专题六 解析几何
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a＜0，若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则它们之间的距离为( )
[A] [B]
[C] [D]或
2．设F为抛物线C：y＝ax2的焦点，若点P(1，2)在C上，则|PF|＝( )
[A]3 [B]
[C] [D]
3．圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是( )
[A](－∞，－] [B][，＋∞)
[C][－] [D](－∞，－]∪[，＋∞)
4．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，圆O1：(x－2)2＋y2＝4与圆O2：x2＋(y－1)2＝1的公共弦所在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为( )
[A] [B]2
[C] [D]
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝( )
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
6．过点A(－3，－4)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点P的轨迹是( )
[A]一个半径为10的圆的一部分
[B]一个焦距为10的椭圆的一部分
[C]一条过原点的线段
[D]一个半径为5的圆的一部分
7．已知直线l与椭圆＝1在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于点M，N，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是( )
[A] [B]
[C] [D]
8．如图，在△ABC中，AB＝4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且DE＝4，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C，D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|＋|CD|取得最小值时，△ABC的面积为( )
[A]12－24 [B]6－12
[C]12－18 [D]6－8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则( )
[A]l1恒过点(2，－2)
[B]若l1∥l2，则a2＝
[C]若l1⊥l2，则a2＝1
[D]当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
10．在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|＝|PB|，则以下结论正确的是( )
[A]点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
[B]△PAB面积最大时，|PA|＝2
[C]∠PAB最大时，|PA|＝2
[D]P到直线AC距离的最小值为
11．已知双曲线C：－y2＝1(a＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则( )
[A]双曲线C的离心率e＝
[B]当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线x＝上
[C]|PA|·|PB|为定值
[D]|AB|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知双曲线C：－x2＝1，则C的离心率是________；若C的一条渐近线与圆D：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，则|AB|＝________．
13．若F1，F2分别为椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，点P在C上，△POF2是面积为的正三角形，则a＝________．
14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l交C于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为3，则sin ∠QMN的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知圆C的圆心为原点，且与直线3x＋4y－10＝0相切，直线l过点M(1，2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(3)若直线l被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．
16．(15分)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点；F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，△B1F1B2是边长为4的等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2．求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．
17．(15分)已知M为圆x2＋y2＝9上一个动点，MN垂直于x轴，垂足为N，O为坐标原点，△OMN的重心为G．
(1)求点G的轨迹方程；
(2)记(1)中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于A，B两点，点Q(0，1)，若点H(，0)恰好是△ABQ的垂心，求直线l的方程．
