2025年广东省广州市第七中学九年级中考数学二模试卷
1．（2025·广州模拟）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（ ）
A．元 B．60元 C．元 D．40元
2．（2025·广州模拟）每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取名学生进行调查
C．抽取九年级名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取名学生进行调查
3．（2025·广州模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
4．（2025·广州模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2a a2＝2a3 B．3a3÷2a＝a2
C．（2a2）3＝6a5 D．5a2﹣2a＝3a
5．（2025·广州模拟）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广州模拟）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·广州模拟）如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广州模拟）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·广州模拟）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ）
A．6 B． C． D．
10．（2025·广州模拟）已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
11．（2025·广州模拟）分解因式： ．
12．（2025·广州模拟）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则 ．
13．（2025·广州模拟）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于，则R的值是 ．
14．（2025·广州模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 米．
15．（2025·广州模拟）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ．
16．（2025·广州模拟）如图是一张菱形纸片，点E在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则 °， ．
17．（2025·广州模拟）解不等式组：
18．（2025·广州模拟）如图，已知点E在平行四边形ABCD边DA延长线上，且AE=AD．求证：四边形AEBC是平行四边形．
19．（2025·广州模拟）已知．
（1）化简P；
（2）若，求P的值．
20．（2025·广州模拟）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“学党史·感党恩”知识竞答活动.甲、乙两班各选出5名学生参加竞赛，其竞赛成绩（满分为100分）如表所示：
甲班 1号 2号 3号 4号 5号
80分 80分 80分 100分 90分
乙班 6号 7号 8号 9号 10号
80分 100分 85分 70分 95分
（1）写出甲、乙两个班这10名学生竞赛成绩的中位数和众数：
（2）若从甲、乙两班竞赛成绩“≥90分”的4名学生中随机抽取2名参加全区党史知识竞赛，求这2名学生恰好来自同一个班的概率.
21．（2025·广州模拟）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：______.
（2）求此时无人机距离地面高度．
22．（2025·广州模拟）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．
23．（2025·广州模拟）如图，在中，是钝角，以上一点O为圆心，为弦作．
（1）在图中作出交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若．
①求证：是的切线；
②，，求弦的长．
24．（2025·广州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于点C．
（1）求出点A、B的坐标；
（2）已知点．
①请求点P的坐标，使得对于任意非零实数a，点P都不在抛物线G上；
②当时，是否存在非零实数a，使得点P恒在的内部？若存在，请求出a的取值范围．若不存在，请说明理由．
25．（2025·广州模拟）如图1，矩形ABCD，点E在射线AB上，将沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F．
（1）求证：．
（2）如图2，若点G落在BC边上，且，求BE的长．
（3）如图3，点P为BG中点，连接AP，，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为元．
故答案为：A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据正负数的意义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意．
B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意；
C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意．
D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意；
故选：B．
【分析】
为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱．
故答案为：A．
【分析】根据三视图以及三棱柱的特征，判断求解即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 2a a2＝2a3，计算正确，故符合题意；
B. 3a3÷2a，计算错误，故不符合题意；
C.（2a2）3＝，计算错误，故不符合题意；
D. 5a2与﹣2a不是同类项，不能合并，计算错误，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，合并同类项法则等计算求解即可.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴反比例函数的图象应该位于二四象限，故该选项正确，符合题意；
B．令x=0，则y=1，
∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
C．由二次函数的图象可得：，此时，
∴反比例函数的图象应该位于一三象限，故该选项不正确，不符合题意；
D．令x=0，则y=1，
∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的图象确定的符号，再判断反比例函数的图象是否相符，最后对每个选项逐一判断求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，
∴点与点重合，
∴点的坐标是，
故选：B．
【分析】
先确定出点A的坐标，由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，因此可通过点B与原点是一对对应点可确定平移的方向和距离，从而可确定点A的对应点的坐标；由于旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，则由旋转的性质知点A`点C平移后的对应点重合．
8．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形．
根据题意，得，
化简，得．
故选：A．
【分析】
先利用已知分别表示出阴影部分一个矩形的长和宽，再利用割补法表示出阴影部分的总面积是即可列出关于x的一元二次方程．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
∴垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质求出，，，，再求出垂直平分，最后利用勾股定理计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点和，对称轴为，
∴1．
∴．
∴点和，
∴抛物线的解析式为．
联立，
∴①，
∴，，
∴，
要使最小，则最小，
∴最小，
即时，最小值为2．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出点A和点B的坐标，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，最后计算求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知，MN是AB的垂直平分线，则，所以；由于AB=AC，则，由三角形内角和定理得，则可求．
13．【答案】4
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长是：，
圆的半径，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用扇形的弧长公式求出，再求出底面圆的周长是，最后计算求解即可.
