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4.5.1函数的零点与方程的解--课后调研检测--解析版
一、单选题
1.已知是函数的零点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性及零点,值域,指对数转化分别计算判定各个选项
【详解】均为单调增函数,故为单调增函数;
对A:因为,故,故A错误;
对B:因为,故,两边取对数可得,故B正确;
对C:,故,则,则,故C错误;
对D:因为,故,则,故D错误.
故选:B.
2.“”是“函数存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用函数零点的意义求出函数存在零点的充要条件,再结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】令得,
“有零点”等价于“有解”,
因为,所以,
所以,函数存在零点的充要条件是
故“”是“函数存在零点”的充分不必要条件.
故选:A.
3.已知函数.在下列区间中,包含零点的区间是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】分别计算各选项区间端点处的函数值,判断其乘积是否小于,再根据零点存在性定理和单调性判定.
【详解】当时, 在上恒成立,这表明函数在上没有零点,故A选项错误.
在,,连续,且单调递减,下面证明:
设,则.
对其进行化简:
,
因为,所以,,,,那么.
所以,即,也就是.
根据函数单调性的定义,函数在上是减函数.
当时,,当,,
当,,当,.
根据函数零点存在定理可知,可以判定函数在区间内有一个零点,故C选项正确.
在区间, 没有零点,故B选项错误.
在区间,也没有零点,故D选项错误.
故选:C
4.已知函数,若,且,则( )
A. B. C. D.或
【答案】B
【分析】判断函数的单调性,继而结合零点存在定理列出相应不等式组,即可求得答案.
【详解】由于在R上均单调递增,故函数在R上单调递增,
又,且,则,解得.
故选:B
5.若函数与直线恰有三个交点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】画出函数的图象,结合图像求解即可.
【详解】画出的图象,
由图象可知a的范围是.
故选:D
6.函数在上有零点,则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】转化为二次方程根的分布求解,按方程的判别式分三大类讨论;当时,再按区间端点处函数值是否为0及符号分类讨论可得.
【详解】对于函数,开口向上,对称轴为,
令,由题意得方程在区间内有根.
,
当,即时,没有零点,不符合题意;
当,即或时,
当时,,零点为,,不符合题意;
当时,,零点为,,符合题意;
当,即或时,方程有两个不相等的根,
由题意方程至少有一个根在区间内.
① 若,解得,
此时,故零点为0或,符合题意;
② 若,解得,同上成立;
③若,要使函数在有零点,
,又,即;
综上可得 .
故选:D.
二、多选题
7.若函数只有一个零点,则实数a的值为( )
A. B.1 C.2 D.0
【答案】BC
【详解】当时,,显然成立;当时,则,解得.
8.已知函数,若方程有三个不相等的实根,,,则下列选项正确的有( )
A.
B.
C.
D.方程有三个不相等的实数根
【答案】BCD
【分析】根据方程有三个不相等的实根计算判断各个选项即可.
【详解】由函数,作出图象:
若方程有三个不相等的实根,,,
因为,所以,所以,
所以,所以,
所以当时方程有一个不相等的实根,则,
又因为关于对称,
所以,且,
则,
因为时,,因此可以取到1,所以A错误;
则,所以B正确;
又因为,所以,所以,,知,所以C正确,
当方程有三个不相等的实根时,,则,所以D正确.
故选:BCD.
三、填空题
9.已知是函数的零点,则 .
【答案】
【分析】根据零点定义可得,根据,代入化简即可得解.
【详解】因为是函数的零点,
所以,所以,
所以.
故答案为:
10.若函数与直线恰有三个交点,则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由对数函数和二次函数的单调性及端点值可画出分段函数的图象,若函数与直线恰有三个交点,则,由此可得出答案.
【详解】当时,,此时,在上单调递减;
当时,,此时,在上单调递增;
当时,,对称轴为,
故在上单调递增,又,画出函数的图象如图所示:
由图象可知,若函数与直线恰有三个交点,则,即.
故答案为:.
四、解答题
11.关于的方程,求为何值时?
(1)方程有唯一实根;
(2)方程一根大于1,一根小于1.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)令,当和时分情况讨论即可求解;
(2)方程一根大于1,一根小于1,必须满足或解出即可.
【详解】(1)令.
当时,方程变为,即,符合题意;
当时,,.
所以当或时,方程有唯一实根.
(2)因为方程有一根大于1,一根小于1.大致图象如图⑤,⑥.
所以必须满足或解得.
所以当时,方程有一根大于1,一根小于1.
12.设常数,函数.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)当时,求函数的零点.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由,列出等式求解即可;
(2)由解方程即可;
【详解】(1)由题意知:函数的定义域为,
是奇函数,,即,
即,整理可得:.
(2)若,则,
,
.
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4.5.1函数的零点与方程的解--课后调研检测--试题版
【1】检测要点
1.零点的概念,2.存在性的判定;3.零点与方程根的联系.
【2】检测记录(批改一栏可以打”√”或”×”,不会做可以画”O”)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
一、单选题
1.已知是函数的零点,则( )
A. B.
C. D.
2.“”是“函数存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数.在下列区间中,包含零点的区间是 ( )
A. B. C. D.
4.已知函数,若,且,则( )
A. B. C. D.或
5.若函数与直线恰有三个交点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.函数在上有零点,则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题
7.若函数只有一个零点,则实数a的值为( )
A. B.1 C.2 D.0
8.已知函数,若方程有三个不相等的实根,,,则下列选项正确的有( )
A.
B.
C.
D.方程有三个不相等的实数根
三、填空题
9.已知是函数的零点,则 .
10.若函数与直线恰有三个交点,则的取值范围是 .
四、解答题
11.关于的方程,求为何值时?
(1)方程有唯一实根;
(2)方程一根大于1,一根小于1.
12.设常数,函数.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)当时,求函数的零点.
【4】备查知识
1.函数的零点
(1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
2.函数零点存在定理
(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0.
(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
[常用结论]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
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