山西省2025年中考数学真题试卷

山西省2025年中考数学真题试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2025·山西） 下列各数中比-3小的数是（　　）
A．-4 B．-2 C．-1 D．3
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0大于负数，负数的绝对值大的数越小，因此可判定-4<-3<-2<-1<3，解答即可.
2．（2025·山西）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A不符合题意，
B、是轴对称图形，故B不符合题意，
C、是轴对称图形，故C不符合题意，
D、是中心对称图形，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可解答.
3．（2025·山西） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项的法则2a与3b不是同类项，不能合并，可判断A；根据同底数幂的乘法法则，可判断B；根据完全平方根公式，可判断C；根据积的乘方法则，可判断D；逐一判断即可解答.
4．（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得到，再结合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定两个三角形全等，解答即可.
5．（2025·山西） 不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组得解集为 .
故答案为：C.
【分析】先解每一个不等式：解不等式①得，解不等式②得，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可.
6．（2025·山西） 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
7．（2025·山西）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温，比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（　　）
2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高//℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 -2 -1 0 2
A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大
C．一样大 D．无法比较
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：最高气温数据： 12， 6， 10，9，8.
∴平均数：
方差=
最低气温数据： 1， -2， -1，0， 2
∴平均数=
方差=
∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大；
故答案为：A.
【分析】根据平均数的公式=，方差的公式=计算出方差，方差越大波动越大，解答即可.
8．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴ACB=90，
∵
∴∠CAB=∠CBA= 45°，
∴∠D=∠CBA =45°，
故答案为：B.
【分析】由AB为⊙O的直径可得∠ACB =90° ，进而由等弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠CBA= 45°，再根据圆周角定理即可求解.
9．（2025·山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得，实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　）
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图表可知：对于每一组对应的x值，都满足：
因此，正确关系式为y=x .
故答案为：C.
【分析】观察表格发现对于每一组对应的x值，都满足：，即可解答.
10．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2025·山西）因式分解： m2-16=　 　
【答案】(m+4)(m-4)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：m2-16=(m+4)(m-4) .
故答案为：(m+4)(m-4) .
【分析】观察此多项式的特点：有两项，符号相反，都能写成平方形式，由此利用平方差公式分解因式.
12．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了　 　元（用含a的代数式表示）。
【答案】60a
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：售出一个布老虎增加的利润为80 - 20= 60
则售出a个布老虎增加的利润为60a.
故答案为： 60a.
【分析】先求售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润，计算即可解答.
13．（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　 　.
【答案】（，）
【知识点】点的坐标；图形的旋转；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1BO=90°，
∵点A的坐标为(6，0).
∴OA =6，
由题意得，OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，
∴ OB =OA cos45°=3，A1B =OA1 sin45° =3，
∴点A对应点的坐标为（，） .
故答案为：（，）.
【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可得OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，即可解45°的直角三角形得到 OB，A1B的值，解答即可.
14．（2025·山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为P=；
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数4及事件发生的可能结果数2，利用概率公式即可求解.
15．（2025·山西） 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90，
∵DF =DC，
∴CH=FH=CF，
∵AD//BC，B= 90，
∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ，
∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=8，AD= BH，
∵∠AEG= ∠BEC，
∴AEG△BEC ，
∴，
∴AB=8，AE=3，
∴BE=5，
∴，
∴AG=，
∵AD//BC，
∴∠G= ∠BCE，
∵∠DCE= ∠BEC，
∴∠G= ∠DCE，
∴CD=CG
设CH=FH=x，则AD=BH=4+x
∴CD=GD=4+x+=x+，
由勾股定理得CD2=CH2+DH2
∴
解得x=
∴CF=2CH=
故答案为：.
【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得
CH=FH=CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证AEG△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+，最后通过勾股定理求出x的值即可解答.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（2025·山西）
（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】（1）解：原式= ×6-9+（-4）
=3-9+（-4）
=10
（2）解：①+②，得4x=12，
x=3.
将x=3代人②，得3+2y=1，
у=-1
所以原方程组的解是
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)先计算； 在计算乘方得； 最后计算加减乘法即可解答；
（2）根据加减法解二元一次方程组由①+②得x=3；再将x=3代人②可求得y的值；计算即可解答.
17．（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C.已知点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(1，6)，点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2.
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积，
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点C(1，6)，
∴ .
∴.