14．【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得第二个人的速度为，
第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了，
∴第二个人距离终点还剩，
故答案为：4．
【分析】
观察图象先求出第二个人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其与终点的距离．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；求余弦值
【解析】【解答】解：由图得：，，，
∴，
∴．
∵点D为的中点，
∴，
∴．
∵，．
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理逆定理求出，再求出，最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可.
16．【答案】；
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，交于点J．设．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴负值舍去．
故答案为：，．
【分析】根据菱形的性质求出，，再根据角平分线的定义求出，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可.
17．【答案】解：
由①得：，
即，
由②得：，
即，
原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式的性质求出，，再求出不等式组的解集即可.
18．【答案】证明：点E在平行四边形ABCD边DA延长线上，
，，
，
，
，
四边形AEBC是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可.
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：∵，
∴，
∴P.
【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先因式分解，再算括号内的减法，把除法变成乘法，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再代入计算求解即可.
（1）解：
（2）∵，
∴，
∴P
20．【答案】（1）解：∵把10个数从小到大排列为：70，80，80，80，80，85，90，95，100，100，中间两数为80和85，
∴中位数为82.5，
∵80出现的次数最多，
∴众数为80；
（2）解：竞赛成绩“≥90分”的4名学生为别是4号，5号，7号，10号；画出树状图如图：
共有12种等可能结果，其中4号、5号一个班，7号、10号一个班，满足在同一班的结果有4种，
∴抽中同一班的概率为=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【分析】（1）理解题意，根据中位数和众数计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出共有12种等可能结果，其中4号、5号一个班，7号、10号一个班，满足在同一班的结果有4种，最后利用概率公式计算求解即可.
（1）解：把10个数从小到大排列为：70，80，80，80，80，85，90，95，100，100，中间两数为80和85，
∴中位数为82.5，
∵80出现的次数最多，
∴众数为80；
故中位数为82.5，众数为80．
（2）竞赛成绩“≥90分”的4名学生为别是4号，5号，7号，10号；
画出树状图如图：
共有12种等可能结果，其中4号、5号一个班，7号、10号一个班，满足在同一班的结果有4种，
∴抽中同一班的概率为=．
21．【答案】（1）
（2）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
∴，
在中，，，
，
由（1）可知，，
∴，
在中，，，
，
，
∴，
答：此时无人机距离地面的高度为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用锐角三角函数求出AD的值，最后计算求解即可.
（1）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
∴，
在中，，，
，
由（1）可知，，
∴，
在中，，，
，
又，
∴，
答：此时无人机距离地面的高度为．
22．【答案】（1）解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点，
∴m=-3（-4）=12，
∴反比例函数的解析式：.
（2）解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点，
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，
解得：，
∴，
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0），
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C，
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C，
∴C（5，0），
根据两点间距离公式可得：AC=，
∴AC=.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点B的坐标先求出m的值，再求反比例函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出，再求出一次函数与的交点为（-1，0），最后利用两点间距离公式计算求解即可.
