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第02讲 集合间的关系
目录
模块一：新知归纳
模块二：考点讲解举一反三
考点1：集合关系的辨析
考点2：子集与真子集的个数
考点3：相等集合的判断
考点4：空集的概念及性质
考点5：根据集合的关系求参数
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】子集与真子集
1．韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．
（2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．
2．子集
定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．
记法与读法 记作 （或 ），读作“包含于”（或“包含”）
图示
性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则．
【注意】
（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出．
（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含．
3．真子集
定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集．
记法与读法 记作AB或（BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）
图示
性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合，如果AB，BC，则AC．
【注意】
（1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集．
（2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立．
【知识点2】集合相等
1．集合相等的概念
定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等．
记法与读法 记作，读作“等于”
图示
【注意】
（1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.如．
（2）如果，，则；反之，则且.这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可．
2．判断两个集合是否相等的方法：重点是要把握住两个原则：
（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；
（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断．
【知识点3】空集
1．空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．
2．0，{0}，，的关系
与0 与{0} 与
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；含一个元素，该元素是
关系 { }或 ∈{ }
【注意】
空集是任何集合的子集，因此在解A B（B≠ ）的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
【知识点4】集合间的关系
1．韦恩图表示集合间关系
2．集合间的关系与实数大小的关系类比
实数 集合
定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或
相等 若且，则 若，，则
传递性 若，，则 若，，则．
若，，则 若，，则
3．有限集的子集个数确定
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
模块二 考点讲解举一反三
考点1：集合关系的辨析
【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可.
【详解】显然，，①③正确；
，②正确
在中，当时，
即有
因此，④正确
正确命题的个数是
故选：D
【变式1】（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可
【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误；
对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确；
对于C，为集合，是有序数对，故C错误；
对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误.
故选：B
【变式2】已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出集合，再根据集合的基本关系得出.
【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B
【变式3】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A，C A，正方形是矩形，所以C B．故选B．
考点2：子集与真子集的个数
【例2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】由子集的定义即可得出答案.
【详解】集合的子集有：，有4个.
故选：D.
【例3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案.
【详解】由题意得集合真子集的个数为.
故选：C.
【变式1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数.
【详解】因为，
故子集个数为，
故选：C.
【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合子集的定义，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合子集的定义，可得，
故选：D.
【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）设集合，则A的非空子集的个数为 .
【答案】15
【分析】根据非空子集个数公式计算.
【详解】集合，则A的子集的个数为，
所以A的非空子集的个数为.
故答案为：15.
考点3：相等集合的判断
【例4】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.
【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确；
对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
集合表示由点作为元素，构成的单元素集合，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于C中，集合表示由两个元素构成的数集；
集合表示由点作为元素，构成的单元素数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集，
集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，
所以集合与集合不相等，所以B不符合题意；
故选：A.
【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由集合相同概念逐个判断即可.
【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误；
选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误；
选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确；
选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误．
故选：C
【变式2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
【变式3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项均不正确
【答案】C
【分析】根据是的倍数，，即可求解.
【详解】由于是与的公倍数,，
故是的倍数,，
,故，
故选：C
考点4：空集的概念及性质
【例5】已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】由集合即可直接判断；
【详解】集合有两个元素：和.
故选：B
【变式1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】D
【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤．
【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；
根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；
因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；
根据元素与集合之间可知④正确；
根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；
根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．
所以①④⑥正确
故选：D.
【变式2】下列四个集合中是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解.
【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，
对于B,方程无实数解，∴集合为空集，
对于C，是无限集，所以不是空集，
对于D, ，不是空集.
故选：B．
【变式3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．
【详解】方程整理得，
则有，解得且，
由方程的解集为空集，所以，即.
故选：D.
考点5：根据集合的关系求参数
【例6】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．0 B． C．0或3 D．或3
【答案】D
【分析】分，两种情况解方程，可求的值.
【详解】由题意知n为方程的根，当时，；
当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得，
此时，即．
综上所述：或．
故选：D．
【例7】已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0，1或
【答案】D
【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可.
【详解】，，
由题意，当Q为空集时，，满足；
当Q不是空集时，，
由得或，解得或．
综上，a的值是0，1或.
故选：D
【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得.
【详解】当时，不成立，即，则；
当时，由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ．
【答案】0或1或
【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得．
【详解】由，
方程至多1个解，故.
，
或或，
①若，则；
②若，则；
③若，则，解得；
综上可得，或1或.
故答案为：0或1或.
【变式3】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习），若，则+= .
【答案】
【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果.
【详解】∵集合，
∴
∴+=+=2.
故答案为：.
