内蒙古自治区2025年中考数学真题试卷
1．（2025·内蒙古自治区）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2025·内蒙古自治区）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·内蒙古自治区）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·内蒙古自治区）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·内蒙古自治区）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·内蒙古自治区）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·内蒙古自治区）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
9．（2025·内蒙古自治区）在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是 ．
10．（2025·内蒙古自治区）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
11．（2025·内蒙古自治区）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）．
12．（2025·内蒙古自治区）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ．
13．（2025·内蒙古自治区）计算：
（1）；
（2）．
14．（2025·内蒙古自治区）每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
分组 A B C D E
人数（频数） 2 8 14 12 4
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内
（2）该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．
15．（2025·内蒙古自治区）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
16．（2025·内蒙古自治区）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的度数；
（3）求的值．
17．（2025·内蒙古自治区）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
18．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
（2）如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵ 盈利元记作元
∴亏损元 记作-200元。
故答案为：B.
【分析】根据正负数的意义，可以用正负数表示具有相反意义的量，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、图案是中心对称图形，所以B符合题意；
C、图案不是中心对称图形，所以C 不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一个图形旋转180°后，与图形本身重合，这样的图形是中心对称图形，分别进行判断，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
∴不等式组的解集为：1≤x＜3，
在数轴轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集为1≤x＜3，并在数轴上表示解集，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，
∴AC∥A'C'，
∴
∴
∵与的相似比为，
∴，
∴
∵，
∴OC=2，AC=1，
∴OC'=4，A'C'=2，
∴A'的坐标为：（-4，-2）。
故答案为：B.
【分析】如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，得出，然后根据相似三角形的性质，即可得出OC'=4，A'C'=2，再根据点A'所在的象限，即可得出点A'的坐标。
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是一个矩形 ，
∴点O是AC的中点，
∵是边的中点，
∴OH是的中位线，
∴AB=2OH=40m，
∴ 该草坪的面积为 ：AD×AB=30×40=1200（m2）
故答案为：C.
【分析】首先根据举行的性质得出点O是AC的中点，然后根据三角形中位线定理得出AB=2OH=40m，进一步即可得出草坪的面积。
6．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设I=KU，
∵图象经过点（5，4），
∴4=5K，
∴K=，
∴I=U，
把U=15代入I=U中：I= ×15=12
故答案为：A.
【分析】首先根据待定系数法求出I=U，然后再把U=15代入I=U中，即可求得答案。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当m＜0，且m+1＜0时，即m＜-1时，，所以D正确
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质：当K＜0时，图像的两个分支分局在二，四象限，且在每个象限内，Y随X的增大而增大，即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：总共5个字母，选中S的机会有2个，
所有选中字母“”的概率是
故答案为：.
【分析】根据概率计算公式，即可得出答案。
10．【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，得：5m+3n。
故答案为：5m+3n.
【分析】根据 大串冰糖葫芦每根穿5个山楂， 则穿根大串 需要5m个糖葫芦， 小串冰糖葫芦每根穿3个山楂， 则根小串冰糖葫芦需要 3n个糖葫芦，进而得出答案。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，CD=90m，
在Rt中：∠CBD=30°，∠BDC=90°，
∴BC=2CD=180m，
∴BD=，
在Rt中：∠ADC=90°，∠ACD=30°，
∴AD=CD×tan30°=90×=30，
∴AB=AD+BD=30+90=120.