反比例函数的表达式为
点B的坐标为(0， 4).
（2）10
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：（2）∵ D纵坐标为2
∴2=，解得x=3，
∴D（3，2）
∴四边形ABDO的面积 =S ABO+S OBD==
故答案为：10.
【分析】(1)由反比例函数的图象经过点C(1，6)，代入即可解答；
（2）根据D纵坐标为2，可解得D（3，2），再根据面积公式四边形ABDO的面积 =S ABO+S OBD，计算即可解答.
18．（2025·山西）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵，为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如右图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
中午放学后家长接送孩子情况调资问卷 尊敬的家长： 您好!为净化校因周边交通环境。诚邀您参与本次匿名调查 (以下为单选) 1.您通常接送孩子的方式是(　　） A.步行 B.自行车 C.电动自行车 D.私家车 E. 公共文通 您通常接送孩子的时段是（　　） （本项含最小值，不含最大值） A. 11：50-12：00 B.12：00-12：10 C. 12：10-12：20 D.其他时网
（1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 ▲ ；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 ▲ 人，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
（3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议.
【答案】（1）解：36；135；
用电动车或私家车接送的总人数为：135
因此12：00-12：10用电动自行车接送的人数为：135-40-32-17=46人，补全图形如图所示：

（2）解： 1500x30%=450(人).
答：估计用私家车接送孩子的家长有450人.
（3）解：答案不唯一，例如：
原因：①由扇形统计图可知，接送孩子的电动自行车和私家车的比例较大，为75%，容易造成放学后校门口交通拥堵.②由条形统计图可知，在12：00~12：10时段，接送孩子的电动自行车和私家车的数量较多，容易造成放学后校门口交通拥堵，等．
建议：①建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子.②建议用电动自行车和私家车接送孩子的家长，在条件允许的情况下避开12：00~12：10时段接送孩子，等.·
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）10%×=36；45%300=135
故答案为：36；135；
【分析】（1）利用“公共交通”所占的比例乘以圆心角的度数得到答案，利用 骑电动自行车所占的比例45%乘以总人数300可得答案；再用135减去其余时段的人数可补全图形，计算即可解答；
(2)利用总数1500乘以样本的百分比30%，计算即可解答；
（3）分析统计图的原因，结合原因写一条建议即可解答.
19．（2025·山西）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务，一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里。
【答案】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，
根据题意，得
解，得 x=2.
经检验，x=2是原方程的根.·
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，由条件它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，建立方程，计算即可解答.
20．（2025·山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
21．（2025·山西）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB任务：
（1）问题1 中的∠ACB=　 　°，
问题2中的依据是　 　.
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
【答案】（1）30；等角的补角相等
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB= ∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD， ∠E=∠D，
∴∠AFB=∠ACB=60°.
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一：
作法二：
如图，线段CD即为所求.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】
解：(1)设AC， BD的交点为O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC= 90°；
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB=60°，
∴AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：30， 等角的补角相等；
【分析】
(1)设AC， BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；
(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB= ∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB = 60°，解答即可；
(3)作一个等边三角形解答即可.
22．（2025·山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线，我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.
（1）数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线1，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为》轴，建立平面直角坐标系.
请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
（2）问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变
如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm，BC=40 cm，CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。
【答案】（1）解：（80，60)
设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60.
由题意得，点M的坐标为(160，0).将点M的坐标(160，0)代人y=a(x-80)2+60，
得 0=a(160-80)2+60.
解，得.
抛物线的函数表达式为 .
（2）解：由题意得，过点P的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线l向上平移得到的顶点为（80，135），设其表达式为
当y=0时，
解得x1=200，x2=-40(不符合题意，舍去）.
点Q的坐标为(200，0).
起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm.
（3）6cm.
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（1） ∵运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm
∴抛物线的对称轴为直线x=80，顶点的纵坐标为80，
∴顶点N的坐标为（80，60)，
故答案为：（80，60)，
（3）设该半台的高度为kcm，
由题意，设新的函数解析式为： y=(x-80)2+60+k，
∵AB = 57cm， BC = 40cm，CD = 48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+ 40，48+3)，即： (128，51)，
∴把(128，51)代入y=-(x- 80)2 +60+k，得：
51=-(128-80)2 +60+k，解得： k=6；
∴该平台的高度6cm.
故答案为：6cm.
