【新课预习衔接】1.5全称量词与存在量词（含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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新课预习衔接 全称量词与存在量词
一．选择题（共4小题）
1．（2024 岳池县校级期末）命题“ x＜0，使x2﹣3x+1≥0”的否定是（　　）
A． x＜0，使x2﹣3x+1＜0 B． x≥0，使x2﹣3x+1＜0
C． x＜0，使x2﹣3x+1＜0 D． x≥0，使x2﹣3x+1＜0
2．（2024 黔西南州期末）已知命题，那么 P是（　　）
A． x＞1，x2﹣1＞0 B． x＞1，x2﹣1≤0
C． x0＞1， D． x0＜1，
3．（2024 南开区学业考试）命题 x0∈R，1＜f（x0）≤2的否定形式是（　　）
A． x∈R，1＜f （ x）≤2
B． x∈R，f （ x）≤1 或 f （ x）＞2
C． x∈R，1＜f （ x）≤2
D． x∈R，f （ x）≤1 或 f （ x）＞2
4．（2024春 青冈县校级期末）命题“ x＞0，ex≥x+1”的否定是（　　）
A． x＞0，ex＜x+1 B． x≤0，ex＜x+1
C． x＞0，ex＜x+1 D． x≤0，ex＜x+1
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024秋 射阳县校级月考）命题p：“ x∈R，ax2+2ax﹣4＞0”的否定为真命题的一个充分条件是（　　）
A．﹣4≤a≤0 B．﹣3≤a≤0 C．﹣5＜a＜0 D．﹣5＜a≤1
（多选）6．（2024 惠州期末）若“ x∈M，x＜0”为真命题，“ x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是（　　）
A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|0≤x＜3} D．{x|﹣4＜x＜4}
三．填空题（共4小题）
7．（2024 开福区校级模拟）若命题“ a＜0，”是假命题，则实数b的取值范围为 　 　．
8．（2024 金安区校级期末）命题“ x＞0，ln（x+1）＞0”的否定是　 　．
9．（2024春 平罗县校级期末）若命题：“ x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为 　 　．
10．（2024 汉台区期末）已知命题“p： x∈R，ax2﹣ax≥1”，若 p是真命题，则实数a的取值范围是 　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 杭州月考）已知命题p： x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命题q： x∈R，x2+2kx+3k+4＝0．
（1）当命题 p为假命题时，求实数k的取值范围；
（2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围．
12．（2024 宁安市校级月考）已知命题p： x∈R，x2+2m﹣3＞0，命题q： x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．
13．（2024 罗湖区校级期中）已知命题P： x∈R，使x2﹣4x+m＝0为假命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
14．（2024 新泰市校级月考）已知命题p： x∈R，x2﹣2x+a2＝0，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B＝{a|2m﹣3≤a≤m+1}，且A B，求实数m的取值范围．
15．（2024 渝北区校级月考）已知命题p： x∈R，不等式x2+4x+9﹣m＞0恒成立；
命题q： x∈{x|x＞0}，x2﹣2mx+1＜0成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．
新课预习衔接 全称量词与存在量词
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 岳池县校级期末）命题“ x＜0，使x2﹣3x+1≥0”的否定是（　　）
A． x＜0，使x2﹣3x+1＜0 B． x≥0，使x2﹣3x+1＜0
C． x＜0，使x2﹣3x+1＜0 D． x≥0，使x2﹣3x+1＜0
【考点】存在量词命题的否定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．
【答案】C
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“ x＜0，使x2﹣3x+1≥0”的否定是： x＜0，使x2﹣3x+1＜0．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．（2024 黔西南州期末）已知命题，那么 P是（　　）
A． x＞1，x2﹣1＞0 B． x＞1，x2﹣1≤0
C． x0＞1， D． x0＜1，
【考点】存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接判断即可．
【解答】解：命题，为存在量词命题，其否定为全称量词命题，
所以命题P的否定为： x＞1，x2﹣1≤0．
故选：B．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3．（2024 南开区学业考试）命题 x0∈R，1＜f（x0）≤2的否定形式是（　　）
A． x∈R，1＜f （ x）≤2
B． x∈R，f （ x）≤1 或 f （ x）＞2
C． x∈R，1＜f （ x）≤2
D． x∈R，f （ x）≤1 或 f （ x）＞2
【考点】存在量词命题的否定．
【专题】计算题；定义法；简易逻辑．
【答案】B
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“ x0∈R，1＜f （ x0）≤2”的否定形式是 x∈R，f （ x）≤1 或 f （ x）＞2．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
4．（2024春 青冈县校级期末）命题“ x＞0，ex≥x+1”的否定是（　　）
