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第03讲 集合的基本运算
目录
模块一：新知归纳
模块二：考点讲解举一反三
考点1：数集间的运算
考点2：点集间的运算
考点3：韦恩图在集合中的运用
考点4：根据集合的运算求参数
考点5：集合运算在实际生活中的运用
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】并集
1．并集的概念
自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
图形语言
2．并集的运算性质
性质 定义
满足交换律
任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
任何集合与空集的并集等于这个集合本身
多个集合的并集满足结合律
， 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集
任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然
【知识点2】交集
1．交集的概念
自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
图形语言
2．交集的运算性质
性质 定义
满足交换律
空集与任何集合的交集都是空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
多个集合的综合运算满足分配律
若，则 交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
【知识点3】全集与补集
1．全集的概念
自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
符号语言 若，则为全集.
图形语言
2．补集的概念
自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.
符号语言
图形语言
3．补集的运算性质
性质 定义
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与其补集的交集为空集
=A 任何集合补集的补集为集合本身
全集的补集为空集，空集的补集为全集
【知识点4】容斥原理
1．容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
【知识点5】区间及相关概念（为了更好的解决问题，提前讲解此部分内容）
1．一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2．实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
模块二 考点讲解举一反三
考点1：数集间的运算
【例1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（24-25高三下·云南·期中）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2025·安徽蚌埠·三模）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点2：点集间的运算
【例4】已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【变式1】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知集合}，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点3：韦恩图在集合中的运用
【例5】（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
考点4：根据集合的运算求参数
【例6】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例7】设集合，，全集．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 .
【变式2】已知集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
【变式3】已知全集.
（1）若中有四个元素，求和q的值；
（2）若，求实数q的取值范围.
考点5：集合运算在实际生活中的运用
【例8】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为( ).
A．10 B．9 C．7 D．4
【变式1】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【变式2】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
模块三 知识检测
考点1：数集间的运算
1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（ ）
A．或 B．或
C． D．
5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知全集，则（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，.
8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求：
(1)求，；
(2)求，．
考点2：韦恩图在集合中的运用
9．已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，，
(1)若，求m的取值范围；
(2)当时，求图示阴影部分对应的集合.
考点3：根据集合的运算求参数
13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 .
14．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ．
15．（2025高三·全国·专题练习）设，集合,．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
16．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，.
(1)求p，a，b的值；
(2)若，且，求m的值.
考点4：集合运算在实际生活中的运用
17．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
18．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ）人
A．16 B．18 C．20 D．24
19．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ．
20．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
1．（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·天津河北·模拟预测）已知全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设全集，非空集合满足以下条件：
①，；
②若，，则且.
当时， （填或），此时中元素个数为 ．
4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人.
5．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知全集，集合．求：
(1)及；
(2)及
6．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合.
(1)若，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若，求实数的取值范围.
8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，.
(1)若时，求、；
(2)若，求的取值范围.
9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.
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第03讲 集合的基本运算
目录
模块一：新知归纳
模块二：考点讲解举一反三
考点1：数集间的运算
考点2：点集间的运算
考点3：韦恩图在集合中的运用
考点4：根据集合的运算求参数
考点5：集合运算在实际生活中的运用
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】并集
1．并集的概念
自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
图形语言
2．并集的运算性质
性质 定义
满足交换律
任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
任何集合与空集的并集等于这个集合本身
多个集合的并集满足结合律
， 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集
任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然
【知识点2】交集
1．交集的概念
自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
图形语言
2．交集的运算性质
性质 定义
满足交换律
空集与任何集合的交集都是空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
多个集合的综合运算满足分配律
若，则 交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
【知识点3】全集与补集
1．全集的概念
自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
符号语言 若，则为全集.
图形语言
2．补集的概念
自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作.
符号语言
图形语言
3．补集的运算性质
性质 定义
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与其补集的交集为空集
=A 任何集合补集的补集为集合本身
全集的补集为空集，空集的补集为全集
【知识点4】容斥原理
1．容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
【知识点5】区间及相关概念（为了更好的解决问题，提前讲解此部分内容）
1．一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
2．实数集R
可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，
“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
定义 符号 数轴表示
模块二 考点讲解举一反三
考点1：数集间的运算
【例1】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合后，根据集合的交集运算即可求解.
【详解】由，得，即，解得或或，
则.
又，则.
故选：D.
【例2】（24-25高二下·河南平顶山·期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由并集的定义即可求出答案.