故答案为：120.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，构成两个直角三角形Rt和Rt，然后分别解直角三角形可求得AD和BD的长度，进一步相加即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=， AC⊥BD，
在Rt中：AO=，
∵是的中点，EH∥AC，
∴EH=，OH=，
∵BF=3，
∴FO=BO-BF=8-3=5，
∴FH=5+4=9，
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=， AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。
13．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】（1）首先根据有理数的绝对值的性质，算术平方根去掉绝对值符号和根号，然后再进行有理数的加减乘除运算，即可得出结果；
（2）首先把分式的分子和分母中的多项式进行化简，然后再进行分式的乘法运算，进行乘法运算时，可先进行约分。
14．【答案】（1）解： ∵随机抽取了40名学生，
∴中位数为第名学生的视力的平均数，
由频数分布表可得第名学生在组，
∴这40名学生视力的中位数落在组；
（2）解： ①由题意得，（人）
答：500名八年级学生的视力在范围内有200人；
②因为，
所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，
建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用 ．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行分析，可得出中位数为第名学生的视力的平均数，再根据频数分布表即可得出第名学生在组；
（2）①首先根据样本求出 视力在范围内的人数 占样本容量40的百分比，然后用样本去估计总体，从而得出500名八年级学生的视力在范围内的人数；②根据①的结果与去年数据进行比较，即可得出答案，今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，并提出合理建议即可。
15．【答案】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据 该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个 ，可列出分式方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设需要个这样的机器人，并把1小时转化成，根据采摘的苹果个数不少于10000个，可列出不等式，解不等式并取其最小整数解即可得出答案。
16．【答案】（1）解：如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；余弦的概念
【解析】【分析】（1）如图，连接，可得出是等边三角形，从而得出∠COD=60°，又知道半径OC=2，然后根据弧长计算公式即可得出的长；
（2）首先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=30°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出 的度数；
（3）首先在Rt中，根据，可得出，然后根据同角的余角相等可得出，进而根据余弦的定义求出∠POE的余弦，进而得出∠OFP的余弦即可。
17．【答案】（1）解：，，
（2）解：抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【知识点】点的坐标；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
【分析】（1）根据矩形的性质，以及点的坐标的定义即可得出，，；
（2）如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，根据矩形和抛物线的对称性，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，然后根据顶点式，利用待定系数法，即可求得抛物线和抛物线的表达式；
（3）首先证得四边形是矩形，从而得出，设=n，进而根据L1和L2的函数关系式表示出yE和yH，然后根据边的长为， 即可得出关于n的方程，解方程求得n的值（舍去不合题意的值），即xE的值，进而求得EF的长度即可。
18．【答案】（1）解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）①首先根据AAS可证得，进而得出；
②如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得出，，再根据余弦定义，求得，进而得出，再根据勾股定理求得，然后根据三角形的面积计算公式即可求得的面积 ；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，首先根据勾股定理求得，再根据面积法求得，再由勾股定理得出，再根据AAS证得，进而，，再根据，可得出，即可得出。
1 / 1内蒙古自治区2025年中考数学真题试卷
1．（2025·内蒙古自治区）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵ 盈利元记作元
∴亏损元 记作-200元。
故答案为：B.
【分析】根据正负数的意义，可以用正负数表示具有相反意义的量，即可得出答案。
2．（2025·内蒙古自治区）下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B、图案是中心对称图形，所以B符合题意；
C、图案不是中心对称图形，所以C 不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，所以A不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一个图形旋转180°后，与图形本身重合，这样的图形是中心对称图形，分别进行判断，即可得出答案。
3．（2025·内蒙古自治区）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 不等式组，
解不等式①，得：x≥1，
解不等式②，得：x＜3，
∴不等式组的解集为：1≤x＜3，
在数轴轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】首先解不等式组求出不等式组的解集为1≤x＜3，并在数轴上表示解集，即可得出答案。
4．（2025·内蒙古自治区）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，
∴AC∥A'C'，
∴
∴
∵与的相似比为，
∴，
∴
∵，
∴OC=2，AC=1，
∴OC'=4，A'C'=2，
∴A'的坐标为：（-4，-2）。
故答案为：B.
【分析】如图，分别过点A和点A'作AC和A'C'分别与x轴垂直，得出，然后根据相似三角形的性质，即可得出OC'=4，A'C'=2，再根据点A'所在的象限，即可得出点A'的坐标。
5．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是一个矩形 ，
∴点O是AC的中点，
∵是边的中点，
∴OH是的中位线，
∴AB=2OH=40m，
∴ 该草坪的面积为 ：AD×AB=30×40=1200（m2）
故答案为：C.
【分析】首先根据举行的性质得出点O是AC的中点，然后根据三角形中位线定理得出AB=2OH=40m，进一步即可得出草坪的面积。
6．（2025·内蒙古自治区）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图过程可知：EG平分∠AEF，∠AEF=80°，
∴∠AEG=40°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠AEG=40°.
故答案为：D.
【分析】根据题意可知EG平分∠AEF，从而得出∠AEG=40°，再根据平行线的性质可得出GEF=∠AEG=40°.
7．（2025·内蒙古自治区）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：设I=KU，
∵图象经过点（5，4），
∴4=5K，
∴K=，
∴I=U，
把U=15代入I=U中：I= ×15=12
故答案为：A.
【分析】首先根据待定系数法求出I=U，然后再把U=15代入I=U中，即可求得答案。
8．（2025·内蒙古自治区）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当m＜0，且m+1＜0时，即m＜-1时，，所以D正确
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质：当K＜0时，图像的两个分支分局在二，四象限，且在每个象限内，Y随X的增大而增大，即可得出答案。
9．（2025·内蒙古自治区）在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：总共5个字母，选中S的机会有2个，
所有选中字母“”的概率是
故答案为：.
