【新课预习衔接】1.4充分条件与必要条件（含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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新课预习衔接 充分条件与必要条件
一．选择题（共4小题）
1．（2024 嘉定区校级学业考试）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]＝3，[0.6]＝0．那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024 河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（　　）
A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3
3．（2024春 利辛县校级月考）若a，b∈R，则“a2+b2≤6”是“ab≤3”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024春 科尔沁区校级期末）设甲：x＞1，乙：|x|＞1，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二．多选题（共4小题）
（多选）5．（2020秋 思明区校级期中）给出下列四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④．其中能成为x＞y的充分条件的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
（多选）6．（2024春 德化县校级期末）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（　　）
A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似
B．若x＞5，则x＞10
C．若ac＝bc，则a＝b
D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1
（多选）7．（2024 叙州区校级期末）下列条件中，﹣2＜x＜2的必要不充分条件是（　　）
A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜3 C．0＜x≤2 D．1＜x＜3
（多选）8．（2024 市北区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根一负根”的充要条件
三．填空题（共3小题）
9．（2024 西宁期末）若“x＞a2”的一个充分不必要条件是“x＞2”，则实数a的取值范围是 　 　．
10．（2024 北京模拟）已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 　 　．
11．（2024 鼓楼区校级月考）已知p：4x﹣m＜0，q：1≤3﹣x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为 　 　
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 朝阳区校级月考）已知或x≤3m﹣3．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
13．（2024 丰城市校级期末）已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞6}，B＝{x|m+1≤x≤2m}．
（1）若m＝3，求A∪B，（ RA）∩（ RB）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求m的取值范围．
14．（2024 江岸区校级期末）已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．
（1）若a＝1，求实数x的取值范围；
（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的必要不充分条件，则求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．（2024 双塔区校级期末）已知集合，B＝{x|2x2+x﹣3＞0}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若集合A∩（ RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．
新课预习衔接 充分条件与必要条件
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 嘉定区校级学业考试）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]＝3，[0.6]＝0．那么“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件必要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】B
【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可．
【解答】解：如果|x﹣y|＜1，比如x＝3.9，y＝4.1，则有|x﹣y|＝0.2＜1，
根据定义，[x]＝3，[y]＝4，[x]≠[y]，
即“|x﹣y|＜1”不是“[x]＝[y]”的充分条件；
如果[x]＝[y]＝n，n∈Z，则有x＝n+d1，y＝n+d2，d1，d2∈[0，1），
∴|x﹣y|＝|d1﹣d2|＜1，所以“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的必要条件；
故“|x﹣y|＜1”是“[x]＝[y]”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断，属于中档题．
2．（2024 河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（　　）
A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】综合题；整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】D
【分析】由|x﹣3|＜2可得1＜x＜5，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案．
【解答】解：因为|x﹣3|＜2，
所以﹣2＜x﹣3＜2，解得1＜x＜5，
由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
3．（2024春 利辛县校级月考）若a，b∈R，则“a2+b2≤6”是“ab≤3”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件必要条件的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可．
