1.1菱形的性质与判定（预习衔接.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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新课预习衔接 菱形的性质与判定
一．选择题（共5小题）
1．（2024 泌阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024春 雨花区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
3．（2024春 江城区期末）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
4．（2024 管城区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
5．（2024 鹿寨县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　）
A．11 B．12 C．24 D．22
二．填空题（共5小题）
6．（2024 陈仓区一模）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的另一条对角线BD＝　 　cm．
7．（2024 城厢区一模）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长是 　 　．
8．（2024 广州一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC，则GH的最小值为 　 　．
9．（2024春 曲阜市期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　 　．
10．（2024 新北区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 平阴县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
12．（2024春 海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE＝4，求CE的长．
13．（2024 渠县校级模拟）如图，在四边形AECD中，AB∥CD，AD∥CE，AC平分∠DAB，延长AE至点B使得BE＝AE，连接CB．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠DAE＝60°，DC＝6，求△ABC的面积．
14．（2024 东兴区校级开学）如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接AF，CE直接写出当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？
15．（2024 吴江区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
新课预习衔接 菱形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 泌阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意得出△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得DE，OE，进而得出A点的坐标，根据中心对称的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，设AD与y轴交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵AD＝8，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8，
∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，
∴
∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°，
∴∠EOD＝30°
∴，，
∴
∵A，C关于O对称，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求得点A的坐标是解题的关键．
2．（2024春 雨花区期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
3．（2024春 江城区期末）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【解答】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，
∴AB，
∴BO2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积BD×AC4，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形面积的计算以及勾股定理在直角三角形中的运用，菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半．
4．（2024 管城区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【考点】菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCDAC BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5．（2024 鹿寨县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（　　）
A．11 B．12 C．24 D．22
【考点】菱形的性质；三角形的面积．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AC⊥BD，BO＝DO，AD∥BE，
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在Rt△ABO中，BO4，
∴BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△CDEDE BD6×8＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 陈仓区一模）已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的另一条对角线BD＝　8cm　cm．
【考点】菱形的性质．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】8cm．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的面积AC BD，
∴246×BD，
∴BD＝8（cm）．
∴另一条对角线BD的长为8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了菱形的性质．以及菱形的面积的计算，理解菱形的性质是关键．
7．（2024 城厢区一模）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长是 　52　．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据菱形性质得到AC⊥BD，，在Rt△AOD中利用勾股定理得到，从而可以得到答案．
【解答】解：在菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，
∴AC⊥BD，，
在Rt△AOD中利用勾股定理得到，
∴菱形ABCD的周长是4×13＝52，
故答案为：52．
【点评】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
8．（2024 广州一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC，则GH的最小值为 　　．
【考点】菱形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GHAF，求出AF的最小值即可解决问题．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GHAF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AFAB2，
∴GH，
即GH的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
9．（2024春 曲阜市期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　4.8　．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4.8．
【分析】连接BE，结合菱形的性质证明△DAF≌△DCE可得DF＝BE，当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，由菱形的性质及勾股定理可求解菱形的边长，再利用勾股定理可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD为菱形．
∴AD＝CD，AC垂直平分BD，
∴∠DAF＝∠DCE，DE＝BE，
在△DAF和△DCE中，
，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴DF＝DE，
∴DF＝BE，
当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，
∵四边形ABCD为菱形．AC＝8，BD＝6，
∴∠BOC＝90°，CO＝4，BO＝3，
∴CD＝BC，
∵BG2＝BC2﹣CG2＝BD2﹣DG2，
∴52﹣CG2＝62﹣（5﹣CG）2，
解得CG＝1.4，
∴BG，
∴EG+DF的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明DF＝BE是解题的关键．
10．（2024 新北区校级模拟）如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，延长BC到点E，CM平分∠DCE，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝1，则对角线BD的长是 　2　．
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】2．
【分析】连接AC交BD于点O，由菱形的性质得出AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，由直角三角形的性质得出DC＝2，求出OD的长，则可得出答案．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠CBO＝∠ABO，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠OBC＝30°，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵CM平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECF＝30°，
∵DF＝1，
∴DC＝2DF＝2，
∴OCCD＝1，
∴OD，
∴BD＝2OD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春 平阴县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【考点】菱形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
12．（2024春 海淀区校级期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE＝4，求CE的长．
【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可证四边形ABCD是菱形；
（2）由勾股定理求得BE8，设CE＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，代入数据解答即可得解．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB
∴AB＝AD，且AB＝BC，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵BO＝DO，DE⊥BC，
∴OEBD＝2，
∴BD＝4，
∴BE8，
设CE＝x，则BC＝BE﹣CE＝8﹣x，
∴CD＝BC＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴CE的长为3．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键．
13．（2024 渠县校级模拟）如图，在四边形AECD中，AB∥CD，AD∥CE，AC平分∠DAB，延长AE至点B使得BE＝AE，连接CB．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠DAE＝60°，DC＝6，求△ABC的面积．
【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，∠EAC＝∠DCA，再证明∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AE＝CE＝CD＝6，再证明△BCE是等边三角形，得∠BCE＝60°，BC＝CE＝6，则∠ACB＝90°，进而由勾股定理得AC＝6，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠EAC＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD为菱形；
（2）解：∵AD∥CE，∠DAE＝60°，
∴∠CEB＝∠DAE＝60°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC＝30°，
由（1）可知，四边形AECD为菱形，
∴AE＝CE＝CD＝6，
∴∠ECA＝∠EAC＝30°，
∵BE＝AE，
∴AE＝BE＝CE＝6，
∴AB＝2AE＝12，△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，BC＝CE＝6，
∴∠ACB＝∠ECA+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∴AC6，
∴△ABC的面积AC BC66＝18．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．（2024 东兴区校级开学）如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接AF，CE直接写出当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．理由见解析．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE＝OF；
（2）由△AOE≌△COF，可得OA＝OC，OE＝OF，可征得四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，根据菱形的判定即可证的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2024 吴江区二模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴4．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
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