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第04讲 充分、必要条件
目录
模块一：新知归纳
模块二：考点讲解举一反三
考点1：命题的判断
考点2：充分、必要条件的判断
考点3：充分、必要条件的选择
考点4：根据充分、必要条件求参数
考点5：充分、必要条件的证明
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】充分条件与必要条件
1．命题
（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。
（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.
2．充分条件与必要条件
（1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论.
这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.
这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件.
（3）充分条件与必要条件的关系是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.
而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系.
3．充要条件
（1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件.
（2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.
（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价.
4．充分条件与必要条件的传递性
（1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件；
（2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件；
（3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件.
5．条件关系判定的常用结论
与的关系 结论
，但q p 是的充分不必要条件
，但p q 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
p q且q p 是的既不充分也不必要条件
【知识点2】从不同角度理解充分必要性
1．从命题的角度充分理解充分必要性
若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系:
（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件；
（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件；
（3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件；
（4）若原命题和逆命题都是假命题，则是的既不充分也不必要条件.
2．从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
（1）若A B，则p是q的充分不必要条件；
（2）若A B，则p是q的必要条件；
（3）若A B，则p是q的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p是q的充要条件；
（5）若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件.
【方法技巧】
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系
【知识点3】充分、必要、充要条件的证明
1．证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立.
2．证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。
【注意】
尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即
模块二 考点讲解举一反三
考点1：命题的判断
【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
【答案】B
【分析】根据命题的定义逐个判断即可.
【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误；
对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确；
对于C：这是感叹句，不是命题，C错误；
对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，
故选：B
【例2】下列命题为假命题的是（ ）
A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则
C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，
【答案】D
【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足．
【变式1】下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角
【答案】A
【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真.
【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题；
对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.
如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题；
对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；
对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题．
故选：A.
【变式2】以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
【变式3】下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角
【答案】A
【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真.
【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题；
对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.
如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题；
对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；
对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题．
故选：A.
考点2：充分、必要条件的判断
【例3】（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知实数a，b，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件和定义判断.
【详解】实数a，b，当时，若，就不能得到；
当时，若，就不能得到.
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D
【变式1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简条件，结合四种条件的定义可得答案.
【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可.
【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式3】（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系.
【详解】由，则必有，但反之不一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
考点3：充分、必要条件的选择
【例4】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可.
【详解】由题知，，解得.
故选：A
【变式1】（多选）（23-24高一上·云南昆明·期末）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案.
【详解】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确；
B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误；
C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确；
D，因为等价于，所以是的充要条件，错误．
故选：AC
【变式2】（多选）（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求.
【详解】，解得，
由于是的子集，
故是的一个必要条件，A正确，
同理，是的子集，
故是的一个必要条件，D正确，
B,C选项均不满足要求.
故选：AD.
【变式3】使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】使成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含，但不完全一致，
A选项解集为或，成立，A选项正确；
B选项解集为，为充要条件，B选项错误；
C选项解集为，不成立，C选项错误；
D选项错误；故选：A.
考点4：根据充分、必要条件求参数
【例5】已知集合．
（1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是．
（2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在．
【变式1】已知．
（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得．
【变式2】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，．
（1）若集合是空集，求的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空集构造不等式求解即可；
（2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可；
【详解】（1）因为集合是空集，所以，
解得，所以的取值范围为．
（2）．
集合不是空集，则，解得．
“”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集，
则，等号不同时取到，解得，
故的取值范围为．
【变式3】已知：实数满足(其中)：实数满足.
（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，：实数满足，又：实数满足，
因为与都为真命题，所以，解得，即；
（2）记，，因为是的必要不充分条件，所以
所以，解得：，
所以实数的取值范围是．
考点5：充分、必要条件的证明
【例6】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.
【答案】证明见解析
【分析】根据充分性与必要性定义证明即可.
【详解】先证明充分性：
由，
得，
整理得，，
所以，即是等边三角形.
然后证明必要性：
由是等边三角形，则，
所以.
综上所述，是是等边三角形的充要条件.
【变式1】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
【答案】，证明见解析
【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可.
【详解】为锐角三角形的充要条件为.
证明：充分性：若，则不是直角三角形.
若为钝角三角形，因为，则.
过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1）），
由勾股定理知
，矛盾，
故为锐角三角形，充分性成立.
必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))，
由勾股定理知，
，
故必要性成立.
故为锐角三角形的充要条件为.
【变式2】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可.
【详解】必要性：设方程与的公共根为，
则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去），
将代入，得，
整理得，所以，因此，必要性成立．
充分性：当时，．
可化为，即，
所以方程的两根为，．
同理，由可得，
所以方程的两根为，．
显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立．
故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
【变式3】求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【答案】证明见解析.