（1）解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点
∴m=-3（-4）=12
∴反比例函数的解析式：
（2）解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，解得：．
∴
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0）
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C
∴C（5，0）
根据两点间距离公式可得：AC=
∴AC=
23．【答案】（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D；
（2）①根据题意先求出，再求出，最后根据切线的判定方法证明求解即可；
②根据相似三角形的判定方法求出，再利用锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
24．【答案】（1）解：令y=0，得，
整理得，
解得x=-6，x=1，
∵点A在点B左侧，
∴A(-6，0)，B(1，0)．
（2）①根据题意，得，
∴
∴
∴
∴点P (-3，0)或(-6，21)．
②存在，且a＞．理由如下：
∵点，
设x=t-1，则y=，
∴点P的轨迹是抛物线y=，
∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-4），
故当a＞0时，点P可能在的内部，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得b=6k，
故解析式为y= kx+6k，
当直线AC与抛物线y=相切时，点P在角的边上，
∴
∴，
∴，
∴，
解得k=或k=（舍去），
∴直线AC的解析式为y= (）x-60+，
直线经过(0，-6a)，
故-6a= -60+，
∴a=，
∴a＞．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后求出点A和点B的坐标即可；
（2）①根据题意先求出，再求出t的值，最后求出点P的坐标即可；
②先求出点P的轨迹是抛物线y=，再求出，最后计算求解即可.
（1）令y=0，得，
整理得，
解得x=-6，x=1，
∵点A在点B左侧，
∴A(-6，0)，B(1，0)．
（2）①根据题意，得，
∴
∴
∴
∴点P (-3，0)或(-6，21)．
②存在，且a＞．理由如下：
∵点，设x=t-1，则y=，
∴点P的轨迹是抛物线y=，
∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-4），
故当a＞0时，点P可能在的内部，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得b=6k，
故解析式为y= kx+6k，
当直线AC与抛物线y=相切时，点P在角的边上，
∴
∴，
∴△=，
∴，
解得k=或k=（舍去），
∴直线AC的解析式为y= (）x-60+，
直线经过(0，-6a)，
故-6a= -60+，
∴a=，
∴a＞．
25．【答案】（1）证明：∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△GDF，
∴AF=FG．
（2）解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴，
∴，
解得DF=2或DF=-3（舍去），
故DE=DF+EF=3，
∴AE===EG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠B=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠EGD=90°，
∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，
∴∠DGC=∠BEGO，
∴sin∠DGC= sin∠BEG，
∴，
∴，
∴DC=AB=BG，
∴BE=AB-AE=，
∴，
解得BG=或BG=0（舍去），
∴BE=．
（3）解：如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，
则OP是△BDG的中位线，
∴OP=．
∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，
∴BD=，
∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线，
∴AO==，
根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，
当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，再利用全等三角形的判定方法求出△ADF≌△GDF，最后证明求解即可；
（2）根据矩形的性质求出∠DAE=90°，再根据相似三角形的判定方法求出△ADF∽△EDA，最后根据锐角三角函数和勾股定理等计算求解即可；
（3）根据三角形的中位线求出OP=，再利用勾股定理求出BD的值，最后根据直角三角形斜边上的中线性质计算求解即可.
（1）∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△GDF，
∴AF=FG．
（2）∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴，
∴，
解得DF=2或DF=-3（舍去），
故DE=DF+EF=3，
∴AE===EG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠B=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠EGD=90°，
∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，
∴∠DGC=∠BEGO，
∴sin∠DGC= sin∠BEG，
∴，
∴，
∴DC=AB=BG，
∴BE=AB-AE=，
∴，
解得BG=或BG=0（舍去），
∴BE=．
（3）如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，则OP是△BDG的中位线，
∴OP=．
∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，
∴BD=，
∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线，
∴AO==，
根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，
当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为．
1 / 12025年广东省广州市第七中学九年级中考数学二模试卷
1．（2025·广州模拟）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（ ）
A．元 B．60元 C．元 D．40元
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为元．
故答案为：A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据正负数的意义求解即可.
2．（2025·广州模拟）每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A．抽取八年级名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取名学生进行调查
C．抽取九年级名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取名学生进行调查
【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意．
B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意；
C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意．
D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意；
故选：B．
【分析】
为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．
3．（2025·广州模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱．
故答案为：A．
【分析】根据三视图以及三棱柱的特征，判断求解即可.