【分析】
(1)根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x=80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标（80，60)，设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60，把(160，0) 代入，求出函数解析式，即可解答；
(2)根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y=0，求出x的值，即可解答；
(3)设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为： y=-(x- 80)2 +60+k，据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点(128，51)， 代入求解即可解答.
23．（2025·山西）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC，点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平。
（1）猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.
①若AD=2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；
②若∠C=90°，AB=15，BC=9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长.
【答案】（1）解：四边形BDB'E是菱形.
理由如下：由折叠可知，B'D=BD，B'E=BE，
∠B'DE=∠BDE.
∵DB'//BC，
∴∠B'DE=∠BED.
∴∠BDE=∠BED.
∴BD=BE.
∴B'D=BD=BE=B'E.
∴四边形BDB'E是菱形.
（2）解：①DE⊥A'E.理由如下：
由（1）得B'D=BD=B'E.
∵B'D=B'E， ∴∠1=∠2.
由折叠可知，A'D=AD.
∵AD=2BD，
∴A'D=2B'D.
∴点B'是A'D的中点..
∴B'D=B'A'.
∴B'A'=B'E. ∴∠3=∠4.
在△A'DE中，
∠1+∠A'ED +∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴∠2+∠3=90°
即∠DEA'=90°
∴DE⊥A'E.
②5或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： (2)②∵∠C= 90°，AB= 15， BC= 9，
∴AC== 12，
当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，
则FG= A'F，
∵∠C'= 90°， A'D// BC，
∴∠AMD= ∠C'= 90°，
∴∠AMA'= 90°，
由折叠的性质得
AD= A'D，∠ADF=∠A'DF， AF= A'F，
∴△ADF≌△A'DF(SAS)，
∴∠A=∠DA'F，
∵∠AFH = ∠ A'FG，
∴∠AHF=∠AMA'=90，
∵∠A= ∠A，
∴АFHABC，
∴
∴HF：AH：AF=BC：AC：AB=3：4：5
∠A= ∠D'A'F，AF= A'F，∠AHF= ∠A'MF，
∴AHFA'MF(AAS)，
∴HF= FM，AH = A'M，
设HF=FM=3x，АН=A'M=4x，
∴AF= A'F= 5x，
∴АМ=AF+FM=8x，
∵A'D//BC，
∴AMDАCB，
∴
∴AD = 10x，
∴BE=BD=AB-AD=15-10x
∴CE= BC- BE= 10x- 6，
∵ FG= A'F= 5x，
∴MG= FG- FM = 2x，
∴CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x，
∵ A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得： x= 1，
∴A'F= 5x= 5；
当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F= AG，
同理得：HF： AH ： AF= BC ： AC： AB=3：4：5，
HF= FM，AH = A'M，AF= A'F，
设HF=FM=3y，AH=A'M=4y，
AF= A'F= 5y，
∴AM=AF+FM=8y，
∵A'D// BC，
∴△AMD△ACB，
∴
∴AD = 10y，
∴BE= BD= AB- AD= 15- 10y， CE= BC- BE= 10y- 6，
∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，
∴GM=FM=3y，
∴FG=GM+FM=6y，
∴CG=AC-AF-FG=12-11y，
∵A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得：
∴
综上可知A'F的长为5或，
故答案为：5或.
【分析】(1)由折叠的性质可得BD= B'D， BE= B'E，∠B'DE=∠BDE，再根据平行线的性质可∠B'DE=∠BED，进而得到∠BDE=∠BED，由等角对等边推出BD= BE，从而证明BE= BD= B'D= B'E，即可证四边形BDB' E是菱形，解答即可；
(2)①由(1)推出BD= B'D= B'E，由折叠的性质得到AD= A'D，结合已知可得A'D= 2B'D= 2B' E，进而推出
B'D= A'B' = B'E，得到∠1 =∠2、∠3=∠4，再根据三角形内角和定理即可求出∠2+∠3= 90°，即可得到DE与A' E的位置关系；解答即可；
②分△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形和△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，利用三角形相似的性质建立方程求解即可解答.