【分析】根据概率计算公式，即可得出答案。
10．（2025·内蒙古自治区）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，得：5m+3n。
故答案为：5m+3n.
【分析】根据 大串冰糖葫芦每根穿5个山楂， 则穿根大串 需要5m个糖葫芦， 小串冰糖葫芦每根穿3个山楂， 则根小串冰糖葫芦需要 3n个糖葫芦，进而得出答案。
11．（2025·内蒙古自治区）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，CD=90m，
在Rt中：∠CBD=30°，∠BDC=90°，
∴BC=2CD=180m，
∴BD=，
在Rt中：∠ADC=90°，∠ACD=30°，
∴AD=CD×tan30°=90×=30，
∴AB=AD+BD=30+90=120.
故答案为：120.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，构成两个直角三角形Rt和Rt，然后分别解直角三角形可求得AD和BD的长度，进一步相加即可得出答案。
12．（2025·内蒙古自治区）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=， AC⊥BD，
在Rt中：AO=，
∵是的中点，EH∥AC，
∴EH=，OH=，
∵BF=3，
∴FO=BO-BF=8-3=5，
∴FH=5+4=9，
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=， AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。
13．（2025·内蒙古自治区）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】（1）首先根据有理数的绝对值的性质，算术平方根去掉绝对值符号和根号，然后再进行有理数的加减乘除运算，即可得出结果；
（2）首先把分式的分子和分母中的多项式进行化简，然后再进行分式的乘法运算，进行乘法运算时，可先进行约分。
14．（2025·内蒙古自治区）每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
分组 A B C D E
人数（频数） 2 8 14 12 4
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内
（2）该校八年级共有500名学生．
①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数；
②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．
【答案】（1）解： ∵随机抽取了40名学生，
∴中位数为第名学生的视力的平均数，
由频数分布表可得第名学生在组，
∴这40名学生视力的中位数落在组；
（2）解： ①由题意得，（人）
答：500名八年级学生的视力在范围内有200人；
②因为，
所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，
建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用 ．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行分析，可得出中位数为第名学生的视力的平均数，再根据频数分布表即可得出第名学生在组；
（2）①首先根据样本求出 视力在范围内的人数 占样本容量40的百分比，然后用样本去估计总体，从而得出500名八年级学生的视力在范围内的人数；②根据①的结果与去年数据进行比较，即可得出答案，今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，并提出合理建议即可。
15．（2025·内蒙古自治区）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个．
（1）求的值；
（2）现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个
【答案】（1）解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴的值为8
（2）解：1小时，
设需要个这样的机器人，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小值为6，
答：至少需要6个这样的机器人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据 该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个 ，可列出分式方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（2）设需要个这样的机器人，并把1小时转化成，根据采摘的苹果个数不少于10000个，可列出不等式，解不等式并取其最小整数解即可得出答案。
16．（2025·内蒙古自治区）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
（1）求的长；
（2）求的度数；
（3）求的值．
【答案】（1）解：如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；余弦的概念
【解析】【分析】（1）如图，连接，可得出是等边三角形，从而得出∠COD=60°，又知道半径OC=2，然后根据弧长计算公式即可得出的长；
（2）首先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=30°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出 的度数；
（3）首先在Rt中，根据，可得出，然后根据同角的余角相等可得出，进而根据余弦的定义求出∠POE的余弦，进而得出∠OFP的余弦即可。
17．（2025·内蒙古自治区）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【答案】（1）解：，，
（2）解：抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【知识点】点的坐标；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
【分析】（1）根据矩形的性质，以及点的坐标的定义即可得出，，；
（2）如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，根据矩形和抛物线的对称性，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，然后根据顶点式，利用待定系数法，即可求得抛物线和抛物线的表达式；
（3）首先证得四边形是矩形，从而得出，设=n，进而根据L1和L2的函数关系式表示出yE和yH，然后根据边的长为， 即可得出关于n的方程，解方程求得n的值（舍去不合题意的值），即xE的值，进而求得EF的长度即可。
18．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
（2）如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
【答案】（1）解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）①首先根据AAS可证得，进而得出；
②如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得出，，再根据余弦定义，求得，进而得出，再根据勾股定理求得，然后根据三角形的面积计算公式即可求得的面积 ；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，首先根据勾股定理求得，再根据面积法求得，再由勾股定理得出，再根据AAS证得，进而，，再根据，可得出，即可得出。
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