专题七 概率与统计
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是( )
[A]4 [B]6
[C]8 [D]12
2．已知经验回归方程y＝bx＋0.6相应于点(2，5.5)的残差为－0.1，则b的值为( )
[A]－2.4 [B]－2.5
[C]2.4 [D]2.5
3．在展开式中，常数项的二项式系数为( )
[A]4 [B]3
[C]2 [D]1
4．若随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)，则有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．现有20 000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100，102)，则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为( )
[A]1 587 [B]228
[C]455 [D]3 174
5．从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )
[A] [B]
[C] [D]
6．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
[A]30种 [B]60种
[C]120种 [D]240种
7．如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由频率分布直方图得到的25%分位数为( )
[A]66.5 [B]67
[C]67.5 [D]68
8．甲、乙两个盒子中有若干个大小相同的球，甲盒子中有4个红球和2个白球，乙盒子中有3个红球和1个白球，同时从甲、乙两个盒子中各取出两个球并进行交换，交换后，令乙盒中红球个数为ξ，则E(ξ)＝( )
[A] [B]
[C] [D]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在的展开式中( )
[A]所有奇数项的二项式系数的和为128
[B]二项式系数最大的项为第5项
[C]有理项共有两项
[D]所有项的系数的和为38
10．为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数(单位：人)记录如下：
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
党员 先锋 24 27 26 25 37 76 72
邻里 互助 11 13 11 11 127 132 143
对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有( )
[A]“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
[B]“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
[C]用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的概率为
[D]用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数均不低于该项目参与人数的平均数的概率为
11．某母牛养殖基地有A品种牛126头、B品种牛84头、C品种牛42头，根据发展需要，拟用分层随机抽样的方法，从这252头牛中抽取12头向外出售，则下列说法正确的是( )
[A]12头牛中A品种牛、B品种牛、C品种牛的数量分别为6头、4头、2头
[B]客户甲从向外出售的12头牛中的B品种牛、C品种牛中随机挑选4头，则这4头中至少含有3头B品种牛的概率为
[C]客户乙从向外出售的12头牛中的A品种牛、B品种牛中依次不放回地随机挑选3头，已知第1次挑选出的是B品种牛，则第3次挑选出的是A品种牛的概率为
[D]客户丙从向外出售的12头牛中的A品种牛、C品种牛中随机挑选A品种牛m头、C品种牛1头的概率为，则m＝3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知A工厂库房中的某种零件60%来自甲公司，正品率为90%；40%来自乙公司，正品率为95%，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为________．
13．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P2，则P1＋P2＝________．
14．某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人．已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为________；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为X，则随机变量X的期望为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．
16．(15分)佩戴头盔是一种对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度 2020 2021 2022 2023
年度序号x 1 2 3 4
不戴头盔人数y 1 250 1 050 1 000 900
(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的经验回归方程y＝bx＋a，并估算该路口2025年不戴头盔的人数；
(2)交警统计2020～2023年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系，得到数据如表，依据α＝0.05的独立性检验能否认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
事故 是否戴头盔 合计
戴头盔 不戴头盔
伤亡 7 3 10
不伤亡 13 27 40
合计 20 30 50
附：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
17．(15分)为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的值．养殖场将某周的5 000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计这5 000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数)；
(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4，2.632)．
(ⅰ)若其中一个养殖棚有1 000只家禽，估计其中A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数)；