4．（2025·广州模拟）下列计算正确的是（ ）
A．2a a2＝2a3 B．3a3÷2a＝a2
C．（2a2）3＝6a5 D．5a2﹣2a＝3a
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 2a a2＝2a3，计算正确，故符合题意；
B. 3a3÷2a，计算错误，故不符合题意；
C.（2a2）3＝，计算错误，故不符合题意；
D. 5a2与﹣2a不是同类项，不能合并，计算错误，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘除法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，合并同类项法则等计算求解即可.
5．（2025·广州模拟）如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的切线，A为切点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线，连半径是解决圆的计算与证明的常用策略，故连接，则由切线的性质可得，再由圆周角定理得，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可．
6．（2025·广州模拟）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴反比例函数的图象应该位于二四象限，故该选项正确，符合题意；
B．令x=0，则y=1，
∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
C．由二次函数的图象可得：，此时，
∴反比例函数的图象应该位于一三象限，故该选项不正确，不符合题意；
D．令x=0，则y=1，
∴二次函数的图象与轴的交点在正半轴，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据二次函数的图象确定的符号，再判断反比例函数的图象是否相符，最后对每个选项逐一判断求解即可.
7．（2025·广州模拟）如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，
∴点与点重合，
∴点的坐标是，
故选：B．
【分析】
先确定出点A的坐标，由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，因此可通过点B与原点是一对对应点可确定平移的方向和距离，从而可确定点A的对应点的坐标；由于旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，则由旋转的性质知点A`点C平移后的对应点重合．
8．（2025·广州模拟）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形．
根据题意，得，
化简，得．
故选：A．
【分析】
先利用已知分别表示出阴影部分一个矩形的长和宽，再利用割补法表示出阴影部分的总面积是即可列出关于x的一元二次方程．
9．（2025·广州模拟）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
∴垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质求出，，，，再求出垂直平分，最后利用勾股定理计算求解即可.
10．（2025·广州模拟）已知抛物线与x轴交于点和（点A在点B的左侧），对称轴为，直线与抛物线相交于两点，，则最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点和，对称轴为，
∴1．
∴．
∴点和，
∴抛物线的解析式为．
联立，
∴①，
∴，，
∴，
要使最小，则最小，
∴最小，
即时，最小值为2．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出点A和点B的坐标，再根据一元二次方程根与系数的关系求出，，最后计算求解即可.
11．（2025·广州模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
12．（2025·广州模拟）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知，MN是AB的垂直平分线，则，所以；由于AB=AC，则，由三角形内角和定理得，则可求．
13．（2025·广州模拟）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于，则R的值是 ．
【答案】4
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长是：，
圆的半径，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用扇形的弧长公式求出，再求出底面圆的周长是，最后计算求解即可.
14．（2025·广州模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 米．
【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得第二个人的速度为，
第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了，
∴第二个人距离终点还剩，
故答案为：4．
【分析】
观察图象先求出第二个人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其与终点的距离．
15．（2025·广州模拟）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；求余弦值
【解析】【解答】解：由图得：，，，
∴，
∴．
∵点D为的中点，
∴，
∴．
∵，．
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用勾股定理逆定理求出，再求出，最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可.
16．（2025·广州模拟）如图是一张菱形纸片，点E在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则 °， ．
【答案】；
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，交于点J．设．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴负值舍去．
故答案为：，．
【分析】根据菱形的性质求出，，再根据角平分线的定义求出，最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可.
17．（2025·广州模拟）解不等式组：
【答案】解：
由①得：，
即，
由②得：，
即，
原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式的性质求出，，再求出不等式组的解集即可.
18．（2025·广州模拟）如图，已知点E在平行四边形ABCD边DA延长线上，且AE=AD．求证：四边形AEBC是平行四边形．
【答案】证明：点E在平行四边形ABCD边DA延长线上，
，，
，
，
，
四边形AEBC是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可.
