【新课预习衔接】3.2函数的基本性质（含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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新课预习衔接 函数的基本性质
一．选择题（共4小题）
1．（2024 银川模拟）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），f（1）＝2，则f（1）+f（2）+…+f（30）＝（　　）
A．2 B．0 C．60 D．62
2．（2024 雁塔区校级期末）若函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（﹣1）的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．1
3．（2024春 通化期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣3x2，则f（﹣1）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．（2024 静宁县校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝3x2﹣x+2a+1，若f（2）＝13，则a＝（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024 大通县期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，当1≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，则（　　）
A．f（x）的图象关于点（1，0）对称
B．f（3）＝1
C．当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1
D．f（x）在[0，+∞）上单调递减
（多选）6．（2024春 大连期末）在下列函数中，最小值是2的是（　　）
A． B．
C． D．y＝x2﹣4x+6
（多选）7．（2024 齐齐哈尔期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）＝﹣f（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为4
B．f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．f（x）的图象关于点（2，0）对称
D．f（x）在（﹣5，5）内至少有5个零点
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 沙坪坝区校级月考）max{x1，x2，x3}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是 　 　．
9．（2024 盐都区期末）已知关于x的一元二次不等式bx2﹣2x﹣a＞0的解集为{x|x≠c}（a，b，c∈R），则的最小值是 　 　．
10．（2024 淮南期末）已知函数f（x），且f（a）＝14，则f（﹣a）的值为 　 　．
11．（2024 道里区校级期末）函数f（x）＝ax3+bx﹣2，且f（1）＝﹣5，则f（﹣1）＝　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 川汇区校级期末）已知函数是定义在（﹣1，1）上的函数，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，且．
（1）确定函数f（x）的解析式，并用定义研究f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（2）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．
13．（2024春 渑池县校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，求m的取值范围．
14．（2024 咸阳期末）已知定义在R上的函数为偶函数，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）的单调性．
15．（2024春 邵阳期末）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．已知定义在[﹣2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝﹣x2+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”．
新课预习衔接 函数的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024 银川模拟）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），f（1）＝2，则f（1）+f（2）+…+f（30）＝（　　）
A．2 B．0 C．60 D．62
【考点】函数的奇偶性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】根据f（x）是R上的奇函数即可得出f（0）＝0，再根据f（2﹣x）＝f（x）即可得出f（x+4）＝f（x），从而得出f（x）的周期为4，再根据f（1）＝2即可求出f（2）＝f（4）＝0，f（3）＝﹣2，从而得出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，从而求出结论．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（x）；
∴f（﹣x）＝f（x+2）；
∴f（x+2）＝﹣f（x）；
∴f（x+4）＝f（x）；
∴f（x）的周期为4；
又f（0）＝0，f（1）＝2；
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝﹣f（2）＝0；
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0；
又30＝2+7×4；
f （1）+f （2）+f （3）+…+f （30）＝f（1）+f（2）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及周期函数的定义，属于基础题．
2．（2024 雁塔区校级期末）若函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（﹣1）的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．1
【考点】函数的奇偶性；函数的值．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性，代值即可．
【解答】解：∵函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2）＝1，
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
3．（2024春 通化期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣3x2，则f（﹣1）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】函数的奇偶性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，结合奇偶性可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x3﹣3x2，则f（1）＝1﹣3＝﹣2，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