1 / 1山西省2025年中考数学真题试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2025·山西） 下列各数中比-3小的数是（　　）
A．-4 B．-2 C．-1 D．3
2．（2025·山西）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·山西） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
5．（2025·山西） 不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．无解
6．（2025·山西） 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·山西）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温，比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（　　）
2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高//℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 -2 -1 0 2
A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大
C．一样大 D．无法比较
8．（2025·山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．（2025·山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得，实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　）
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A． B． C． D．
10．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（2025·山西）因式分解： m2-16=　 　
12．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了　 　元（用含a的代数式表示）。
13．（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　 　.
14．（2025·山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是　 　.
15．（2025·山西） 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（2025·山西）
（1）计算：；
（2）解方程组：
17．（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C.已知点A的坐标为(-2，0)，点C的坐标为(1，6)，点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2.
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积，
18．（2025·山西）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵，为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如右图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
中午放学后家长接送孩子情况调资问卷 尊敬的家长： 您好!为净化校因周边交通环境。诚邀您参与本次匿名调查 (以下为单选) 1.您通常接送孩子的方式是(　　） A.步行 B.自行车 C.电动自行车 D.私家车 E. 公共文通 您通常接送孩子的时段是（　　） （本项含最小值，不含最大值） A. 11：50-12：00 B.12：00-12：10 C. 12：10-12：20 D.其他时网
（1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 ▲ ；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 ▲ 人，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
（3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议.
19．（2025·山西）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务，一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里。
20．（2025·山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
21．（2025·山西）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB任务：
（1）问题1 中的∠ACB=　 　°，
问题2中的依据是　 　.
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
22．（2025·山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线，我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.
（1）数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线1，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为》轴，建立平面直角坐标系.
请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
（2）问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变
如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm，BC=40 cm，CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。
23．（2025·山西）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB>BC，点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平。
（1）猜想证明：判断四边形BDB'E的形状，并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交边AC于点G，连接A'F.
①若AD=2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；
②若∠C=90°，AB=15，BC=9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0大于负数，负数的绝对值大的数越小，因此可判定-4<-3<-2<-1<3，解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A不符合题意，
B、是轴对称图形，故B不符合题意，
C、是轴对称图形，故C不符合题意，
D、是中心对称图形，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项的法则2a与3b不是同类项，不能合并，可判断A；根据同底数幂的乘法法则，可判断B；根据完全平方根公式，可判断C；根据积的乘方法则，可判断D；逐一判断即可解答.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵AO=CO，BO=DO，
∴△AOB△COD(SAS)
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得到，再结合AO=CO，BO=DO，即可利用SAS判定两个三角形全等，解答即可.
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组得解集为 .
故答案为：C.
【分析】先解每一个不等式：解不等式①得，解不等式②得，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：最高气温数据： 12， 6， 10，9，8.
∴平均数：
方差=
最低气温数据： 1， -2， -1，0， 2
∴平均数=
方差=
∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大；
故答案为：A.
【分析】根据平均数的公式=，方差的公式=计算出方差，方差越大波动越大，解答即可.
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴ACB=90，
∵
∴∠CAB=∠CBA= 45°，
∴∠D=∠CBA =45°，
故答案为：B.
【分析】由AB为⊙O的直径可得∠ACB =90° ，进而由等弧所对的圆周角相等，得∠CAB=∠CBA= 45°，再根据圆周角定理即可求解.
9．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图表可知：对于每一组对应的x值，都满足：
因此，正确关系式为y=x .
故答案为：C.
【分析】观察表格发现对于每一组对应的x值，都满足：，即可解答.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
11．【答案】(m+4)(m-4)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：m2-16=(m+4)(m-4) .
故答案为：(m+4)(m-4) .
【分析】观察此多项式的特点：有两项，符号相反，都能写成平方形式，由此利用平方差公式分解因式.
12．【答案】60a
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：售出一个布老虎增加的利润为80 - 20= 60
则售出a个布老虎增加的利润为60a.
故答案为： 60a.
【分析】先求售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润，计算即可解答.
13．【答案】（，）
【知识点】点的坐标；图形的旋转；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1BO=90°，
∵点A的坐标为(6，0).
∴OA =6，
由题意得，OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，
∴ OB =OA cos45°=3，A1B =OA1 sin45° =3，
∴点A对应点的坐标为（，） .
故答案为：（，）.
