专题三 三角函数、平面向量及其应用
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(λa＋b)∥(a＋μb)，则下列关系一定成立的是( )
[A]λμ＝－1 [B]λ－μ＝2
[C]λ＋μ＝0 [D]λμ＝1
2．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1，2)，则7cos2θ－2sin2θ＝( )
[A]－ [B]
[C]－2 [D]2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A＝－，△ABC的面积为a，则bc的最小值为( )
[A]16 [B]16
[C]48 [D]24
4．将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝( )
[A]sin [B]sin
[C]cos [D]cos
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为( )
[A](0，16] [B][0，16]
[C](0，4) [D][0，4]
6．已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是( )
[A] [B]
[C] [D]
7．在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝1，若直线y＝k(x－1)＋2上存在两个点Pi(i＝1，2)，过动点Pi作圆O的两条切线，A，B为切点，满足＝，则k的取值范围为( )
[A] [B]∪(0，＋∞)
[C](0，1) [D](－∞，0)∪(1，＋∞)
8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足(a＋c－b)(a＋b＋c)＝ac，b＝，则下列说法正确的是( )
[A]B＝
[B]B＝
[C]△ABC面积的最小值为
[D]△ABC面积的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，c＝(2，t)，则下列说法正确的是( )
[A]若(a＋b)∥c，则t＝6
[B]若(a＋b)⊥c，则t＝
[C]若t＝1，则cos 〈a，c〉＝
[D]|a＋c|<3
10．已知函数f (x)＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，且h(x)＝sin 2x－f (x)，则( )
[A]φ＝
[B]h(x)的图象关于点中心对称
[C]f (x)与h(x)的图象关于直线x＝对称
[D]h(x)在区间内单调递增
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a·sin2＝b·sinA，则下列结论正确的是( )
[A]B＝
[B]若a＝4，b＝5，则△ABC有两解
[C]当a－c＝b时，△ABC为直角三角形
[D]若△ABC为锐角三角形，则cos A＋cos C的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知tan α＝3，π<α<，则cos α－sin α＝________．
13．如图，在△ABC中，sin ∠BAC＝，AD⊥AC，AD＝2，∠ABC＝45°，则sin ∠BAD＝________，BD＝________．
14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，＝3．设＝x＋y，则x＋y的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|16．(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为，BC边上的高为1，求△ABC的周长．
17．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B·(c cos B＋b cos C)＋a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝7，a＋c＝8，a＜c．
①求a，c的值；
②求sin (2A＋C)的值．
18．(17分)已知函数f (x)＝sin2sin·cos ＋1．
(1)求函数y＝f (x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2＝ac cos B－bc，求f (B)的取值范围．
19．(17分)如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝AD＝2．
(1)若∠A＝60°，求四边形ABCD的面积；
(2)记△ABD和△BCD的面积分别为S和T，求S2＋T2的最大值．
6/6专题过关验收卷·专题三
1．D [因为向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
所以λa＋b＝(1＋λ，λ－1)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，
由(λa＋b)∥(a＋μb)，可得
(1＋λ)·(1－μ)＝(λ－1)·(1＋μ)，
整理得λμ＝1．故选D．]
2．A [由题意可知tan θ＝2，
所以7cos2θ－2sin2θ＝
3．C [由tanA＝－，且0＜A＜π，则A＝，
所以△ABC的面积为bc sin A＝，则bc＝4a，
由余弦定理的推论可得cos A＝，
即－，
所以bc≥48，当且仅当b＝c时取等号，此时bc取得最小值为48．故选C．]
4．D [将函数y＝f (x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得y＝f 的图象，所以f ＝sin ，令2x－＝t，则x＝，所以f (t)＝sin ＝sin ，则f (x)＝sin ＝cos ＝cos ．故选D．]
5．B [取CD的中点E，连接PE，如图所示，
所以PE的取值范围是
．
19．解：(1)连接BD(图略)，
在△ABD中，由余弦定理得，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos 60°＝3，所以BD＝，
在△BCD中，由余弦定理得，
BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC cos C＝8－8cos C，
所以cos C＝，sin C＝，
所以S△ABD＝BA·AD·sin60°＝×1×2×，
S△BCD＝BC·CD·sin C＝×2×2×，
所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△BCD＝.
(2)设A＝θ，可得S＝×1×2×sin θ＝sin θ，
在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝5－4cos θ，
在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC cos C＝8－8cos C，
所以cos C＝，所以sin2C＝1－cos2C＝1－，
所以T＝BC·CD·sin C＝2sin C，
S2＋T2＝sin2θ＋4×
＝sin2θ＋4×
＝
＝，
当cos θ＝－时，S2＋T2取得最大值.
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