4．（2024 静宁县校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝3x2﹣x+2a+1，若f（2）＝13，则a＝（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【考点】函数的奇偶性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由偶函数的性质得f（﹣2）＝13列式求解．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以f（﹣2）＝f（2）＝3×22+2+2a+1＝13，解得a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024 大通县期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，当1≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，则（　　）
A．f（x）的图象关于点（1，0）对称
B．f（3）＝1
C．当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1
D．f（x）在[0，+∞）上单调递减
【考点】函数的奇偶性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【答案】AC
【分析】对于A，由题意可得f（1+x）＝﹣f（1﹣x），即可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，即可判断；
对于B，在f（x）+f（2﹣x）＝0中，令x＝3，即可求出f（3）的值，即可判断；
对于C，根据函数在[1，2]上的解析式及函数的奇偶性，求出函数在[﹣2，2]上的解析式即可判断；
对于D，由f（3）＝f（1）＝0，即可判断．
【解答】解：对于A，因为f（x）+f（2﹣x）＝0，所以f（x）＝﹣f（2﹣x），即f（1+x）＝﹣f（1﹣x），所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，A正确；
对于B，在f（x）+f（2﹣x）＝0中，令x＝3，得f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，B错误；
对于C，当0≤x≤1时，1≤2﹣x≤2，所以f（2﹣x）＝﹣（2﹣x）+1＝x﹣1，又f（x）+f（2﹣x）＝0，
所以f（x）＝﹣f（2﹣x）＝﹣x+1，
即当0≤x≤2时，f（x）＝﹣x+1，
而f（x）为偶函数，所以当﹣2≤x≤0时，f（x）＝x+1，
综上可知，当﹣2≤x≤2时，f（x）＝﹣|x|+1，C正确；
对于D，由B的解析可知f（3）＝f（1）＝0，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了偶函数的性质、对称性及用赋值法求函数值，属于中档题．
（多选）6．（2024春 大连期末）在下列函数中，最小值是2的是（　　）
A． B．
C． D．y＝x2﹣4x+6
【考点】函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式、单调性和二次函数的性质即可求解．
【解答】解：对于选项A，当x＜0时，，当且仅当，即x＝﹣1时，等号成立，
此时的最大值为﹣2，故A错误；
对于选项B，的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由，
得，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为2，故B正确；
对于选项C，由y1＝x﹣2在上单调递增，得在上单调递减，
当时，取得最小值为，故C正确；
对于选项D，y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，由二次函数的性质知，y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，开口向上，
y＝x2﹣4x+6在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
当x＝2时，y＝x2﹣4x+6取得最小值为（2﹣2）2+2＝2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）7．（2024 齐齐哈尔期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）＝﹣f（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为4
B．f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．f（x）的图象关于点（2，0）对称
D．f（x）在（﹣5，5）内至少有5个零点
【考点】函数的奇偶性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性，对称性和周期性，结合正弦函数的周期性求解．
【解答】解：对于A，因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期为4，
但f（x）的最小正周期不一定为4，
如，满足f（x）为奇函数，
且，
而的最小正周期为，故A错误；
对于B，因为f（x）为奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），
所以f（x+2）＝f（﹣x），即f（x）的图象关于直线x＝1对称，故B正确；
对于C，由f（x+4）＝f（x），及f（x）为奇函数可知f（x+4）+f（﹣x）＝0，
即f（x）的图象关于点（2，0）对称，故C正确；
对于D，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
又f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝f（x），所以f（2）＝﹣f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，
故f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，f（﹣4）＝﹣f（4）＝0，
所以在（﹣5，5）内f（x）至少有﹣4，﹣2，0，2，4这5个零点，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 沙坪坝区校级月考）max{x1，x2，x3}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是 　2　．
【考点】函数的最值；基本不等式及其应用．
【专题】新定义；对应思想；综合法；不等式；直观想象；数学运算．
【答案】2．
【分析】设，因x＞0，y＞0，可得，借助于基本不等式可得N3≥8，验证等号成立的条件，即得Nmin．
【解答】解：设，则x≤N，2y≤N，，
因x＞0，y＞0，则得．
又因2xy （2）＝2xy 8，
所以N3≥8，
当且仅当，
即x＝2，y＝1时等号成立，故的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题属于新概念题，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
9．（2024 盐都区期末）已知关于x的一元二次不等式bx2﹣2x﹣a＞0的解集为{x|x≠c}（a，b，c∈R），则的最小值是 　　．
【考点】函数的最值；一元二次不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式；逻辑推理．
【答案】．
【分析】先利用一元二次不等式的解法得到以b＞0，c，Δ＝4+4ab＝0，从而得到a，b，c之间的关系，然后将所求解的式子统一转化为b表示，将式子进行化简变形，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：因为关于x的一元二次不等式bx2﹣2x﹣a＞0的解集为{x|x≠c}，
所以b＞0，c，Δ＝4+4ab＝0，
故ab＝﹣1，则0，
所以a＝﹣c，
因为b＞0，
故，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了最值的求解，涉及了一元二次不等式的解法、基本不等式求最值的应用，解题的关键是将所求式子转化为只有一个变量，属于中档题．
10．（2024 淮南期末）已知函数f（x），且f（a）＝14，则f（﹣a）的值为 　﹣10　．
【考点】函数的奇偶性；函数的值．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】﹣10．