18．(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为抛物线上一点，B(p，0)，且|AB|的最小值为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l过点P(5，－4)且交抛物线C于M，N两点，求|FM|·|FN|的最小值．
19．(17分)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点D为线段F1O的中点，过F2的直线l与C的右支交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，延长MD，ND分别与C交于P，Q两点，若C的离心率为，(3，)为C上一点．
(1)求证：x1y2－x2y1＝2(y2－y1)；
(2)已知直线l和直线PQ的斜率都存在，分别记为k1，k2，k1≠0，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
4/6专题过关验收卷·专题六
1．A [若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则a(a＋1)－2＝0，解得a＝1或a＝－2，因为a＜0，所以a＝－2，此时直线l1：2x－2y－1＝0，直线l2：2x－2y－8＝0，故直线l1，l2之间的距离d＝．故选A．]
2．D [依题意，2＝a×12，解得a＝2，所以C：x2＝的准线为y＝－＝2＋．故选D．]
3．D [将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m，0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或相离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈∪．
故选D．]
4．C [因为O1：(x－2)2＋y2＝4，O2：x2＋(y－1)2＝1，所以两圆方程相减可得y＝2x，
由题意知C的一条渐近线为y＝2x，即＝2，
所以双曲线C的离心率e＝．故选C．]
5．D [过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N(图略)，则△PAE∽△PBN，得．由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝＝3，解得p＝4．
故选D．]
6．D [设P(x，y)，根据线段MN的中点为P，则CP⊥MN，即CP⊥AP，
所以＝0，又A(－3，－4)，C(3，4)，＝(x＋3，y＋4)，＝(x－3，y－4)，
所以(x＋3)(x－3)＋(y＋4)(y－4)＝0，即x2＋y2＝25，
所以点P的轨迹是以(0，0)为圆心，半径为5的圆在圆C内的一部分．故选D．]
7．A [如图，设点A更靠近点M，直线l：y＝kx＋b(k＞0，b＞0)，代入椭圆方程得＝1，即＝0，则Δ＝＞0，得9k2＋3＞b2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．易得＝，得k＝，故直线l的倾斜角为．故选A．]
8．A [以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，4)，设△ABC的内切圆分别切BC，AC，AB于F，G，H点，因为|CA|－|CB|＝|AG|－|BF|＝|AH|－|HB|＝3－1＝2<4，
所以C点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的第一象限的部分，且a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
所以点C的轨迹方程为x2－＝1(x>0，y>0)，
因为|CA|－|CB|＝2，所以|CA|＝|CB|＋2，
所以|CA|＋|CD|＝|CB|＋|CD|＋2，
则当点C为线段BD与双曲线在第一象限的交点时，
|CA|＋|CD|最小，如图所示，
线段BD的方程为y＝4－2x(0≤x≤2)，将其代入3x2－y2－3＝0(x>0，y>0)，得x2－16x＋19＝0，解得x＝8＋(舍去)或x＝8－3，所以C，
所以△ABC的面积为×4×＝12－24．故选A．]
9．BD [l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0 a(x＋y)＋x＋2＝0，由得x＝－2，y＝2，则直线l1恒过点(－2，2)，故A不正确．若l1∥l2，则有(a＋1)·(1－a)＝a2，2(1－a)≠－a，解得a2＝，故B正确．若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确．若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，＞0，－≤0，解得0≤a＜1；当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．故选BD．]
10．ACD [对于A：设P(x，y)，由|PA|＝＝2|PB|2，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，
化简可得(x－3)2＋y2＝8，即点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，故A正确；
对于B：因为直线AB过圆(x－3)2＋y2＝8的圆心，
所以点P到直线AB的距离的最大值为圆(x－3)2＋y2＝8的半径r，即为2，
因为|AB|＝2，所以△PAB面积最大为，此时P，
所以|PA|＝故B不正确；
对于C：当∠PAB最大时，PA为圆(x－3)2＋y2＝8的切线，所以|PA|＝，故C正确；
对于D：直线AC的方程为7x－y＋7＝0，则圆心(3，0)到直线AC的距离为，
所以点P到直线AC距离最小值为，D正确．故选ACD．]
11．ABD [双曲线的渐近线方程为y＝圆与双曲线的渐近线相切，
则＝1，即a＝，所以c＝2，得e＝，故A正确；
设△PF1F2内切圆与x轴相切于点M，由圆的切线长的性质可得|F1M|－|F2M|＝2a，故M的横坐标为a，记内心为N，则NM垂直于x轴，
所以内切圆圆心的方程为x＝a＝，故B正确；