19．（2025·广州模拟）已知．
（1）化简P；
（2）若，求P的值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：∵，
∴，
∴P.
【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先因式分解，再算括号内的减法，把除法变成乘法，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再代入计算求解即可.
（1）解：
（2）∵，
∴，
∴P
20．（2025·广州模拟）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“学党史·感党恩”知识竞答活动.甲、乙两班各选出5名学生参加竞赛，其竞赛成绩（满分为100分）如表所示：
甲班 1号 2号 3号 4号 5号
80分 80分 80分 100分 90分
乙班 6号 7号 8号 9号 10号
80分 100分 85分 70分 95分
（1）写出甲、乙两个班这10名学生竞赛成绩的中位数和众数：
（2）若从甲、乙两班竞赛成绩“≥90分”的4名学生中随机抽取2名参加全区党史知识竞赛，求这2名学生恰好来自同一个班的概率.
【答案】（1）解：∵把10个数从小到大排列为：70，80，80，80，80，85，90，95，100，100，中间两数为80和85，
∴中位数为82.5，
∵80出现的次数最多，
∴众数为80；
（2）解：竞赛成绩“≥90分”的4名学生为别是4号，5号，7号，10号；画出树状图如图：
共有12种等可能结果，其中4号、5号一个班，7号、10号一个班，满足在同一班的结果有4种，
∴抽中同一班的概率为=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【分析】（1）理解题意，根据中位数和众数计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出共有12种等可能结果，其中4号、5号一个班，7号、10号一个班，满足在同一班的结果有4种，最后利用概率公式计算求解即可.
（1）解：把10个数从小到大排列为：70，80，80，80，80，85，90，95，100，100，中间两数为80和85，
∴中位数为82.5，
∵80出现的次数最多，
∴众数为80；
故中位数为82.5，众数为80．
（2）竞赛成绩“≥90分”的4名学生为别是4号，5号，7号，10号；
画出树状图如图：
共有12种等可能结果，其中4号、5号一个班，7号、10号一个班，满足在同一班的结果有4种，
∴抽中同一班的概率为=．
21．（2025·广州模拟）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：______.
（2）求此时无人机距离地面高度．
【答案】（1）
（2）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
∴，
在中，，，
，
由（1）可知，，
∴，
在中，，，
，
，
∴，
答：此时无人机距离地面的高度为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用锐角三角函数求出AD的值，最后计算求解即可.
（1）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，作，垂足为，作，垂足为，
∴，
在中，，，
，
由（1）可知，，
∴，
在中，，，
，
又，
∴，
答：此时无人机距离地面的高度为．
22．（2025·广州模拟）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）以直线x=2为对称轴，作直线的轴对称图形，交x轴于点C，连接AC，求AC的长度．
【答案】（1）解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点，
∴m=-3（-4）=12，
∴反比例函数的解析式：.
（2）解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点，
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，
解得：，
∴，
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0），
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C，
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C，
∴C（5，0），
根据两点间距离公式可得：AC=，
∴AC=.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点B的坐标先求出m的值，再求反比例函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出，再求出一次函数与的交点为（-1，0），最后利用两点间距离公式计算求解即可.