(ⅱ)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由．
参考数据：
①0.022 753≈0.000 01，0.977 2517≈0.7；
②若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．
18．(17分)某公司有甲、乙两条生产线生产同一种产品，该产品有A、B两个指标．从两条生产线上各随机抽取一些产品，指标数据如表所示．
甲生产线 产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A指标 0.98 0.96 1.07 1.02 1.00 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02
B指标 2.01 1.97 1.96 2.03 2.03 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02
乙生产线 产品序号 1 2 3 4 5 6 7 8
A指标 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01
B指标 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04
假设用频率估计概率，且两条生产线相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计其A指标大于1且B指标大于2的概率；
(2)从甲、乙生产线上各随机抽取一件产品，设X表示B指标大于2的产品数，估计X的数学期望；
(3)已知产品A、B指标之和与3的差的绝对值越小则产品越好，两条生产线各生产一件产品，甲、乙哪条生产线产品更好？
19．(17分)随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚，为了更好地普及冰雪运动知识，某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩(满分100分)，将数据分为5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
分数 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 8 15 25 30 22
(1)若测试成绩不低于60分为合格，否则为不合格，为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s，经计算得s≈12.1．若－2s≤55，则这次培训中不合格的学生需要参加第二次讲座，否则，不需要参加第二次讲座．试问不合格学生是否参加第二次讲座．
(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，否则为不优秀．
(ⅰ)若在样本中利用分层随机抽样从成绩在[70，80)，[80，90)的学生中抽取11人，再从这11人中随机抽取4人担任讲座助理，设成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)；
(ⅱ)视频率为概率，若从所有参加讲座的大学生中随机抽取3人，设成绩优秀的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)，并比较E(X)与E(Y)大小．
6/8专题过关验收卷·专题七
1．D [由已知可得极差是21－1＝20，而中位数是极差的，即中位数是12，根据六个数的中位数是＝12，解得m＝12．故第45百分位数是第三个数据12．
故选D．]
2．D [因为相应于点(2，5.5)的残差为－0.1，所以5.5－＝－0.1，
所以5.5＋0.1＝2＋0.6，解得＝2.5．故选D．]
3．A [二项式展开式的通项Tk＋1＝＝x4-4k，k∈N，k≤4，由4－4k＝0，得k＝1，则展开式的常数项是第2项，
所以常数项的二项式系数为＝4．故选A．]
4．C [依据题意可知μ＝100，σ＝10，记本次数学测试成绩为随机变量X，由于P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，所以P(80≤X≤120)≈0.954 5，因此本次数学测试成绩在120分以上的学生约有20 000×＝455(人)．故选C．]
5．D [设事件Ai为第i次抽到偶数，i＝1，2，
则P(A1)＝，P＝，
所以在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为P＝．故选D．]
6．C [首先确定相同的读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物中选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法计数原理，则共有＝120(种)．故选C．]
7．C [因为第一组的频率为0.010×10＝0.1，
前两组的频率之和为(0.010＋0.020)×10＝0.3，
所以25%分位数在[60，70)内，
所以25%分位数为60＋×10＝67.5．
故选C．]
8．C [由题意可得，ξ所有取值为1，2，3，4．ξ＝1表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出2个红球，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝2表示甲盒中取出2个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球，或者甲盒中取出1个红球和1个白球且乙盒中取2个红球，
P(ξ＝2)＝；
ξ＝3表示甲盒中取出1个红球和1个白球且乙盒中取出1个红球和1个白球，或者甲盒中取出2个红球且乙盒中取出2个红球，
P(ξ＝3)＝＝；
ξ＝4表示甲盒中取出2个红球且乙盒中取出1个红球和1个白球，
P(ξ＝4)＝＝．
故E(ξ)＝1×．故选C．]
9．AB [对于A，二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数的和为＝128，故A正确；
对于B，二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C，Tk＋1＝k＝(－1)k·2(0≤k≤8，k∈N)，Tk＋1为有理项，k可取的值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D，令x＝1，则所有项系数和为＝1，故D错误．故选AB．]