【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【详解】充分性：
若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式对任意实数恒成立，
分别将，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式对任意实数恒成立的充要条件是.
模块三 知识检测
考点1：命题的判断
1．（多选）下列语句是命题的有（ ）
A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？
C．若，则 D．三角形的内角和是
【答案】CD
【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题．
2．（多选）下列语句中，真命题有（ ）
A．若，则x，y互为倒数
B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若，则
【答案】AD
【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误．
3．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．命题“若，则”为真命题
B．“”是“”的充分不必要条件
C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题
D．命题“若，则且”为真命题
【答案】ABD
【分析】根据命题真假的判定可判断ACD；根据充分以及必要条件的判断可判断B.
【详解】对于A，时，则，故A正确；
对于B，时，；当时，或，
故“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C，方程有实数根时，，
时，必有，故命题“若，则方程有实数根”为真命题，
则命题的否定为假命题，C错误；
对于D，时，且，
故命题“若，则且”为真命题，D正确，
故选：ABD
考点2：充分、必要条件的判断
4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件，
由，可得，所以“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
5．对于集合，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】考查集合的交集、并集运算和集合的包含关系，充要条件的判定.
【详解】，且，
故选：C.
6．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设是两个集合，则“且”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得.
【详解】因“且”“” “”，
故“且”是“”的充要条件.
故选：A
7．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件.
8．（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解.
【详解】由可得，
因为集合是集合的真子集，
所以是的必要不充分条件.
故选：C.
9．（24-25高三下·上海虹口·期中）若是实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】C
【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】“”即“或”，
故“”不能推出“”， “”可以推出“”，
故“”是“”的必要非充分条件.
故选：C
10．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明.
【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出；
当，，时，满足，此时，即不能推出.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】举反例和可得出.
【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到；
若，则满足，但不满足，故无法得到，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
考点3：充分、必要条件的选择
12．（多选）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】AC
【分析】根据集合的包含关系判断即可.
【详解】因为 ， ，
所以由推得出，由推不出，
即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
同理可得是的必要不充分条件；
所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，.
故选：AC
13．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程有实根，
所以，解得.
又是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
14．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断．
【详解】，
因此只有B是其必要条件．
故选：B．
15．设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ．
【答案】或或或
【分析】由一元二次方程有实数根可得，解得，结合，即可求出.
【详解】一元二次方程有实数根,
，解得，
又，.
故答案为：或或或．
考点4：根据充分、必要条件求参数
16．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可；
（2）由题可知此时，再分和讨论即可.
【详解】（1），故，，
或.
（2）若“”是“”的充分条件，则，
当时，，
当时，，解得，
综上，.
17．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合．
(1)求集合M，并写出集合的所有真子集；
(2)若是的充分条件．求实数a的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用交集的定义求解，再写出所有真子集.
（2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解.
【详解】（1）由，得，
则，所以的所有真子集为.
（2）由是的充分条件，得，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以实数a的取值范围是.
考点5：充分、必要条件的证明
18．求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．
【答案】证明见解析
【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可.
【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即，
充分性：若，则，即满足方程，
则关于x的方程有一个根为2；
综上命题得证．
19．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【答案】见解析．
【解析】 (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
20．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
【答案】证明见解析
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合一元二次方程的性质证明即可.
【详解】充分性：
，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，
满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根是的充要条件为．
1．（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得.
【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集，
由是的充分不必要条件，即是的真子集，
所以是的真子集，即是的充分不必要条件.
故选：A
2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，
但“做难题”一定可以推出“做容易题”，
故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件，
故选：B.
3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则方程有实根 D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用必要条件的定义，逐项判断即得.
【详解】对于A，，则是的必要条件，A是；
对于B，，又，则是的充分不必要条件，B不是；
对于C，方程有实根，则，解得，
而，因此是方程有实根的必要条件，C是；
对于D，，则是的必要条件，D是.
故选：ACD
4．已知集合，．
(1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为．
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为．
5．（24-25高一上·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出，利用交集概念求出答案；
（2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案.
【详解】（1）当时，，
又因为，
所以；
（2）若选①，，则，
显然，要满足，则，解得，
故的取值范围是；
若选②，“”是“”的充分条件，则，
显然，要满足，则，解得，
故的取值范围是；
若选③，，显然，
需满足或，解得或，
故的取值范围是或
6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，．
(1)若，定义集合或，求；
(2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解；
（2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由已知当时，，
又，
则；
（2）若选①，则由，得，
当时，即，解得，此时满足，符合题意；
当时，，解得，
且，解得；
综上所述，实数的取值范围为；
若选②，由“”是“”的充分不必要条件，
则 ，
当时，即，解得，此时满足 ，符合题意；
当时，，解得，
且且不同时取等号，解得；
综上所述，实数的取值范围为.
