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4.5.1函数的零点与方程的解--课后调研检测--解析版
一、单选题
1．已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性及零点，值域，指对数转化分别计算判定各个选项
【详解】均为单调增函数，故为单调增函数;
对A：因为，故，故A错误;
对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确;
对C：，故，则，则，故C错误;
对D：因为，故，则，故D错误．
故选：B．
2．“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先利用函数零点的意义求出函数存在零点的充要条件，再结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】令得，
“有零点”等价于“有解”，
因为，所以，
所以，函数存在零点的充要条件是
故“”是“函数存在零点”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别计算各选项区间端点处的函数值，判断其乘积是否小于，再根据零点存在性定理和单调性判定.
【详解】当时， 在上恒成立，这表明函数在上没有零点，故A选项错误.
在，，连续，且单调递减，下面证明：
设，则.
对其进行化简：
，
因为，所以，，，，那么.
所以，即，也就是.
根据函数单调性的定义，函数在上是减函数.
当时，，当，，
当，，当，.
根据函数零点存在定理可知，可以判定函数在区间内有一个零点，故C选项正确.
在区间， 没有零点，故B选项错误.
在区间，也没有零点，故D选项错误.
故选：C
4．已知函数，若，且，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增，
又，且，则，解得.
故选：B
5．若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数的图象，结合图像求解即可.
【详解】画出的图象，
由图象可知a的范围是.
故选：D
6．函数在上有零点，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为0及符号分类讨论可得.
【详解】对于函数，开口向上，对称轴为，
令，由题意得方程在区间内有根.
，
当，即时，没有零点，不符合题意；
当，即或时，
当时，，零点为，，不符合题意；
当时，，零点为，，符合题意；
当，即或时，方程有两个不相等的根，
由题意方程至少有一个根在区间内.
① 若，解得，
此时，故零点为0或，符合题意；
② 若，解得，同上成立；
③若，要使函数在有零点，
，又，即；
综上可得 .
故选：D.
二、多选题
7．若函数只有一个零点，则实数a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】BC
【详解】当时，，显然成立；当时，则，解得．
8．已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．方程有三个不相等的实数根
【答案】BCD
【分析】根据方程有三个不相等的实根计算判断各个选项即可.
【详解】由函数，作出图象：
若方程有三个不相等的实根，，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以当时方程有一个不相等的实根，则，
又因为关于对称，
所以，且，
则，
因为时，，因此可以取到1，所以A错误；
则，所以B正确；
又因为，所以，所以，，知，所以C正确，
当方程有三个不相等的实根时，，则，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
9．已知是函数的零点，则 .
【答案】
【分析】根据零点定义可得，根据，代入化简即可得解.
【详解】因为是函数的零点，
所以，所以，
所以.
故答案为：
10．若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由对数函数和二次函数的单调性及端点值可画出分段函数的图象，若函数与直线恰有三个交点，则，由此可得出答案.
【详解】当时，，此时，在上单调递减；
当时，，此时，在上单调递增；
当时，，对称轴为，
故在上单调递增，又，画出函数的图象如图所示：
由图象可知，若函数与直线恰有三个交点，则，即.
故答案为：.
四、解答题
11．关于的方程，求为何值时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）令，当和时分情况讨论即可求解；
（2）方程一根大于1，一根小于1，必须满足或解出即可.
【详解】（1）令．
当时，方程变为，即，符合题意；
当时，，．
所以当或时，方程有唯一实根．
（2）因为方程有一根大于1，一根小于1．大致图象如图⑤，⑥．
所以必须满足或解得．
所以当时，方程有一根大于1，一根小于1．
12．设常数，函数.
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)当时，求函数的零点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，列出等式求解即可；
（2）由解方程即可；
【详解】（1）由题意知：函数的定义域为，
是奇函数，，即，
即，整理可得：.
（2）若，则，
，
.
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4.5.1函数的零点与方程的解--课后调研检测--试题版
【1】检测要点
1.零点的概念，2.存在性的判定；3.零点与方程根的联系.
【2】检测记录（批改一栏可以打”√”或”×”，不会做可以画”O”）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
批改
需重视题目
【3】检测试题
一、单选题
1．已知是函数的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“函数存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数．在下列区间中，包含零点的区间是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，且，则（ ）
A． B． C． D．或
5．若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在上有零点，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若函数只有一个零点，则实数a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
8．已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．方程有三个不相等的实数根
三、填空题
9．已知是函数的零点，则 .
10．若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是 .
四、解答题
11．关于的方程，求为何值时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
12．设常数，函数.
(1)若函数是奇函数，求实数的值；
(2)当时，求函数的零点.
【4】备查知识
1.函数的零点
(1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
2.函数零点存在定理
(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0.
(2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
[常用结论]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
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