【详解】因为集合，所以.
故选：D.
【例3】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用集合的补集和交集运算法则计算即可．
【详解】，
或}，
故，
故选：B．
【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求集合，根据交集运算即可求解.
【详解】由题意有，
所以，所以，
故选：A.
【变式2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助并集定义计算即可得.
【详解】因为集合，，所以.
故选：B.
【变式3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由补集的概念即可求解.
【详解】由于集合中的元素只有1，，故．
故选：C．
【变式4】（24-25高三下·云南·期中）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件结合并集的定义求，再根据交集的定义求结论.
【详解】因为，，
所以，又，
所以，
故选：A．
【变式5】（2025·安徽蚌埠·三模）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出可求.
【详解】,故，
故选：B.
考点2：点集间的运算
【例4】已知集合M＝{（x，y）|y＝2，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2}，则中的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】∵集合M＝{（x，y）|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{（x，y）|y＝x2﹣4}，
∴M∩N＝{（x，y）|}＝．∴M∩N中的元素个数为0．故选：A．
【变式1】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为集合，
所以，所以中元素的个数为3，故选：D
【变式2】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵集合，，
因为∴，所以，故选：B.
【变式3】已知集合}，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由可得, ，即,
N中的满足的整点有：
，共9个点，
其中只有(1,1)这一个点不满足，故中的元素个数为8个，故选：C.
考点3：韦恩图在集合中的运用
【例5】（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成.
【详解】因为，
所以，
所以阴影部分表示的集合为.
故选：C.
【变式1】（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论.
【详解】阴影部分对应的集合为，
∵全集，集合，
∴.
故选：D.
【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】，且，
则，
阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，
则阴影部分表示的集合为.
故选：D
【变式3】（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据阴影部分所表示集合的意义得出结果．
【详解】由题意，阴影部分表示的集合为，
故选：B．
考点4：根据集合的运算求参数
【例6】（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，，，则，
若，则，解得；
若且，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【例7】设集合，，全集．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【详解】解：（1）解法1 易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是．
解法2 由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是．
【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出，由建立不等式即可得解.
【详解】由或，可得，
因为，，
所以且，
解得，
故答案为：
【变式2】已知集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】解：（1）由于，所以解得．
（2）若选①，由得．
当时，则，解得，满足条件；
当时，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选②，．
当时，，解得，满足条件：
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选③，．
当时，，解得，满足条件；
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
【变式3】已知全集.
（1）若中有四个元素，求和q的值；
（2）若，求实数q的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解；
（2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可.
【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合，
则方程有两个相等的实数解.
又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4，
所以只有，从而，所以.
所以.
（2）由知，即方程无解，
所以，解得，
故实数q的取值范围是.
考点5：集合运算在实际生活中的运用
【例8】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为( ).
A．10 B．9 C．7 D．4
【答案】A
【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.
【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋
社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；
设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，
同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；
又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，
所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，
所以，解得，
故只参加围棋社团的人数为人.
故选：A.
【变式1】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即，
所以，解得.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为.
故选：C
【变式2】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数.
【详解】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，
如下图所示：
由图可知，该班学生人数为.
故选：B.
【变式3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可；
【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则，
解得，即同时参加了3个小组的人数为8．
故选：D.
模块三 知识检测
考点1：数集间的运算
1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先解绝对值不等式，再求交集即可.
【详解】由，
则，
故选：C.
2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合B，再根据交集的运算求解即可.
【详解】因为，，
故．
故选：C．
3．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合集合并集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合并集的运算，可得，
故选：D.
4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知全集，集合，则（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】利用补集的运算进行求解.
【详解】因为，集合，
则集合或.
故选：A.
5．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D.
【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确；
对于B选项，因为，但，得，故B不正确；
对于C选项，由，，则或，
所以，故C正确；
对于D选项，由，得，
又，所以，故D不正确.
故选：C.
6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知全集，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为全集，
所以或.
故选：C
7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，求，.
【答案】，或
【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可.
【详解】因为集，集合，，
所以
或
或
8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，集合，集合．求：
(1)求，；
(2)求，．
【答案】(1)，；
(2)，.
【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解；
（2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求.
【详解】（1）因为，，
所以，，
（2）因为，，
所以，又，
所以，
由（1），，
所以.
考点2：韦恩图在集合中的运用
9．已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可.
【详解】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是，
因为，
所以．
故选：A.