【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可得OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，即可解45°的直角三角形得到 OB，A1B的值，解答即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为P=；
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数4及事件发生的可能结果数2，利用概率公式即可求解.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90，
∵DF =DC，
∴CH=FH=CF，
∵AD//BC，B= 90，
∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ，
∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=8，AD= BH，
∵∠AEG= ∠BEC，
∴AEG△BEC ，
∴，
∴AB=8，AE=3，
∴BE=5，
∴，
∴AG=，
∵AD//BC，
∴∠G= ∠BCE，
∵∠DCE= ∠BEC，
∴∠G= ∠DCE，
∴CD=CG
设CH=FH=x，则AD=BH=4+x
∴CD=GD=4+x+=x+，
由勾股定理得CD2=CH2+DH2
∴
解得x=
∴CF=2CH=
故答案为：.
【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得
CH=FH=CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证AEG△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+，最后通过勾股定理求出x的值即可解答.
16．【答案】（1）解：原式= ×6-9+（-4）
=3-9+（-4）
=10
（2）解：①+②，得4x=12，
x=3.
将x=3代人②，得3+2y=1，
у=-1
所以原方程组的解是
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)先计算； 在计算乘方得； 最后计算加减乘法即可解答；
（2）根据加减法解二元一次方程组由①+②得x=3；再将x=3代人②可求得y的值；计算即可解答.
17．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点C(1，6)，
∴ .
∴.
反比例函数的表达式为
点B的坐标为(0， 4).
（2）10
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：（2）∵ D纵坐标为2
∴2=，解得x=3，
∴D（3，2）
∴四边形ABDO的面积 =S ABO+S OBD==
故答案为：10.
【分析】(1)由反比例函数的图象经过点C(1，6)，代入即可解答；
（2）根据D纵坐标为2，可解得D（3，2），再根据面积公式四边形ABDO的面积 =S ABO+S OBD，计算即可解答.
18．【答案】（1）解：36；135；
用电动车或私家车接送的总人数为：135
因此12：00-12：10用电动自行车接送的人数为：135-40-32-17=46人，补全图形如图所示：

（2）解： 1500x30%=450(人).
答：估计用私家车接送孩子的家长有450人.
（3）解：答案不唯一，例如：
原因：①由扇形统计图可知，接送孩子的电动自行车和私家车的比例较大，为75%，容易造成放学后校门口交通拥堵.②由条形统计图可知，在12：00~12：10时段，接送孩子的电动自行车和私家车的数量较多，容易造成放学后校门口交通拥堵，等．
建议：①建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子.②建议用电动自行车和私家车接送孩子的家长，在条件允许的情况下避开12：00~12：10时段接送孩子，等.·
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）10%×=36；45%300=135
故答案为：36；135；
【分析】（1）利用“公共交通”所占的比例乘以圆心角的度数得到答案，利用 骑电动自行车所占的比例45%乘以总人数300可得答案；再用135减去其余时段的人数可补全图形，计算即可解答；
(2)利用总数1500乘以样本的百分比30%，计算即可解答；
（3）分析统计图的原因，结合原因写一条建议即可解答.
19．【答案】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，
根据题意，得
解，得 x=2.
经检验，x=2是原方程的根.·
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，由条件它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，建立方程，计算即可解答.
20．【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
21．【答案】（1）30；等角的补角相等
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB= ∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD， ∠E=∠D，
∴∠AFB=∠ACB=60°.
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一：
作法二：
如图，线段CD即为所求.
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】
解：(1)设AC， BD的交点为O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC= 90°；
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB=60°，
∴AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：30， 等角的补角相等；
【分析】
(1)设AC， BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；
(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB= ∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB = 60°，解答即可；
(3)作一个等边三角形解答即可.
22．【答案】（1）解：（80，60)
设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60.
由题意得，点M的坐标为(160，0).将点M的坐标(160，0)代人y=a(x-80)2+60，
得 0=a(160-80)2+60.
解，得.
抛物线的函数表达式为 .
（2）解：由题意得，过点P的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线l向上平移得到的顶点为（80，135），设其表达式为
当y=0时，
解得x1=200，x2=-40(不符合题意，舍去）.
点Q的坐标为(200，0).
起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm.
（3）6cm.
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（1） ∵运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm
∴抛物线的对称轴为直线x=80，顶点的纵坐标为80，
∴顶点N的坐标为（80，60)，
故答案为：（80，60)，
（3）设该半台的高度为kcm，
由题意，设新的函数解析式为： y=(x-80)2+60+k，
∵AB = 57cm， BC = 40cm，CD = 48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+ 40，48+3)，即： (128，51)，
∴把(128，51)代入y=-(x- 80)2 +60+k，得：
51=-(128-80)2 +60+k，解得： k=6；
∴该平台的高度6cm.