设P(x0，y0)为双曲线C右支上任一点，则它到两渐近线的距离：
|PA|＝＝
＝，为定值，故C错误；
联立
解得交点
同理得B，
因为P为双曲线C右支上的动点，所以x0≥，
则|AB|＝，故D正确．故选ABD．]
12． [由双曲线C：－x2＝1，可得a＝2，b＝1，则c＝，
所以双曲线C的离心率e＝．
双曲线C的其中一条渐近线方程为y＝2x，即2x－y＝0，
因为圆D：(x－1)2＋y2＝1的圆心为D(1，0)，半径r＝1，
所以圆心D到渐近线的距离为d＝，
由圆的弦长公式，可得|AB|＝2．]
13．＋1 [因为△POF2是面积为的正三角形，所以点P的横坐标为，将点P的横坐标代入椭圆的方程可得＝b·，
所以|yP|＝b·c，可得bc＝，
所以，
则，解得c＝2，
将c＝2代入b·c中，而b2＝a2－c2＝a2－4，
解得a2＝4±2，可得a＝±1，又因为a＞c，
所以a＝＋1．]
14． [依题意可知p＝3，所以抛物线方程为y2＝6x，故焦点F，所以直线AB的方程为y＝．
由，消去y并化简得x2－5x＋＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，x1·x2＝．
所以|AB|＝＝8．
将xQ＝代入y＝可得yQ＝，故Q，由此可知圆Q的圆心为，半径r＝＝4．
根据圆的几何性质可知sin ∠QMN＝．]
15．解：(1)圆心(0，0)到直线3x＋4y－10＝0的距离d＝＝2，所以圆C的半径为2，
所以圆C的标准方程为x2＋y2＝4．
(2)当直线l的斜率不存在时，圆心到直线l的距离为1＜r，不相切．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y－2＝k(x－1)，
由d＝＝2，得k＝0或k＝，所以直线l的方程为y＝2或4x＋3y－10＝0．
(3)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，直线l被圆C所截得的弦长为2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：y－2＝k(x－1)，
由＋2＝4，解得k＝，
故l的方程是y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0，
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1．
16．解：(1)因为△B1F1B2是边长为4的等边三角形，所以b＝2，c＝2．所以a＝4．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)证明：设直线PB1，PB2的斜率分别为k，k′，则直线PB1的方程为y＝kx＋2．
由RB1⊥PB1，直线RB1的方程为x＋k(y－2)＝0．
将y＝kx＋2代入＝1，得(4k2＋1)x2＋16kx＝0，
因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，
所以xP＝－．
所以k′＝．
由RB2⊥PB2，所以直线RB2的方程为y＝4kx－2．
由得xR＝．
所以＝4．
17．解：(1)设G(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，因为G为△OMN的重心，
所以解得x0＝，y0＝3y，代入＝9，化简得＋y2＝1，
又x0y0≠0，故xy≠0，所以G的轨迹方程为＋y2＝1(xy≠0)．
(2)因为H为△ABQ的垂心，故有AB⊥HQ，AH⊥BQ，
又kHQ＝，所以kAB＝，故设直线l的方程为y＝x＋m(m≠1)，
与＋y2＝1联立消去y，得13x2＋8mx＋4m2－4＝0，
由Δ＝208－16m2＞0，得m2＜13，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．
由AH⊥BQ，得＝－1，所以x2＋
＝0，
所以4x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0，
所以4(4m2－4)－24m(m－1)＋13(m2－m)＝0，化简得5m2＋11m－16＝0，
解得m＝1(舍去)或m＝－(满足Δ＞0)，故直线l的方程为y＝．
18．解：(1)设A(x，y)，则|AB|＝≥p，等号成立当且仅当y＝0，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线的斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0，
设直线l的方程为y＝k(x－5)－4＝kx－5k－4(k≠0)，
与抛物线C的方程联立消去y得k2x2－(10k2＋8k＋4)x＋(5k＋4)2＝0，
P(5，－4)在抛物线内部，故Δ＞0，所以x1＋x2＝．
由(1)知，F(1，0)为抛物线C的焦点，由抛物线定义得，
|FM|·|FN|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝＋1
＝，
所以当时，．
当直线的斜率不存在时，x1＝x2＝5，
由抛物线定义知|FM|·|FN|＝(x1＋1)(x2＋1)＝36．
综上，．
19．解：(1)证明：由解得a2＝b2＝2，c2＝4，
则F1(－2，0)，F2(2，0)，
当直线l的斜率不存在时，则x1＝x2＝2，此时x1y2－x2y1＝2y2－2y1＝2(y2－y1)，当直线l的斜率存在时，
因为，即，
整理得x1y2－x2y1＝2(y2－y1)，
综上所述，x1y2－x2y1＝2(y2－y1)．
(2)因为点D为线段F1O的中点，所以D(－1，0)，显然直线MD的斜率存在且不为0，可设直线MD的方程为y＝(x＋1)，
联立
消y整理得x2－－4x1－2＝0，
又＝1，所以－2，
所以(2x1＋3)x2－x－－4x1＝0，
设P(x0，y0)，则x1x0＝，
所以x0＝，
代入y＝(x＋1)，得y0＝，
即P，同理Q，
所以k2＝＝，
又因为x1y2－x2y1＝2(y2－y1)，
所以k2＝＝7k1，即＝7是定值．
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