10．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交并补的含义即可得到答案.
【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
11．（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题意，得到阴影部分表示的集合为，结合集合运算法则，即可求解.
【详解】由题意得，图中阴影部分表示的集合为，
因为集合，可得，
所以阴影部分所示集合的元素个数为个.
故选：B．
12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，，
(1)若，求m的取值范围；
(2)当时，求图示阴影部分对应的集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出并集，再根据集合的包含关系求参；
（2）先根据阴影部分确定对应集合关系,再应用交集补集定义求解.
【详解】（1）,
由，有：.
故m的取值范围为.
（2）阴影部分即：,
,
故：.
考点3：根据集合的运算求参数
13．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用给定的交集的结果，结合元素与集合的关系列式求解.
【详解】依题意，，则，
所以的取值范围为.
故答案为：
14．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可.
【详解】，∴．
∴当时，；当时，；当时，，
∴m的值为0，1，，∴m的值为．
故答案为：.
15．（2025高三·全国·专题练习）设，集合,．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解.
（2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案.
【详解】（1）由，得，解得，
所以.
（2）由,得，
由已知方程的判别式，
从所以．
故实数的取值范围为．
16．（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，，.
(1)求p，a，b的值；
(2)若，且，求m的值.
【答案】(1)，；
(2)或或.
【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值；
（2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得.
【详解】（1）由，故，可得，则，
又，则，故；
所以，；
（2）由，
若，即，满足题设，
若，即，则，或，
综上，或或.
考点4：集合运算在实际生活中的运用
17．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
【答案】A
【分析】根据集合的容斥原理即可求解.
【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；
集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；
则，
则.
故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.
故选：A.
18．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ）人
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】C
【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.
【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C，
则，
，
得
即，得，
所以只参加一个社团的人数共有.
故选：C
19．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ．
【答案】17
【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果.
【详解】设集合，集合，
集合，
设三项活动都参加的人数为，
则，
则由题意可得，
即，
解得．
故答案为：17
20．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人.
【答案】2
【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数.
【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学，
，
则，
且，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，
故答案为：2.
1．（2025·天津南开·模拟预测）设全集，集合，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由并集、补集的概念即可得解.
【详解】集合，，
所以，，
故选：D.
2．（2025·天津河北·模拟预测）已知全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用集合的并补运算求集合.
【详解】由题设，又，则.
故选：C
3．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）设全集，非空集合满足以下条件：
①，；
②若，，则且.
当时， （填或），此时中元素个数为 ．
【答案】
【分析】先假设，推出与条件矛盾，得，根据题意知若，，则，，对每个元素进行排除，从而得到集合和集合.
【详解】因为，，所以和有且只有一个成立，
若，对于任一个，，与若，，则矛盾，
所以不成立，只有；
因为，，所以，
若，则与矛盾，所以，
由，，可得：，
若，因为，所以，
又，所以，与矛盾，所以，
则，，则，
若，因为，所以，，与矛盾，所以，
由，，可得：，
若，因为，，所以，，与矛盾，
所以，
所以，，因此中元素个数为个．
故答案为：，.
4．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人.
【答案】44
【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.
由题意知，
且，
则，
由
，
可得，
当且仅当时，即.
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.
故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.
故答案为：.
5．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知全集，集合．求：
(1)及；
(2)及
【答案】(1)，
(2)或，
【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解；
（2）由交集、并集、补集运算即可求解；
【详解】（1）因为，
所以，
（2）由（1）可得：或，
由，可得：或，
所以
6．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1),;
(2).
【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算.
（2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以.
因为，所以或，所以.
（2）因为.
①当时，满足，此时，解得；
②当时，要满足，则解得.
综上所述，实数的取值范围是.
7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合.
(1)若，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解；
（2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可.
【详解】（1）图中阴影部分表示集合为，
当时，，又或，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，解得.
当时，若，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围是或.
8．（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知，.
(1)若时，求、；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合；
（2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，则，
所以，则.
（2）因为，则，
当时，，解得，合乎题意；
当时，即时，有，解得，即.
综上，，即实数的取值范围是.
9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果.
（2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果.
【详解】（1）当时，，
因为或，所以，
故.
（2）若选①：当时，，，成立.
当时，，由可得，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若选②：当时，，，成立.
当时，，
由可得，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若选③：由可得.
当时，，，成立.
当时，，由可得解得，所以.
综上，的取值范围是.
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