【解答】解：因为2ab≤a2+b2≤6，当且仅当a＝b时取等，
所以ab≤3，所以“a2+b2≤6”能推出“ab≤3”，
取，满足ab≤3，但，
“ab≤3”不能推出“a2+b2≤6”，
故“a2+b2≤6”是“ab≤3”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的运用，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2024春 科尔沁区校级期末）设甲：x＞1，乙：|x|＞1，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可．
【解答】解：由题x＞1，可得|x|＞1；
但由|x|＞1，可得x＞1或x＜﹣1，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）5．（2020秋 思明区校级期中）给出下列四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④．其中能成为x＞y的充分条件的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】充分条件的判断．
【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】AD
【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x＞y，充分性即为所选答案推出x＞y．
【解答】解：①．由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y．故①是．
②．由xt＞yt可知，t≠0，当t＜0时，有x＜y；当t＞0时，有x＞y．故②不是．
③由x2＞y2，则|x|＞|y|，推不出x＞y，故③不是；
④．由．由函数y在区间（0，+∞）上单调递减，可得x＞y＞0，故④是．
故选：AD．
【点评】本题考查了充分必要关系的判断，还考查了不等式的性质，属于基础题．
（多选）6．（2024春 德化县校级期末）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（　　）
A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似
B．若x＞5，则x＞10
C．若ac＝bc，则a＝b
D．若0＜x＜5，则|x﹣1|＜1
【考点】必要条件的判断．
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】BCD
【分析】根据充分必要条件的意义即可判断出结论．
【解答】解：A．两个三角形全等 这两个三角形相似，反之，不成立，故p是q的充分条件；
B．p：x＞5，q：x＞10，p推不出q，由q p．故p是q的必要条件；
C．p：ac＝bc，q：a＝b，p推不出q，由q p．故p是q的必要条件；
D．|x﹣1|＜1 0＜x＜2，p：0＜x＜5，q：0＜x＜2，p推不出q，由q p．故p是q的必要条件；
∴只有B，C，D中p是q的必要条件．
故选：BCD．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）7．（2024 叙州区校级期末）下列条件中，﹣2＜x＜2的必要不充分条件是（　　）
A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜3 C．0＜x≤2 D．1＜x＜3
【考点】必要不充分条件的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】AB
【分析】根据题意，利用必要不充分条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于选项A，由﹣2≤x≤2不能推出﹣2＜x＜2，由﹣2＜x＜2可以推出﹣2≤x≤2，
所以﹣2≤x≤2是﹣2＜x＜2的必要不充分条件；
对于选项B，由﹣2＜x＜3不能推出﹣2＜x＜2，由﹣2＜x＜2可以推出﹣2＜x＜3，
所以﹣2＜x＜3是﹣2＜x＜2的必要不充分条件；
对于选项C，由0＜x≤2不能推出﹣2＜x＜2，由﹣2＜x＜2也不能推出0＜x≤2，
所以0＜x≤2是﹣2＜x＜2的既不充分也不必要条件；
对于选项D，由1＜x＜3不能推出﹣2＜x＜2，由﹣2＜x＜2也不能推出1＜x＜3，
所以1＜x＜3是﹣2＜x＜2的既不充分也不必要条件．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质等知识，属于基础题．
（多选）8．（2024 市北区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件
C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根一负根”的充要条件
【考点】充分条件必要条件的判断．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】ABD
【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质和方程根的分布，判断选项的正误．
【解答】解：a＜3时一定满足a＜5，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，A选项正确；
由不等式的性质可知，当a＞1且b＞1时，有ab＞1，所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件，B选项正确；
由绝对值的几何意义可知，x＞y时不能得到|x|＞|y|，“|x|＞|y|”不是“x＞y”的必要条件，C选项错误；
m＜0时，关于x的方程x2﹣2x+m＝0，Δ＝4﹣4m＞0，方程有两个不相等实根，两根之积m＜0，所以方程有一正根一负根；
关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根一负根，设为x1，x2，则有，解得m＜0，
所以“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根一负根”的充要条件，D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024 西宁期末）若“x＞a2”的一个充分不必要条件是“x＞2”，则实数a的取值范围是 　　．
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】．
【分析】利用集合的包含关系解不等式即可．
【解答】解：因为“x＞2”是“x＞a2”的一个充分不必要条件，
所以{x|x＞2}是{x|x＞a2}的真子集，故．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用充分必要条件的定义求字母取值范围问题，需要转化为集合关系解答，属于基础题．
