【新课预习衔接】3.3幂函数（含解析）2025-2026学年高一上学期数学必修第一册人教A版（2019）

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新课预习衔接 幂函数
一．选择题（共5小题）
1．（2024 七里河区校级期末）若是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
2．（2024 澄海区期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2） xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．﹣1或3 C．3 D．2
3．（2024春 琼海校级月考）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（　　）
A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
4．（2024 商丘期末）已知幂函数f（x）的图像过点，则（　　）
A．f（x）为减函数 B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为奇函数 D．f（x）的定义域为R
5．（2024 莆田期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（　　）
A．﹣5 B．2 C．1 D．﹣5或1
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 盐都区校级期末）已知幂函数f（x）＝xa图像经过点（3，），则下列命题正确的有（　　）
A．函数f（x）为增函数
B．函数f（x）为偶函数
C．若x＞1，则f（x）＞1
D．若0＜x1＜x2，则f（）
（多选）7．（2024 静宁县校级期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（8，），则下列说法正确的是（　　）
A．α
B．f（x）是奇函数
C．f（x）是偶函数
D．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
三．填空题（共3小题）
8．（2024 川汇区校级期末）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为　 　．
9．（2024 贵阳期末）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　 　．
10．（2024 崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝　 　．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 滕州市期末）已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求出函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断y＝f（x）在[0，+∞）上的单调性并用定义法证明．
12．（2024 静宁县校级期末）已知函数是幂函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求实数m的值；
（2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a的取值范围．
13．（2024春 孝南区校级期末）已知幂函数f（x）＝（3a2+2a﹣7）xa（a∈R）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明．
14．（2024 绿园区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值，并写出f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）+a＞（a+1）x，其中a∈R．
15．（2024 博爱县校级期末）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．
（1）求m的值；
（2）记集合A＝{y|y＝f（x），x∈[1，2]}，集合B＝{y|y＝g（x），x∈[1，2]}，若A∩B＝B，求实数k的取值范围．
新课预习衔接 幂函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024 七里河区校级期末）若是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由题意，根据幂函数的性质即可求解．
【解答】解：因为是幂函数，
则m2﹣2m﹣2＝1，则m＝﹣1或m＝3，
当m＝﹣1，y＝x0＝1，不符合题意，
当m＝3，f（x）＝x12，则f（x）在区间（0，+∞）上是单调递增函数，符合题意，
则m＝3满足题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
2．（2024 澄海区期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2） xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．﹣1或3 C．3 D．2
【考点】由幂函数的解析式求解参数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案．
【解答】解：由题意知：m2﹣2m﹣2＝1，即（m+1）（m﹣3）＝0，解得m＝﹣1或m＝3，
∴当m＝﹣1时，m﹣2＝﹣3，则f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，不合题意；
当m＝3时，m﹣2＝1，则f（x）＝x在（0，+∞）上单调递增，符合题意，
∴m＝3，
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
3．（2024春 琼海校级月考）幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（　　）
A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线x＝1右侧）比较从而得出结论．
【解答】解：在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，
所以幂函数y＝x2在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为C4，
在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为C3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂函数的图象和性质，属于基础题．
4．（2024 商丘期末）已知幂函数f（x）的图像过点，则（　　）
A．f（x）为减函数 B．f（x）的值域为（0，+∞）
C．f（x）为奇函数 D．f（x）的定义域为R
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可．
【解答】解：设f（x）＝xα，将代入，得，解得α＝﹣2，
故f（x）＝x﹣2，易知f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，且值域为（0，+∞），故A选项错误，B选项正确；
f（x）＝x﹣2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝（﹣x）﹣2＝x﹣2＝f（x），为偶函数，C，D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂函数解析式的求解及幂函数性质的应用，属于基础题．
5．（2024 莆田期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则n的值为（　　）
A．﹣5 B．2 C．1 D．﹣5或1
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念得n2+4n﹣4＝1即n＝﹣5或n＝1，再根据性质可得n＝1时符合题意．
【解答】解：因为为幂函数，
所以n2+4n﹣4＝1，得n＝﹣5或n＝1，
当n＝﹣5时，f（x）＝x40为偶函数关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递增，不满足题意；
当n＝1时，f（x）＝x﹣2，偶函数关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，满足题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2024 盐都区校级期末）已知幂函数f（x）＝xa图像经过点（3，），则下列命题正确的有（　　）
A．函数f（x）为增函数
B．函数f（x）为偶函数
C．若x＞1，则f（x）＞1
D．若0＜x1＜x2，则f（）