故答案为：6cm.
【分析】
(1)根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x=80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标（80，60)，设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60，把(160，0) 代入，求出函数解析式，即可解答；
(2)根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y=0，求出x的值，即可解答；
(3)设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为： y=-(x- 80)2 +60+k，据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点(128，51)， 代入求解即可解答.
23．【答案】（1）解：四边形BDB'E是菱形.
理由如下：由折叠可知，B'D=BD，B'E=BE，
∠B'DE=∠BDE.
∵DB'//BC，
∴∠B'DE=∠BED.
∴∠BDE=∠BED.
∴BD=BE.
∴B'D=BD=BE=B'E.
∴四边形BDB'E是菱形.
（2）解：①DE⊥A'E.理由如下：
由（1）得B'D=BD=B'E.
∵B'D=B'E， ∴∠1=∠2.
由折叠可知，A'D=AD.
∵AD=2BD，
∴A'D=2B'D.
∴点B'是A'D的中点..
∴B'D=B'A'.
∴B'A'=B'E. ∴∠3=∠4.
在△A'DE中，
∠1+∠A'ED +∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∴∠2+∠3=90°
即∠DEA'=90°
∴DE⊥A'E.
②5或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】
解： (2)②∵∠C= 90°，AB= 15， BC= 9，
∴AC== 12，
当△A'FG是以A'F为腰，A'G为底的等腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，
则FG= A'F，
∵∠C'= 90°， A'D// BC，
∴∠AMD= ∠C'= 90°，
∴∠AMA'= 90°，
由折叠的性质得
AD= A'D，∠ADF=∠A'DF， AF= A'F，
∴△ADF≌△A'DF(SAS)，
∴∠A=∠DA'F，
∵∠AFH = ∠ A'FG，
∴∠AHF=∠AMA'=90，
∵∠A= ∠A，
∴АFHABC，
∴
∴HF：AH：AF=BC：AC：AB=3：4：5
∠A= ∠D'A'F，AF= A'F，∠AHF= ∠A'MF，
∴AHFA'MF(AAS)，
∴HF= FM，AH = A'M，
设HF=FM=3x，АН=A'M=4x，
∴AF= A'F= 5x，
∴АМ=AF+FM=8x，
∵A'D//BC，
∴AMDАCB，
∴
∴AD = 10x，
∴BE=BD=AB-AD=15-10x
∴CE= BC- BE= 10x- 6，
∵ FG= A'F= 5x，
∴MG= FG- FM = 2x，
∴CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x，
∵ A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得： x= 1，
∴A'F= 5x= 5；
当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形时，如图，则A'F= AG，
同理得：HF： AH ： AF= BC ： AC： AB=3：4：5，
HF= FM，AH = A'M，AF= A'F，
设HF=FM=3y，AH=A'M=4y，
AF= A'F= 5y，
∴AM=AF+FM=8y，
∵A'D// BC，
∴△AMD△ACB，
∴
∴AD = 10y，
∴BE= BD= AB- AD= 15- 10y， CE= BC- BE= 10y- 6，
∵△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC，
∴GM=FM=3y，
∴FG=GM+FM=6y，
∴CG=AC-AF-FG=12-11y，
∵A'D// BC，
∴△A'MG△ECG，
∴
解得：
∴
综上可知A'F的长为5或，
故答案为：5或.
【分析】(1)由折叠的性质可得BD= B'D， BE= B'E，∠B'DE=∠BDE，再根据平行线的性质可∠B'DE=∠BED，进而得到∠BDE=∠BED，由等角对等边推出BD= BE，从而证明BE= BD= B'D= B'E，即可证四边形BDB' E是菱形，解答即可；
(2)①由(1)推出BD= B'D= B'E，由折叠的性质得到AD= A'D，结合已知可得A'D= 2B'D= 2B' E，进而推出
B'D= A'B' = B'E，得到∠1 =∠2、∠3=∠4，再根据三角形内角和定理即可求出∠2+∠3= 90°，即可得到DE与A' E的位置关系；解答即可；
②分△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等腰三角形和△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长A'F交AB于点H，设AC、A'D交点为M，利用三角形相似的性质建立方程求解即可解答.
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