【变式4】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，．
（1）若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】(1)．
(2)或．
【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案；
（2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：由集合，
因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，
故，所以，
所以实数的取值范围是．
（2）解：由，解得或，所以，
因为，所以集合可能是，，，；
当时，即方程无实数根，
则，解得；
当时，即方程有且只有一个根0，
，解得；
当时，即方程有且只有一个根，
则，方程组无解；
当时，方程有两根和，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是或．
模块三 知识检测
考点1：集合关系的辨析
1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由子集的定义即可得出答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
2．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系.
【详解】因为集合,，则
.
故选：B
3．（多选）下列四个关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．空集
【答案】AB
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A，应该为，对于B，应该为，故A、B错误．
对于C，，故C正确．对于D，空集，故D正确．
故选：AB.
4．指出下列各组集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集
【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解.
【详解】（1）由集合和，所以是的真子集．
（2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以．
（3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集．
（4）由集合和，所以是的真子集．
故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集．
考点2：子集与真子集的个数
5．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数.
【详解】依题意，，即，而，因此，，
所以集合的真子集个数为.
故选：C
6．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（ ）
A．15个 B．16个 C．31个 D．32个
【答案】A
【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数.
【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个，
故不含元素的非空子集共有15个.
故选：A.
7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据集合个数，结合集合真子集公式，即可求解.
【详解】集合，则集合的子集个数.
除去集合本身，还有个真子集.
故选：C.
8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合 ，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可.
【详解】当集合A中含一个元素时，或；
当集合A中含两个元素时，或或，
所以这样的集合共有个.
故选：D.
9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A．31 B．7 C．3 D．1
【答案】B
【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可
【详解】若，则，
若，则，
若，则，
则为伙伴关系集合，
共7个
故选：B
考点3：相等集合的判断
10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意；
选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意；
选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意；
选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的，
故两集合不是同一个集合，故D正确．
故选：D
11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由集合元素的特征和属性进行判断.
【详解】A选项：，故A错误；
B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误；
C选项：,，故C选项正确；
D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误．
故选：C.
12．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，为点集，为数集，则；
对于D选项，为数集，为点集，则.
故选：B.
13．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同.
【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确；
B选项，为点集，为数集，则两集合不同，故B正确；
C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确；
D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误.
故选：ABC
考点4：空集的概念及性质
14．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案.
【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意；
对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意；
对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根，
所以集合存在两个元素，故C不符合题意；
对于D，由，则，即该方程不存在实数根，
所以集合无元素，故D符合题意.
故选：D.
15．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D．
【答案】A
【分析】根据集合、子集的含义及集合间的关系判断.
【详解】对于A，任何集合都有子集，A正确；
对于B，没有真子集，B错误；
对于C，表示没有任何元素的集合，表示集合中有这一元素，C错误；
对于D，集合有一元素0，不为空集，故，D错误.
故选：A
16．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D， ，D正确.
故选：ACD
17．（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解.
【详解】，故A错误，B正确
空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确，
故选：BD
18．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】运用元素与集合的关系，集合与集合关系，结合空集概念解题即可
【详解】因为不是中的元素，故错误;
元素与集合之间的关系是属于关系,则正确;
空集是没有元素的集合.空集是任何集合子集，则正确;
集合相等是元素一样,则错误.
故选:BC.
19．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可.
【详解】因为，故A错误；
是指元素为0的集合，所以，故B正确；
是指元素为的集合，所以，故C正确；
是任何集合的子集，所以，故D正确．
故选：BCD．
考点5：根据集合的关系求参数
20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用集合相等列式求值并验证得解.
【详解】集合，由，得或，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
所以.
故选：A
21．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，且，则的值为 ．
【答案】0或
【分析】根据两个集合的元素相同列方程，即可求解.
【详解】因为，所以，得或，
当时，，当时，，都成立，
所以的值为0或.
故答案为：0或
22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ．
【答案】0或
【分析】由，，，三种情况分别讨论即可.
【详解】，
因为，
所以的所有可能为，
当，可得，
当，可得，
当，可得，
故答案为：0或
23．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）由，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由A和B有且只有一个是，得且或且，
则有或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合.
(1)求集合；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据判别式求解出结果；
（2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围.
【详解】（1）因为有实根，
所以，解得，
所以.
（2）因为，
当时，满足，此时，解得；
当时，因为，所以，解得，
综上所述，的取值范围是或.
1．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且.
(1)求的值；
(2)写出集合的所有真子集.
【答案】(1)
(2)，，，，，，.
【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解；
（2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解.
【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意；
当时，解得或，不合题意，
当时，，符合题意；
综上，；
（2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为：
，，，，，，.
2．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值．
【答案】
【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案.