7．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由构造不等式即可求解；
（2）由构造不等式即可求解；
【详解】（1）非空集合．可得：，解得：
由是的必要条件，可得：,
所以，解得：，综上实数的取值范围；
（2）存在，由是的充分条件，则,
所以，解得：，所以实数的取值范围
8．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件.
【答案】证明见解析
【分析】利用充分必要条件的判断方法，结合初中几何知识即可得证.
【详解】①先证明充分性：
已知：四边形ABCD是平行四边形，
求证：四边形ABCD的对角线互相平分；
证明：设AC与BD交于点，如图示：
四边形ABCD是平行四边形，
，且，，
，，
四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证；
②再证必要性：
已知：四边形ABCD的对角线互相平分，
求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：由已知可得，且，，
，，且，，
四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证；
综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件.
9．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】设出方程的根，联立方程得，即可求解必要性，利用，代入方程求解根，即可求解充分性.
【详解】证明：必要性：设方程与有公共根，
则，.
两式相减，得，
由，可得，
故，
将此式代入得
可得，故.
充分性：∵，∴.①
将①代入方程，
可得，即，
方程两根为或，
将①代入方程，
可得，
即，方程两根为或，
故两方程有公共根.
∴方程与有公共根的充要条件是.
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第04讲 充分、必要条件
目录
模块一：新知归纳
模块二：考点讲解举一反三
考点1：命题的判断
考点2：充分、必要条件的判断
考点3：充分、必要条件的选择
考点4：根据充分、必要条件求参数
考点5：充分、必要条件的证明
模块四：过关检测
题型分组练
巩固提高综合练
模块一 新知归纳
【知识点1】充分条件与必要条件
1．命题
（1）命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。
（2）命题的形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.
2．充分条件与必要条件
（1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论.
这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.
这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件.
（3）充分条件与必要条件的关系是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.
而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系.
3．充要条件
（1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件.
（2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同.
（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价.
4．充分条件与必要条件的传递性
（1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件；
（2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件；
（3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件.
5．条件关系判定的常用结论
与的关系 结论
，但q p 是的充分不必要条件
，但p q 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
p q且q p 是的既不充分也不必要条件
【知识点2】从不同角度理解充分必要性
1．从命题的角度充分理解充分必要性
若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系:
（1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件；
（2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件；
（3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件；
（4）若原命题和逆命题都是假命题，则是的既不充分也不必要条件.
2．从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
（1）若A B，则p是q的充分不必要条件；
（2）若A B，则p是q的必要条件；
（3）若A B，则p是q的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p是q的充要条件；
（5）若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件.
【方法技巧】
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系
【知识点3】充分、必要、充要条件的证明
1．证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立.
2．证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。
【注意】
尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即
模块二 考点讲解举一反三
考点1：命题的判断
【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
【例2】下列命题为假命题的是（ ）
A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则
C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，
【变式1】下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角
【变式2】以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式3】下列语句中，为真命题的是（ ）
A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补
C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角
考点2：充分、必要条件的判断
【例3】（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知实数a，b，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2】（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点3：充分、必要条件的选择
【例4】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（23-24高一上·云南昆明·期末）下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（ ）
A． B． C． D．
考点4：根据充分、必要条件求参数
【例5】已知集合．
（1）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【变式1】已知．
（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ．
【变式2】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，．
（1）若集合是空集，求的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【变式3】已知：实数满足(其中)：实数满足.
（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
考点5：充分、必要条件的证明
【例6】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.
【变式1】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
【变式2】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
【变式3】求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
模块三 知识检测
考点1：命题的判断
1．（多选）下列语句是命题的有（ ）
A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？
C．若，则 D．三角形的内角和是
2．（多选）下列语句中，真命题有（ ）
A．若，则x，y互为倒数
B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若，则
3．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．命题“若，则”为真命题
B．“”是“”的充分不必要条件
C．已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题
D．命题“若，则且”为真命题
考点2：充分、必要条件的判断
4．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．对于集合，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设是两个集合，则“且”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（24-25高三下·上海虹口·期中）若是实数，则“”是“”的（ ）条件.
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
10．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点3：充分、必要条件的选择
12．（多选）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B．或
C． D．
13．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
14．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
15．设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ．
考点4：根据充分、必要条件求参数
16．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
17．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合．
(1)求集合M，并写出集合的所有真子集；
(2)若是的充分条件．求实数a的取值范围．
考点5：充分、必要条件的证明
18．求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．
19．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
20．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.
1．（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则方程有实根 D．若，则
4．已知集合，．
(1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
5．（24-25高一上·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
6．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，．
(1)若，定义集合或，求；
(2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
7．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
8．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件.
9．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是.
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