A． x＞0，ex＜x+1 B． x≤0，ex＜x+1
C． x＞0，ex＜x+1 D． x≤0，ex＜x+1
【考点】全称量词命题的否定．
【专题】计算题；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】C
【分析】根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题“ x＞0，ex≥x+1”是全称命题，
其否定为 x＞0，ex＜x+1，
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）5．（2024秋 射阳县校级月考）命题p：“ x∈R，ax2+2ax﹣4＞0”的否定为真命题的一个充分条件是（　　）
A．﹣4≤a≤0 B．﹣3≤a≤0 C．﹣5＜a＜0 D．﹣5＜a≤1
【考点】存在量词命题否定的真假判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】AB
【分析】先求出命题的否定，再判断取值范围即可得出结果．
【解答】解：命题p：“ x∈R，ax2+2ax﹣4＞0”的否定为“ x∈R，ax2+2ax﹣4≤0”，
当a＝0时，﹣4≤0恒成立，符合题意；
当a≠0时，，
综上，﹣4≤a≤0．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了存在量词及全称量词命题真假关系的应用，属于基础题．
（多选）6．（2024 惠州期末）若“ x∈M，x＜0”为真命题，“ x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是（　　）
A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤4} C．{x|0≤x＜3} D．{x|﹣4＜x＜4}
【考点】存在量词命题真假的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】AD
【分析】依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，即可判断．
【解答】解：依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，
则集合{x|x＜1}和{x|﹣4＜x＜4}均符合题意．
故选：AD．
【点评】本题考查命题真假的判定，注意存在量词命题真假的判断方法，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
7．（2024 开福区校级模拟）若命题“ a＜0，”是假命题，则实数b的取值范围为 　[﹣2，+∞）　．
【考点】存在量词命题真假的应用．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】[﹣2，+∞）．
【分析】将问题转化命题“ a＜0，”是真命题，求解即可．
【解答】解：因为命题“ a＜0，”是假命题，
所以命题“ a＜0，”是真命题，
当a＜0时，，
当且仅当，即a＝﹣1时等号成立，
所以，
所以b≥﹣2，
所以实数b的取值范围是[﹣2，+∞），
故答案为：[﹣2，+∞）．
【点评】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
8．（2024 金安区校级期末）命题“ x＞0，ln（x+1）＞0”的否定是　 x0＞0，ln（x0+1）≤0　．
【考点】全称量词命题的否定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：全称命题的否定要用存在量词，
再否定其性质，
所以为 x0＞0，ln（x0+1）≤0．
故答案为： x0＞0，ln（x0+1）≤0．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
9．（2024春 平罗县校级期末）若命题：“ x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为 　　．
【考点】存在量词命题真假的应用．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中条件可得方程4x2﹣2x+m＝0无实数解，则Δ＜0，解出即可．
【解答】解：由题意可知方程4x2﹣2x+m＝0无实数解，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4×4m＜0，解得，
故实数m的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
10．（2024 汉台区期末）已知命题“p： x∈R，ax2﹣ax≥1”，若 p是真命题，则实数a的取值范围是 　（﹣4，0]　．
【考点】存在量词和存在量词命题；命题的真假判断与应用．
【专题】分类讨论；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】（﹣4，0]．
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，结合不等式恒成立问题求解即可．
【解答】解：命题“￢p： x∈R，ax2﹣ax＜1”为真命题，则不等式ax2﹣ax﹣1＜0恒成立．
当a＝0时，﹣1＜0恒成立，
a≠0时，应满足，解得﹣4＜a＜0．
综上，实数a的取值范围是（﹣4，0]．
故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题考查了存在量词命题的否定为全称量词命题应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 杭州月考）已知命题p： x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命题q： x∈R，x2+2kx+3k+4＝0．
（1）当命题 p为假命题时，求实数k的取值范围；
（2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围．
【考点】全称量词命题否定真假的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）[3，+∞）；（2）（﹣∞，﹣1]∪[3，4）．