【详解】由集合相等的定义得
或，
当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去；
当时，或（舍去），
当，时，满足元素的互异性，
综上所述，．
3．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解；
（2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解.
【详解】（1）因为只有一个元素，，
当时，；
当时，对于，有，解得，
把代入集合，得；
综上，或，对应的集合或.
（2）因为，，
当时，对于，有，解得；
当时，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件；
综上，的取值范围为.
4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可；
（3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
当时，则，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，
当时，则，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（3）因为，
所以，解得，
所以，
当时，，
当时，，
因为，所以或，解得或，
综上所述，实数的取值集合为.
5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)的值为或
(2)
【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果；
（2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，的值为或.
（2）对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想使，则，
此时，该方程组无解，
综上的取值范围是.
6．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2){或}
【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可；
（2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可.
【详解】（1）由知，且可得，
所以A的非空真子集的个数为；
（2）因为，若，则，可得；
若，则，解之得；
综上所述：实数m的取值范围为{或}.
7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，.
(1)若是的真子集，求的取值范围；
(2)若是的子集，求的取值范围；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围；
（2）由子集的定义，确定的取值范围；
（3）由集合相等求出的值.
【详解】（1）
若是的真子集，则由图知，，
故的取值范围为.
（2）
若是的子集，已知，则，
则由图知，，
故的取值范围为.
（3）若，则.
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第02讲 集合间的关系
目录
模块一：新知归纳
模块二：考点讲解举一反三
考点1：集合关系的辨析
考点2：子集与真子集的个数
考点3：相等集合的判断
考点4：空集的概念及性质
考点5：根据集合的关系求参数
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】子集与真子集
1．韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
（1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．
（2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显．
2．子集
定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集．
记法与读法 记作 （或 ），读作“包含于”（或“包含”）
图示
性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则．
【注意】
（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出．
（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含．
3．真子集
定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集．
记法与读法 记作AB或（BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）
图示
性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合，如果AB，BC，则AC．
【注意】
（1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集．
（2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立．
【知识点2】集合相等
1．集合相等的概念
定义 一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等．
记法与读法 记作，读作“等于”
图示
【注意】
（1）若两个集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.如．
（2）如果，，则；反之，则且.这就给出了我们证明两个集合相等的方法，欲证，只需证明与都成立即可．
2．判断两个集合是否相等的方法：重点是要把握住两个原则：
（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；
（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断．
【知识点3】空集
1．空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集．
2．0，{0}，，的关系
与0 与{0} 与
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；含一个元素，该元素是
关系 { }或 ∈{ }
【注意】
空集是任何集合的子集，因此在解A B（B≠ ）的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
【知识点4】集合间的关系
1．韦恩图表示集合间关系
2．集合间的关系与实数大小的关系类比
实数 集合
定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或
相等 若且，则 若，，则
传递性 若，，则 若，，则．
若，，则 若，，则
3．有限集的子集个数确定
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
模块二 考点讲解举一反三
考点1：集合关系的辨析
【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A． B． C． D．
考点2：子集与真子集的个数
【例2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）集合的子集共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【例3】（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式1】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（ ）
A． B．
C． D．
考点3：相等集合的判断
【例4】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项均不正确
考点4：空集的概念及性质
【例5】已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【变式1】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【变式2】下列四个集合中是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点5：根据集合的关系求参数
【例6】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．0 B． C．0或3 D．或3
【例7】已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0，1或
【变式1】（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 .
【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设集合，，若，则的值为 ．
【变式3】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习），若，则+= .
【变式4】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，．
（1）若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
模块三 知识检测
考点1：集合关系的辨析
1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）下列四个关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．空集
4．指出下列各组集合之间的关系：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
考点2：子集与真子集的个数
5．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的真子集的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（ ）
A．15个 B．16个 C．31个 D．32个
7．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
8．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知集合 ，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A．31 B．7 C．3 D．1
考点3：相等集合的判断
10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
13．（多选）（24-25高一上·广东阳江·期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
考点4：空集的概念及性质
14．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论正确的是（ ）
A．任何集合都有子集 B．任何集合都有真子集 C． D．
16．（多选）（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）下列表述正确的有（ ）
A． B．
C． D．
18．（多选）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．（多选）（23-24高一上·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
考点5：根据集合的关系求参数
20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
21．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，且，则的值为 ．
22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ．
23．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围.
24．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合.
(1)求集合；
(2)若，求的取值范围.
1．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且.
(1)求的值；
(2)写出集合的所有真子集.
2．（24-25高一上·上海·课堂例题）集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值．
3．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
5．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围.
6．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数m的取值范围．
7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，.
(1)若是的真子集，求的取值范围；
(2)若是的子集，求的取值范围；
(3)若，求的值.
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