10．BD [对于A，将“党员先锋”项目该星期内的参与人数从小到大排列，即24，25，26，27，37，72，76，则“党员先锋”项目参与人数的极差为76－24＝52，中位数为27，故A选项错误；对于B，“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为×(11＋13＋11＋11＋127＋132＋143)＝64，故B选项正确；对于C，在该星期内任意抽取连续的3天，易知共有5种情况，其中“党员先锋”项目连续3天参与人数均不低于25的情况有(星期二、星期三、星期四)，(星期三、星期四、星期五)，(星期四、星期五、星期六)，(星期五、星期六、星期日)，共4种情况，故所求概率为，故C选项错误；对于D，由B选项可知，“邻里互助”项目参与人数的平均数为64，在该星期内任意抽取连续的2天，易知共有6种情况，其中“邻里互助”项目连接2天参与人数均不低于64的情况有(星期五、星期六)，(星期六、星期日)，共2种情况，故所求概率为，故D选项正确．故选BD．]
11．AC [对于A，由题可得抽取的比例为，所以A品种牛抽取126×＝6(头)，B品种牛抽取84×＝4(头)，C品种牛抽取42×＝2(头)，所以A正确；
对于B，从6头牛中挑选4头的选法有种，其中至少含有B品种牛3头的选法有种，故所求概率P＝＝，所以B不正确；
对于C，设事件M为“第1次挑选出的是B品种牛”，事件N为“第3次挑选出的是A品种牛”，则在M发生的条件下，N发生的概率P(N|M)＝＝＝，所以C正确；
对于D，从A品种牛、C品种牛中随机挑选(m＋1)头牛的选法有种，其中A品种牛m头、C品种牛1头的选法有种，根据题意得，则，所以56×，整理得m2－6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4，所以D不正确．故选AC．]
12．0.92 [由题意可得，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为60%×90%＋40%×95%＝0.92．]
13． [由题意可得P1＝，
设事件A表示“在第1，2次都摸到红球”，事件B表示“第3次摸到红球”，
则P(A)＝，
所以P2＝P(B|A)＝，
所以P1＋P2＝．]
14． [甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率P＝0.5×(1－0.4)×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.6)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.6＝．
依题意甲成为主持人的概率P1＝0.5×0.6＝，
乙成为主持人的概率P2＝0.4×0.75＝，
丙成为主持人的概率P3＝0.5×0.6＝，
即甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为，
所以X～B，则E(X)＝3×．]
15．解：(1)当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时，密码的不同种数为＝60，
当密码中有两个数字各出现两次且剩余的一个数字出现一次时，密码的不同种数为＝90，
所以该款行李箱密码的不同种数为60＋90＝150．
(2)由题意得，X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
所以X的数学期望E(X)＝1×．
16．解：(1)由表中数据知，，
＝1 050，
所以＝＝－110，
所以＝＝1 050－(－110)×＝1 325，
故所求经验回归方程为＝－110x＋1 325．
令x＝6，则＝－110×6＋1 325＝665，
故估算该路口2025年不戴头盔的人数为665．
(2)零假设为H0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．
由表中数据得
χ2＝＝4.687 5>3.841．
依据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．
17．解：(1)因为(0.02＋0.06＋0.14)×2＝0.44＜0.5，
(0.02＋0.06＋0.14＋0.18)×2＝0.80＞0.5，
设这5 000只家禽血液样本中A指标值的中位数为x，
则(0.02＋0.06＋0.14)×2＋0.18(x－7)＝0.5，解得x≈7.33．
(2)(ⅰ)因为μ＋σ＝7.4＋2.63＝10.03，
所以P(X≤10.03)＝P(X≤μ＋σ)＝＝0.841 35，
所以1 000P(X≤10.03)≈841．
(ⅱ)因为12.66＝μ＋2σ，
所以P(X＞12.66)＝≈0.022 75，
设“随机抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66”为事件B，则P(B)＝≈0.007 98＜1%，
所以判断这一天该养殖场的家禽健康状况不正常．
18．解：(1)记事件C为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其A指标大于1且B指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10件产品中，A指标大于1且B指标大于2的产品为4号、9号、10号，共3个，因此P(C)可估计为．
(2)记事件D1为“从甲生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”，
记事件D2为“从乙生产线上随机抽取一件产品，其B指标大于2”，
由表知，甲生产线抽取的10件产品中，B指标大于2的产品为1号、4号、5号、9号、10号，共5个，
因此P(D1)可估计为；
乙生产线抽取的8件产品中，B指标大于2的产品为1号、2号、3号、5号、6号、7号、8号，共7个，因此P(D2)可估计为，因此X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝PP＝，
P(X＝1)＝P(D1)P＋PP(D2)＝，
P(X＝2)＝P(D1)P(D2)＝，
所以X的期望为E(X)＝0×．
(3)甲生产线产品A、B指标之和与3的差的绝对值依次为：0.01，0.07，0.03，0.05，0.03，0.09，0.13，0.05，0.18，0.04，其平均值为0.068；
乙生产线产品A、B指标之和与3的差的绝对值依次为：0.03，0，0.1，0.13，0.14，0，0.16，0.05，其平均值为0.07 625，
显然0.068＜0.07 625，所以甲生产线产品更好．
19．解：(1)由题得＝79.3，所以－2s＝79.3－12.1×2＝55.1>55，
故不合格学生不需要参加第二次讲座．
(2)(ⅰ)由题得这11人的成绩在[70，80)，[80，90)的人数分别为11×＝6，
则X的可能取值为0，1，2，3，4．
则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为所以E(X)＝0×．
(ⅱ)由题知从所有参加讲座的大学生中任取1人，则测试成绩为优秀的频率为，
视频率为概率，则从所有参加讲座的大学生中任取1人，测试成绩为优秀的概率为，
所以Y～B，所以E(Y)＝3×，
所以E(X)＞E(Y)．
6/6