（1）解：∵点B（-3，-4）是反比例函数图象上的点
∴m=-3（-4）=12
∴反比例函数的解析式：
（2）解：∵点A（2，）是反比例函数图象上的点
∴2 =12，则=6．
将A（2，6），B（-3，-4）代入得：，解得：．
∴
将代入得：．
∴一次函数与的交点为（-1，0）
∵一次函数关于直线对称的图形与轴交于点C
∴（-1，0）关于直线对称的点为点C
∴C（5，0）
根据两点间距离公式可得：AC=
∴AC=
23．（2025·广州模拟）如图，在中，是钝角，以上一点O为圆心，为弦作．
（1）在图中作出交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若．
①求证：是的切线；
②，，求弦的长．
【答案】（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D；
（2）①根据题意先求出，再求出，最后根据切线的判定方法证明求解即可；
②根据相似三角形的判定方法求出，再利用锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
24．（2025·广州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于点C．
（1）求出点A、B的坐标；
（2）已知点．
①请求点P的坐标，使得对于任意非零实数a，点P都不在抛物线G上；
②当时，是否存在非零实数a，使得点P恒在的内部？若存在，请求出a的取值范围．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令y=0，得，
整理得，
解得x=-6，x=1，
∵点A在点B左侧，
∴A(-6，0)，B(1，0)．
（2）①根据题意，得，
∴
∴
∴
∴点P (-3，0)或(-6，21)．
②存在，且a＞．理由如下：
∵点，
设x=t-1，则y=，
∴点P的轨迹是抛物线y=，
∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-4），
故当a＞0时，点P可能在的内部，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得b=6k，
故解析式为y= kx+6k，
当直线AC与抛物线y=相切时，点P在角的边上，
∴
∴，
∴，
∴，
解得k=或k=（舍去），
∴直线AC的解析式为y= (）x-60+，
直线经过(0，-6a)，
故-6a= -60+，
∴a=，
∴a＞．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出，再解方程求出x的值，最后求出点A和点B的坐标即可；
（2）①根据题意先求出，再求出t的值，最后求出点P的坐标即可；
②先求出点P的轨迹是抛物线y=，再求出，最后计算求解即可.
（1）令y=0，得，
整理得，
解得x=-6，x=1，
∵点A在点B左侧，
∴A(-6，0)，B(1，0)．
（2）①根据题意，得，
∴
∴
∴
∴点P (-3，0)或(-6，21)．
②存在，且a＞．理由如下：
∵点，设x=t-1，则y=，
∴点P的轨迹是抛物线y=，
∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-4），
故当a＞0时，点P可能在的内部，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得b=6k，
故解析式为y= kx+6k，
当直线AC与抛物线y=相切时，点P在角的边上，
∴
∴，
∴△=，
∴，
解得k=或k=（舍去），
∴直线AC的解析式为y= (）x-60+，
直线经过(0，-6a)，
故-6a= -60+，
∴a=，
∴a＞．
25．（2025·广州模拟）如图1，矩形ABCD，点E在射线AB上，将沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F．
（1）求证：．
（2）如图2，若点G落在BC边上，且，求BE的长．
（3）如图3，点P为BG中点，连接AP，，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值．
【答案】（1）证明：∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△GDF，
∴AF=FG．
（2）解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴，
∴，
解得DF=2或DF=-3（舍去），
故DE=DF+EF=3，
∴AE===EG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠B=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠EGD=90°，
∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，
∴∠DGC=∠BEGO，
∴sin∠DGC= sin∠BEG，
∴，
∴，
∴DC=AB=BG，
∴BE=AB-AE=，
∴，
解得BG=或BG=0（舍去），
∴BE=．
（3）解：如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，
则OP是△BDG的中位线，
∴OP=．
∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，
∴BD=，
∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线，
∴AO==，
根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，
当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，再利用全等三角形的判定方法求出△ADF≌△GDF，最后证明求解即可；
（2）根据矩形的性质求出∠DAE=90°，再根据相似三角形的判定方法求出△ADF∽△EDA，最后根据锐角三角函数和勾股定理等计算求解即可；
（3）根据三角形的中位线求出OP=，再利用勾股定理求出BD的值，最后根据直角三角形斜边上的中线性质计算求解即可.
（1）∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△GDF，
∴AF=FG．
（2）∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴，
∴，
∴，
解得DF=2或DF=-3（舍去），
故DE=DF+EF=3，
∴AE===EG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠B=90°，
∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠EGD=90°，
∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，
∴∠DGC=∠BEGO，
∴sin∠DGC= sin∠BEG，
∴，
∴，
∴DC=AB=BG，
∴BE=AB-AE=，
∴，
解得BG=或BG=0（舍去），
∴BE=．
（3）如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，则OP是△BDG的中位线，
∴OP=．
∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，
∴BD=，
∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线，
∴AO==，
根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，
当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为．
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