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4.4.3不同函数的增长差异--课后调研检测--试题版
【1】检测要点
1.函数增长快慢比较的常用方法；2.影响函数增长快慢的因素；3.比较函数值得大小；
4.几种增长函数模型的应用．
【2】检测记录（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．已知，则对任意的，
C．对任意的，
D．不一定存在，当时，总有
3．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．当时，函数均为增函数
B．当时，的增长速度一直快于
C．当时，的增长速度一直快于
D．当时，的增长速度一直快于
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
5．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．当时，，则a的取值范围是
A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)
二、多选题
7．函数，在区间上（ ）
A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢
C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度
8．甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，甲在最前面
B．当时，丁在最前面，当时，丁在最后面
C．丙不可能在最前面，也不可能在最后面
D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲
三、填空题
9．已知函数，，（且），给出下列四个结论：
①当时，对，函数的图象恒在函数的图象上方；
②当时，函数与的图象有两个交点；
③，当时，恒有；
④，方程，，都有解．
其中正确结论的序号是 ．
10．三个变量随变量变化的数据如下表：
其中关于呈指数增长的变量是 .
四、解答题
11．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；
12．为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：
建立平台年数x 1 2 3
会员人数y（千人） 14 20 29
为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．
(1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；
(2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值．
参考数据：，，．
【4】备查知识
“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.
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4.4.3不同函数的增长差异--课后调研检测-解析版
1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数．
2．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．已知，则对任意的，
C．对任意的，
D．不一定存在，当时，总有
【答案】D
【分析】根据题意，结合结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，一一判断即可.
【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；
对于选项B，取，此时，故B错误；
对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错；
对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确.
故选：D.
3．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．当时，函数均为增函数
B．当时，的增长速度一直快于
C．当时，的增长速度一直快于
D．当时，的增长速度一直快于
【答案】A
【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案.
【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示，
结合图象，当时，函数均为增函数，A正确；
当时，的增长速度不是一直快于，B错误；
当时，的增长速度不是一直快于，C错误；
当时，的增长速度不是一直快于，D错误．
故选：A
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
【答案】D
【分析】由题意，将表格中的数据代入选项检验，即可求解．
【详解】解：由表格中数据知,
选项当时, ,
选项当时,,
选项当时,,
选项：都满足；
故选：D.
5．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数和一次函数的图象与性质，画出草图，求出交点，即可解出.
【详解】作出与的图象如图所示，
则对数函数与一次函数交于点，
所以的图象位于的图象下方时的取值范围为．
故选：A.
6．当时，，则a的取值范围是
A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)
【答案】B
【分析】分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】当时，显然不成立.
若时
当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.
【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.
二、多选题
7．函数，在区间上（ ）
A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢
C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度
【答案】ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得.
【详解】作出三个函数在区间上的图象，
根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上，
的递增速度越来越快，故A正确；
的递减速度越来越慢，故B正确；
的递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度快于的递减速度，故D错误，
故选：ABC.
8．甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，甲在最前面
B．当时，丁在最前面，当时，丁在最后面
C．丙不可能在最前面，也不可能在最后面
D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，所以A错误；对于B，根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当时，甲、乙、丙、丁四个物体的位置重合，从而可知，当时，丁在最前面，当时，丁在最后面，所以B正确；对于C，结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，所以C正确；对于D，指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确
三、填空题
9．已知函数，，（且），给出下列四个结论：
①当时，对，函数的图象恒在函数的图象上方；
②当时，函数与的图象有两个交点；
③，当时，恒有；
④，方程，，都有解．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】③④
【分析】对于①.取可判断；对于②. 当时，由结合函数图像可判断；对于③根据指数对数和幂函数的图像的增减性可判断；对于④作出函数图像可判断.
【详解】对于①.取 ，则满足
满足
所以此时，不满足函数的图象恒在函数的图象上方，故①不正确.
对于②. 当时，函数,
,作出函数,的图像
根据图像可得，在时，函数,有1个交点.
所以当时，函数与的图象有三个交点，故②不正确.
对于③. 当时，的图像在轴下方；的图像在轴上方.
此时显然满足条件.
当时，对于对数函数和幂函数，
在区间，随着的增大，增长得越来越慢，图象就像与轴平行一样．
尽管在的一定变化范围内，可能会大于，但由于的增长快于的增长，
因此总存在一个，当时，就会有成立，故③正确.
对于④. ,在同一坐标系中作出函数，，的图像
如图函数，，两两都分别有交点，
所以方程，，都有解，故④正确.
故答案为：③④
10．三个变量随变量变化的数据如下表：
其中关于呈指数增长的变量是 .
【答案】
【解析】呈指数增长的变化快．
【详解】指数增长为快速增长，因此，中呈指数增长的变量是.
故答案为：．
【点睛】本题考查指数函数的性质，一般增长问题如果是呈指数增长，那么变化速度会很快．
四、解答题
11．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；
【答案】
【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可.
【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.
12．为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：
建立平台年数x 1 2 3
会员人数y（千人） 14 20 29
为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．
(1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；
(2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值．
参考数据：，，．
【答案】(1)选择模型③，理由见解析，，
(2)14
【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得；
（2）由得，利用对数的运算可得，进而可得.
【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快．
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③．
将数据代入可得，解得
所以，函数为，．
（2）由（1）知，
则．得，
故t的最小值为14．
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