专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、复数
(满分73分 时间45分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x||x－1|≤1}，B＝{0，1，2，4}，则A∩B＝( )
[A]{1，2} [B]{0，1，2}
[C]{0，1，2，4} [D]{1，4}
2．已知a，b∈R，(a＋i)i＝b－2i(i为虚数单位)，则复数z＝a＋bi的共轭复数为( )
[A]－2＋i [B]2－i
[C]1＋2i [D]1－2i
3．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( )
[A]充要条件
[B]必要不充分条件
[C]充分不必要条件
[D]既不充分也不必要条件
4．已知集合A＝，B＝{x|2x2＋x－1<0}，则A∩B＝( )
[A] [B]{x|－1[C] [D]{x|05．已知复数z＝，i是虚数单位，则复数－4在复平面内对应的点位于( )
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
6．已知命题“ x∈R，使(m－3)x2＋(m－3)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为( )
[A](7，＋∞) [B](3，7)
[C][3，7) [D](－∞，3]
7．下列函数中最小值为8的是( )
[A]y＝x2＋4x＋5 [B]y＝|cos x|＋
[C]y＝ln x＋ [D]y＝4x＋42-x
8．已知a＞0，b＞0，则使≥4成立的一个充分不必要条件是( )
[A]a2＋b2＝1 [B]a＋b≥4ab
[C]a＋b＝1 [D]≥8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是( )
[A]∈Q
[B]集合A，B，若A∪B＝A∩B，则A＝B
[C]若A∩B＝B，则B A
[D]若a∈A，a∈B，则a∈A∩B
10．已知复数z＝是z的共轭复数，则下列说法正确的是( )
[A]z的实部为
[B]复数在复平面中对应的点在第四象限
[C]z＞
[D]z·＝
11．已知实数a，b满足a＜b，则( )
[A]a2＜b2 [B]a3＜b3
[C]＜ [D]a－sin a＜b－sin b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，若A∪B＝A，则a＝________．
13．已知x＞0，y＞0，且6y＋2x＋xy＝14，则x＋3y的最小值为 ________．
14．设函数f (x)＝2x2＋bx＋c，不等式f (x)<0的解集是(1，5)，则f (x)＝________；若对于任意x∈[1，3]，不等式f (x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
3/3专题过关验收卷·专题一
1．B [由A＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1，2，4}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选B．]
2．A [因为(a＋i)i＝ai＋i2＝－1＋ai＝b－2i，
所以a＝－2，b＝－1，故z＝a＋bi＝－2－i，
所以复数z＝a＋bi的共轭复数＝－2＋i．故选A．]
3．A [因为复数z为纯虚数，
所以解得x＝1，
所以x＝1是复数z为纯虚数的充要条件．故选A．]
4．A [＝{x|0B＝{x|2x2＋x－1<0}＝，
则A∩B＝．故选A．]
5．C [因为z＝＝1＋i，
所以－4＝1－i－4＝－3－i，
所以复数－4在复平面内对应的点(－3，－1)位于第三象限．故选C．]
6．C [由题意知，“ x∈R，使(m－3)x2＋(m－3)x＋1＞0”是真命题，
当m－3＝0，即m＝3时，不等式可化为1＞0，符合题意；
当m－3≠0，即m≠3时，则m－3＞0且Δ＝(m－3)2－4(m－3)＜0，解得3＜m＜7．综上，实数m的取值范围为3≤m＜7．故选C．]
7．D [因为y＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1≥1，
所以函数的最小值为1，所以A错误；
因为y＝＝8，
当且仅当|cos x|＝＝4时等号成立，
因为|cos x|∈(0，1]，所以y＝>8，所以B错误；
当x＝时，ln x＝－1，y＝－1－16＝－17，所以C错误；
因为y＝4x＋42-x≥2＝8，当且仅当4x＝42-x，即x＝1时等号成立，所以D正确．故选D．]
8．C [由题意知，能够推出≥4，但不能由≥4推出的选项为答案．
对于A，举反例，当a＝时，满足a＞0，b＞0，a2＋b2＝1，但此时＜4，故A错误．
对于B，≥4(a＞0，b＞0) a＋b≥4ab(a＞0，b＞0)，互为充要条件，故B错误．
对于C，先证充分性，当a＋b＝1时，(a＋b)＝1＋1＋＝4，当且仅当，即a＝b＝时，等号成立，≥4；再证不必要性，举反例，当a＝，b＝1时，满足a＞0，b＞0，≥4，但a＋b＞1．故C正确．
对于D，由基本不等式a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)得，2(a2＋b2)≥(a＋b)2(当且仅当a＝b时，等号成立)，又≥4，所以2≥16，所以≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，故D为题设的必要条件，故D错误．综上，故选C．]
9．BCD [对于A，是无理数，Q是有理数集，故A错误；
对于B，集合A，B，若A∪B＝A∩B，必有A＝B，故B正确；
对于C，集合A，B，若A∩B＝B，必有B A，故C正确；
对于D，如果一个元素既属于集合A又属于集合B，则这个元素一定属于A∩B，故D正确．故选BCD．]
10．ABD [因为z＝i，故z的实部为，A正确；
由z＝i知，i，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确；
z，都不是实数，它们不能比较大小，C错误；
z·，D正确．
故选ABD．]
11．BD [对于A，当a＜b＜0时，a2＞b2，故A错误；
对于B，因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＜b时，a3＜b3，故B正确；
对于C，当a＜0＜b时，＜，故C错误；
对于D，构造函数f (x)＝x－sin x，则f ′(x)＝1－cos x≥0，故f (x)在R上单调递增，所以a－sin a＜b－sin b，故D正确．综上，故选BD．]
12．2 [因为集合A＝{1，2，4}，B＝{a，a2}，且A∪B＝A，
而A中互为平方关系的只有2和4，解得a＝2．]
13．2－12 [由于x＞0，y＞0，6y＋2x＋xy＝14，
则14－2(x＋3y)＝xy＝·x·3y，
，当且仅当x＝3y时，取“＝”，
此时
由于x＞0，y＞0，解得
故x＋3y＝2－12，即x＋3y的最小值为2－12．]
14．2x2－12x＋10 [－10，＋∞) [由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f (x)＝2x2－12x＋10．不等式f (x)≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]上有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10．]
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