【分析】根据题意，求出函数f（﹣x）的表达式，分析可得f（x）+f（﹣x）＝4，由f（a）的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）2，
则有f（﹣x）2，
则f（x）+f（﹣x）＝4，
若f（a）＝14，则f（﹣a）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题，
11．（2024 道里区校级期末）函数f（x）＝ax3+bx﹣2，且f（1）＝﹣5，则f（﹣1）＝　1　．
【考点】函数的奇偶性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】1．
【分析】根据f（1）＝﹣5，求得a+b＝﹣3，由此能求出f（﹣1）．
【解答】解：由f（x）＝ax3+bx﹣2，且f（1）＝﹣5，
即f（1）＝a+b﹣2＝﹣5，即a+b＝﹣3，则﹣a﹣b＝3，
则f（﹣1）＝﹣a﹣b﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024 川汇区校级期末）已知函数是定义在（﹣1，1）上的函数，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，且．
（1）确定函数f（x）的解析式，并用定义研究f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（2）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1），函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，证明过程见解析；
（2）．
【分析】（1）利用f（﹣x）＝﹣f（x），可求a，b，得到函数f（x）的解析式，再利用函数的单调性证明即可；
（2）利用函数f（x）的单调性求解．
【解答】解：（1）由题意可知，即，
解得，
所以，经检验满足奇函数，
设﹣1＜x1＜x2＜1，
则，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴﹣1＜x1x2＜1，且x1﹣x2＜0，则1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（2）∵f（x﹣1）+f（x）＜0，∴f（x﹣1）＜﹣f（x）＝f（﹣x），
又∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，
∴，解得，
∴解集为．
【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，考查了函数单调性的定义，属于基础题．
13．（2024春 渑池县校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，求m的取值范围．
【考点】函数的奇偶性；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出x＜0时，f（x）的解析式即可；
（2）问题转化为直线y＝﹣m与f（x）的图象有三个交点，作出f（x）的图象，数形结合即可求出m的范围．
【解答】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x，
令x＜0，则﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），
所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，
所以f（x）．
（2）令g（x）＝f（x）+m＝0，则﹣m＝f（x），
作出函数f（x）的图象，如图所示：
根据图象，要保证函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，
则直线y＝﹣m与f（x）的图象有三个交点，
则﹣1＜﹣m＜1，即实数m的取值范围是（﹣1，1）．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，函数奇偶性的性质，数形结合思想的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2024 咸阳期末）已知定义在R上的函数为偶函数，且f（0）＝1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）的单调性．
【考点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用偶函数的定义和f（0）＝1即可求解；
（2）根据题意，利用作差法，整理变形即可证明．
【解答】解：（1）由题意，定义在R上的函数为偶函数，
则f（﹣x）＝f（x），则有，
即﹣ax+b＝ax+b，必有a＝0，
又由f（0）＝1，即b1，
故．
（2）f（x）在[0，+∞）单调递减，证明如下
设 0≤x1＜x2，，
∵0≤x1＜x2，∴x2+x1＞0，x2﹣x1＞0，，，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在[0，+∞）单调递减．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
15．（2024春 邵阳期末）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．已知定义在[﹣2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝﹣x2+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”．
【考点】函数的奇偶性；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）；
（2）；
（3）和．
【分析】（1）设x∈[﹣2，0），利用奇函数的定义可求得函数g（x）在[﹣2，0）上的解析式，由此可得出函数g（x）在[﹣2，2]上的解析式；
（2）设1≤a＜b≤2，分析函数g（x）在[1，2]上的单调性，可出关于a、b的方程组，解之即可；
（3）分析可知，只需讨论0＜a＜b≤2或﹣2≤a＜b＜0，分析二次函数g（x）的单调性，根据题中定义可得出关于实数a、b的等式组，求出a、b的值，即可得出结果．
【解答】（1）解：当x∈[﹣2，0）时，则﹣x∈（0，2]，
由奇函数的定义可得g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]＝x2+2x，
所以，．
（2）解：设1≤a＜b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上递减，且g（x）在[a，b]上的值域为，
所以，，解得，
所以，函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为．
（3）解：∵g（x）在[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为，
其中a≠b且a≠0，b≠0，所以，，则，
只考虑0＜a＜b≤2或﹣2≤a＜b＜0，
①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则，所以，1≤a＜2，所以，1≤a＜b≤2，
由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为；
②当﹣2≤a＜b＜0时，g（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，0]上单调递增，
故当x∈[﹣2，0]时，g（x）min＝g（﹣1）＝﹣1，所以，，所以，﹣2＜b≤﹣1．∴﹣2≤a＜b≤﹣1，
因为g（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，则，解得，
所以，g（x）在[﹣2，﹣1]内的“倒域区间”为．
综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为和．
【点评】本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解，属于中档题．
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