令，解得；
当时，，令，解得，所以，
所以月产量的取值范围是．
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3.4函数的应用一---课后调研检测--试题版
【1】检测要点
1.一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的应用，
2运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
【2】检测记录（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
1．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
2．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A． B．
C． D．
3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t的函数关系如图所示.下列说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度保持稳定；
③第三年后产量增长的速度保持稳定；
④第三年后，年产量保持不变；
⑤第三年后，这种产品停止生产.
其中说法正确的是（ ）
A．②⑤ B．①③ C．①④ D．②④
6．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
二、多选题
7．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
8．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
三、填空题
9．我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车.
10．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的有
①取得最大值时每月产量为台；
②边际利润函数的表达式为
③利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
④边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.
解答题
11．如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
12．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求：
(1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数；
(2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围．
【4】备查知识
1. 一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
2. 二次函数模型
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．③两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
3. 幂函数模型
1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．
2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．
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