10．（2024 北京模拟）已知p：x2﹣8x+15＜0，q：（x﹣2m）（x﹣5m）＜0，其中m＞0．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 　{m|}　．
【考点】充分条件必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】{m|}．
【分析】解出p，q的范围，并设A＝{x|x∈p}、B＝{x|x∈q}，根据q是p的必要不充分条件，得出A B，根据集合包含关系即可得出．
【解答】解：解x2﹣8x+15＜0可得3＜x＜5，即p：3＜x＜5，
因为m＞0，所以5m＞2m，解（x﹣2m）（x﹣5m）＜0可得2m＜x＜5m，
即q：2m＜x＜5m．
设A＝{x|x∈p}＝{x|3＜x＜5}，B＝{x|x∈q}＝{x|2m＜x＜5m，m＞0}，
因为若q是p的必要不充分条件，所以A B，
所以有，且不能同时取等号，所以．
故答案为：{m|}．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11．（2024 鼓楼区校级月考）已知p：4x﹣m＜0，q：1≤3﹣x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为 　（8，+∞）　
【考点】必要不充分条件的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】（8，+∞）．
【分析】根据题意，利用必要不充分的推出关系列式求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：将条件p、q化简，得，q：﹣1≤x≤2，
根据题意，由q可以推出p，但由p不可推出q，故，得m＞8．
故答案为：（8，+∞）．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 朝阳区校级月考）已知或x≤3m﹣3．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】充分条件必要条件的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先求出p范围，依题意p是q的充分条件，则p所表示的范围更小，列出不等式求解即可；
（2）先写出 q的范围，由p是 q的必要不充分条件，则 q表示的范围比p所表示范围小，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）因为p：，所以p：，即2＜x＜8，
因为p是q的充分条件，所以3m+1≤2或3m﹣3≥8，
解得或，即实数m的取值范围是；
（2）依题意， q：3m﹣3＜x＜3m+1，由（1）知p：2＜x＜8，
又p是 q的必要不充分条件，所以
解得，即实数m的取值范围是．
【点评】本题主要考查了充分必要条件与集合包含关的转化，属于中档题．
13．（2024 丰城市校级期末）已知集合A＝{x|x＜﹣2或x＞6}，B＝{x|m+1≤x≤2m}．
（1）若m＝3，求A∪B，（ RA）∩（ RB）；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【考点】必要不充分条件的应用．
【专题】分类讨论；定义法；集合；数学运算．
【答案】（1）A∪B＝{x|x＜﹣2或x≥4}，（ RA）∩（ RB）＝{x|﹣2≤x＜4}；
（2）{m|m＜1或m＞5}．
【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解；
（2）根据题目条件得到B是A的真子集，列不等式组，求出答案即可．
【解答】解：（1）m＝3时，B＝{x|4≤x≤6}，所以A∪B＝{x|x＜﹣2或x≥4}，
RA＝{x|﹣2≤x≤6}， RB＝{x|x＜4或x＞6}，
所以（ RA）∩（ RB）＝{x|﹣2≤x＜4}；
（2）由题意得B是A的真子集，
所以B＝ 时，m+1＞2m，解得m＜1；
B≠ 时，或，
解得m＞5，
综上，m的取值范围是{m|m＜1或m＞5}．
【点评】本题考查了集合的运算以及集合之间的关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
14．（2024 江岸区校级期末）已知p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，a＞0．
（1）若a＝1，求实数x的取值范围；
（2）已知q：实数x满足2＜x≤3．若存在实数a，使得p是q的必要不充分条件，则求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】必要不充分条件的应用．
【专题】集合思想；定义法；简易逻辑；数学运算．
【答案】（1）（1，2）；
（2）．
【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；
（2）先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝1时，由不等式x2﹣3x+2＜0可得：1＜x＜2，即实数x的取值范围为（1，2）．
（2）由不等式x2﹣3ax+2a2＜0可得：（x﹣a）（x﹣2a）＜0，因a＞0，故a＜2a，则有：a＜x＜2a，
因p是q的必要不充分条件，故q p，p q，则（2，3]（a，2a），故得：，
即实数a的取值范围为．
【点评】本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
15．（2024 双塔区校级期末）已知集合，B＝{x|2x2+x﹣3＞0}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若集合A∩（ RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数m的取值范围．
【考点】充分不必要条件的应用．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据充分不必要条件的定义得到A是B的真子集，然后列不等式求解即可；
（2）根据集合 RB得到整数元素为﹣1，0，1中的两个，然后根据集合A∩（ RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负列不等式求解．
【解答】解：（1）或x＞1}，
根据充分不必要条件的定义可知A是B的真子集，
所以或，
解得或，
故实数m的取值范围为．
（2）由（1）可知，，则集合 RB中含有整数元素﹣1，0，1，
由集合A∩（ RB）中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知，
解得，
故实数m的取值范围为．
【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题．
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