【分析】（1）根据p为真命题，分离参数得到k≥（x2+2x）max＝3，得到答案；
（2）根据题意得到命题p和q一真一假，分两种情况p为真，q为假时和当q为真，p为假时，求出参数的取值范围．
【解答】解：（1）当命题 p为假命题时，命题p为真命题，
p： x∈[﹣1，1]，x2+2x≤k，
当x∈[﹣1，1]时，x2+2x∈[﹣1，3]，
∴k≥（x2+2x）max＝3，即k≥3；
∴实数k的取值范围为[3，+∞）．
（2）∵命题p和q中有且仅有一个是假命题，
∴命题p和q一真一假，
当命题q为真命题时，Δ＝4k2﹣4（3k+4）≥0，解得k≤﹣1或k≥4，
①当命题p为真，命题q为假时，
，解得3≤k＜4，
②当命题q为真，命题p为假时，
，解得k≤﹣1，
综上，实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，4）．
【点评】本题考查的知识要点：复合函数的性质，不等式组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12．（2024 宁安市校级月考）已知命题p： x∈R，x2+2m﹣3＞0，命题q： x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】全称量词和全称量词命题；复合命题及其真假；命题的真假判断与应用．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【答案】（1）；
（2）{m|m＜﹣1或．
【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为x2＞3﹣2m对x∈R恒成立，即可求m的取值范围；
（2）求命题q为真命题时m的取值范围，再求两个集合的并集．
【解答】解：（1）若命题p为真命题，则x2＞3﹣2m对x∈R恒成立，因此3﹣2m＜0，解得．
故实数m的取值范围是．
（2）若命题q为真命题，
则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m+2）＞0，即m2﹣m﹣2＞0，解得m＜﹣1或m＞2，
因此，实数m的取值范围是{m|m＜﹣1或m＞2}；
若命题p，q至少有一个为真命题，
可得∪{m|m＜﹣1或m＞2}＝{m|m＜﹣1或．
所以实数m的取值范围{m|m＜﹣1或．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
13．（2024 罗湖区校级期中）已知命题P： x∈R，使x2﹣4x+m＝0为假命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】存在量词和存在量词命题；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】（1）（4，+∞）
（2）实数a的取值范围为[，2）．．
【分析】（1）通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出B即可；
（2）根据充分必要条件的定义得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）由题意，得关于x的方程x2﹣4x+m＝0无实数根，
所以Δ＝16﹣4m＜0，解得m＞4，
即B＝（4，+∞）；
（2）因为A＝{x|3a＜x＜a+4}为非空集合，
所以3a＜a+4，即a＜2，
因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，则a＜2且3a≥4，
即a＜2，
综上所述，实数a的取值范围为[，2）．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是基础题．
14．（2024 新泰市校级月考）已知命题p： x∈R，x2﹣2x+a2＝0，命题p为真命题时实数a的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合B＝{a|2m﹣3≤a≤m+1}，且A B，求实数m的取值范围．
【考点】存在量词和存在量词命题；集合的包含关系判断及应用．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据判别式求解可得结果；
（2）根据子集关系列式，解不等式组可得结果．
【解答】解：（1）命题p为真命题时，则Δ＝4﹣4a2≥0，得﹣1≤a≤1，
∴A＝{a|﹣1≤a≤1}；
（2）由（1）知，A＝{a|﹣1≤a≤1}，
∵A B，
∴，解得0≤m≤1，
故实数m的取值范围为[0，1]．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15．（2024 渝北区校级月考）已知命题p： x∈R，不等式x2+4x+9﹣m＞0恒成立；
命题q： x∈{x|x＞0}，x2﹣2mx+1＜0成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题及其真假．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）（﹣∞，5）；
（2）（﹣∞，1]∪[5，+∞）．
【分析】（1）根据题意，由一元二次不等式的解法，分析可得Δ＝16﹣4（9﹣m）＜0，解可得答案；
（2）根据题意，求出q为真命题时m的取值范围，又由命题p，q一真一假，分析可得关于m的不等式，解可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，命题p： x∈R，不等式x2+4x+9﹣m＞0恒成立；
若命题p为真命题，则Δ＝16﹣4（9﹣m）＜0，解得m＜5，
故实数m的取值范围（﹣∞，5）
（2）根据题意，命题q， x∈{x|x＞0}，x2﹣2mx+1＜0成立，
对于x2﹣2mx+1＜0，当x＞0时，变形可得2m＞x，
又由x22，当且仅当x＝1时等号成立，即（x）min＝2，
若命题q为真命题．则，必有m＞1，
又由命题p，q中恰有一个为真命题，则命题p，q一真一假，
①当p真q假时，，解得：m≤1
②当p假q真时，，解得：m≥5．
综上，实数m的取值范围（﹣∞，1]∪[5，+∞）．
【点评】本题考查命题真假的判断，注意全称命题和特称命题的定义，属于基础题．
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