【新课预习衔接】2.2基本不等式（含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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新课预习衔接 基本不等式
一．选择题（共5小题）
1．（2024 襄城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B． C．9 D．
2．（2024 唐县校级期末）若x＞1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 雁峰区校级期末）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2024秋 江西月考）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024春 孝南区校级期末）若a＞b，且ab＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024 随州模拟）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．a2+b2有最小值
（多选）7．（2024 衡阳县校级模拟）已知正数x，y满足x+2y＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．xy的最大值为
B．x2+4y2的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
（多选）8．（2024春 沙河口区校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）
A．ab的最小值是
B．2a2+b2的最小值是
C．的最大值是
D．的最小值是
三．填空题（共3小题）
9．（2024 樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则的最小值为 　 　．
10．（2024 宜宾三模）已知x＞1，求x的最小值是　 　．
11．（2024 红谷滩区校级模拟）已知实数x、y满足x（x+y）＝2+2y2，则7x2﹣y2的最小值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 环县校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b﹣ab＝0．
（1）求ab的最小值；
（2）求2a+3b的最小值．
13．（2024 牡丹区校级月考）已知方程ax2﹣bx+3＝0的解为1，3．
（1）求实数a，b的值；
（2）若m＞0，n＞0，且am+bn＝3，求的最小值．
14．（2024 福州期末）（1）已知x＞1，求的最小值；
（2）若a，b均为正实数，且满足a+2b＝1，求的最小值．
15．（2024春 浦城县期中）若正数a，b满足ab＝4a+b+t，t∈R．
（1）当t＝0时，求a+4b的最小值；
（2）当t＝5时，求ab的取值范围．
新课预习衔接 基本不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 襄城区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）
A．8 B． C．9 D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】由条件可得1，x+2y＝（x+2y）（）＝5，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1，
则x+2y＝（x+2y）（）＝55+25+4＝9，当且仅当x＝y＝3，取得最小值9．
故选：C．
【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查变形的技巧和运算能力，属于基础题．
2．（2024 唐县校级期末）若x＞1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】A
【分析】将原式构造成两正数2（x﹣1），和的形式，然后利用基本不等式求解．
【解答】解：因为x＞1，且．
当且仅当，即时取等号．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，注意构造法的应用．属于基础题．
3．（2024 雁峰区校级期末）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】利用基本（均值）不等式及“1”的活用，可得代数式的最小值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，可得b＝1﹣a，
∴8，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为8．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
4．（2024秋 江西月考）已知x，y为正实数，且x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】综合法；不等式；能力层次；数学运算．
【答案】C
【分析】化简为，然后利用基本不等式即可求出最小值
【解答】解：因为x+y＝1，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
5．（2024春 孝南区校级期末）若a＞b，且ab＝2，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】D
【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立．
【解答】解：因为ab＝2，
所以由题意
，
因为a＞b，所以a﹣b＞0，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024 随州模拟）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（　　）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．a2+b2有最小值
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】ACD
【分析】由a+b＝1，根据，逐一判断各选项即可．
【解答】解：正实数a，b满足a+b＝1，
对于A，即有a+b≥2，可得0＜ab，
即有4，即有a＝b时，取得最小值4，故A正确；
对于B，由0，可得有最大值，故B错误；
对于C，由，
可得a＝b时，取得最大值，故C正确；
对于D，由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，
则a2+b2，当a＝b时，a2+b2取得最小值，故D正确．
综上可得A，C，D均正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，属于基础题．
（多选）7．（2024 衡阳县校级模拟）已知正数x，y满足x+2y＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．xy的最大值为
B．x2+4y2的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】ABD
【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案．
【解答】解：对于A：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1．
∴，．
当且仅当，即，，取“＝”，∴A正确；
对于B：x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy＝1﹣4xy，∴B正确；
对于C：．
∴，∴C错误；
对于D：，
当且仅当，即时取“＝”，∴D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
（多选）8．（2024春 沙河口区校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）
A．ab的最小值是
B．2a2+b2的最小值是
C．的最大值是
D．的最小值是
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】BC
【分析】直接利用消参法和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：对于A，∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，
∴，即时，等号成立，即ab的最大值是，故A不正确；
对于B，∵a+b＝1，∴b＝1﹣a，，
即时，2a2+b2的最小值是，可得B正确；
对于C，∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，∴，即时，等号成立，可得C正确；
对于D，∵，即时，等号成立，即的最小值是，可得D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：消参法，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024 樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则的最小值为 　　．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由4x+7y＝2（x+3y）+（2x+y），结合基本不等式求解即可．
【解答】解：因为4x+7y＝4，
所以，
所以，
因为x，y为正实数，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10．（2024 宜宾三模）已知x＞1，求x的最小值是　5　．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值．
【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，
所以5，当且仅当x＝3时，等号成立．
故答案为：5
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题．
11．（2024 红谷滩区校级模拟）已知实数x、y满足x（x+y）＝2+2y2，则7x2﹣y2的最小值为 　　．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】依题意可得（x+2y）（x﹣y）＝2，令x+2y＝m，x﹣y＝n，则mn＝2，即可用含m、n的式子表示x、y，再代入7x2﹣y2，利用基本不等式计算可得．
【解答】解：因为实数x，y满足x（x+y）＝2+2y2，
化为（x+2y）（x﹣y）＝2，
令x+2y＝m，x﹣y＝n，则mn＝2．
联立可得，，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 环县校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b﹣ab＝0．
（1）求ab的最小值；
（2）求2a+3b的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）4；
（2）．
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可．
【解答】解：（1）因为a+b﹣ab＝0，所以，所以，
所以ab≥4，当且仅当，即a＝b＝2时等号成立，即ab的最小值为4；
（2），
当且仅当即，即时，等号成立，
所以2a+3b的最小值为．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
13．（2024 牡丹区校级月考）已知方程ax2﹣bx+3＝0的解为1，3．
（1）求实数a，b的值；
（2）若m＞0，n＞0，且am+bn＝3，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式；数学运算．
【答案】（1）a＝1，b＝4；
（2）3．
【分析】（1）根据韦达定理可求a，b；（2）利用“1”的代换结合基本不等式可求的的最小值．
【解答】解：（1）因为方程ax2﹣bx+3＝0的解为1，3，故，故a＝1，b＝4．
（2）由（1）可得m+4n＝3，
故，
当且仅当的时等号成立，
故的最小值为3．
【点评】本题考查了二次不等式与二次方程间的关系应用及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
14．（2024 福州期末）（1）已知x＞1，求的最小值；
（2）若a，b均为正实数，且满足a+2b＝1，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
（2）结合1的妙用，利用基本不等式求出最值．
【解答】解：（1）因为x＞1，所以x﹣1＞0，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8．
（2）因为a，b均为正实数，a+2b＝1，
所以a+1＞0，b＞0，（a+1）+2b＝2，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
15．（2024春 浦城县期中）若正数a，b满足ab＝4a+b+t，t∈R．
（1）当t＝0时，求a+4b的最小值；
（2）当t＝5时，求ab的取值范围．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】（1）25；
（2）[25，+∞）．
【分析】（1）由已知可得1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求；
（2）由已知，结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：（1）当t＝0时，4a+b＝ab，
所以1，
所以a+4b＝（a+4b）（）＝1725，
当且仅当且ab＝4a+b，即a＝b＝5时取等号；
（2）当t＝5时，ab＝4a+b+55，当且仅当b＝4a，即a，b＝10时取等号，
解得ab≥25，
故ab的取值范围为[25，+∞）．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
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