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】BD
【分析】由已知求出幂函数的解析式，即可判断出函数的单调性以及奇偶性，由此即可判断选项A，B，C，画出图象，进而判断出D的正误．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xa图像经过点（3，），
∴3a，解得a＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数，
x＜1时，f（x）＜f（1）＝1．
可知：A不正确，B正确，C不正确．
画出图象，可知：0＜x1＜x2，则f（），因此D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）7．（2024 静宁县校级期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（8，），则下列说法正确的是（　　）
A．α
B．f（x）是奇函数
C．f（x）是偶函数
D．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增
【考点】求解幂函数的奇偶性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】ACD
【分析】把点（8，）代入f（x）解析式，求出α的值，进而得到f（x）的解析式，再根据幂函数的性质判断各个选项即可．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（8，），
∴，
解得α，故A正确，
f（x），定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f（﹣x）f（x），
∴f（x）为偶函数，故B错误，C正确，
∵0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
8．（2024 川汇区校级期末）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是减函数，则n的值为　1　．
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】1．
【分析】根据幂函数的定义和性质，列方程和不等式求出n的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）x（n∈Z）中，
令n2+2n﹣2＝1，
解得n＝﹣3或n＝1；
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以n2﹣3n＜0，
解得0＜n＜3；
所以n的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
9．（2024 贵阳期末）幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为 　3　．
【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】3．
【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于m的等式与不等式，即可解得实数m的值．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在区间（0，+∞）上单调递增，
则，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
10．（2024 崇明区二模）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则f（3）＝　9　．
【考点】幂函数的概念．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设出幂函数y＝f（x）的解析式，根据其图象经过点（2，4），求函数的解析式，再计算f（3）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα（α∈R），
其图象经过点（2，4），
∴2α＝4，
解得α＝2，
∴f（x）＝x2；
∴f（3）＝32＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
四．解答题（共5小题）
11．（2024 滕州市期末）已知幂函数y＝f（x）的图象过点．
（1）求出函数y＝f（x）的解析式；
（2）判断y＝f（x）在[0，+∞）上的单调性并用定义法证明．
【考点】幂函数的概念．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【答案】（1）f（x）．
（2）f（x）在[0，+∞）上单调递增；证明过程见详解．
【分析】（1）代入点，求解即可．
（2）判断f（x）在[0，+∞）上单调递增；根据定义法证明即可．
【解答】解：（1）因为y＝f（x）是幂函数，所以设f（x）＝xα．
代入点，得到2α，解得．
故解析式为f（x）．
（2）f（x）在[0，+∞）上单调递增．
证明：令x1＞x2≥0，
则f（x1）﹣f（x2），因为x1＞x2≥0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0．
故f（x）在[0，+∞）上单调递增．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
12．（2024 静宁县校级期末）已知函数是幂函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求实数m的值；
（2）若f（2a+1）＜f（3﹣4a），求实数a的取值范围．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（1）m＝1；
（2）．
【分析】（1）由已知f（3）＜f（5）及幂函数的定义即可求m；
（2）结合幂函数的单调性即可求解不等式．
【解答】解：（1）因为是幂函数，
所以4m2﹣3m＝1，
解得m＝1或，
当时，，此时f（3）＞f（5），不符合题意；
当m＝1时，，此时f（3）＜f（5），符合题意．
综上，m＝1；
（2）因为，所以f（x）的定义域为[0，+∞），且在[0，+∞）上单调递增，
所以f（2a+1）＜f（3﹣4a），即0≤2a+1＜3﹣4a，
解得，即实数a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于基础题．
13．（2024春 孝南区校级期末）已知幂函数f（x）＝（3a2+2a﹣7）xa（a∈R）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【分析】（1）由幂函数的概念可得3a2+2a﹣7＝1，再结合幂函数在（0，+∞）单调递增可确定a的值，则解析式可求；
（2）首先判断定义域是否关于原点对称，再看f（﹣x）与f（x）的关系即可判断．
【解答】解：（1）由幂函数的概念可知3a2+2a﹣7＝1，解得a＝﹣2或，
又因为幂函数在（0，+∞）单调递增，故，即；
（2）f（x）为偶函数，
证明：定义域为R，，
故为偶函数．
【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2024 绿园区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值，并写出f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）+a＞（a+1）x，其中a∈R．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】（1）m＝3，f（x）＝x2；
（2）答案见解析．
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；
（2）由（1）可得原不等式变形为（x﹣1）（x﹣a）＞0，分类讨论含参一元二次不等式即可求解．
【解答】解：（1）因为f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则，解得m＝3，所以f（x）＝x2；
（2）不等式x2﹣（a+1）x+a＞0，即（x﹣1）（x﹣a）＞0
当a＝1，x≠1，不等式解集为{x|x≠1}，
当a＞1，x＜1或x＞a，即不等式解集为x∈（﹣∞，1）∪（a，+∞），
当a＜1，x＜a或x＞1，即不等式解集为x∈（﹣∞，a）∪（1，+∞）．
所以，当a＝1，不等式解集为{x|x≠1}，
当a＞1，不等式解集为x∈（﹣∞，1）∪（a，+∞），
当a＜1，不等式解集为x∈（﹣∞，a）∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，一元二次不等式的解法，属于中档题．
15．（2024 博爱县校级期末）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．
（1）求m的值；
（2）记集合A＝{y|y＝f（x），x∈[1，2]}，集合B＝{y|y＝g（x），x∈[1，2]}，若A∩B＝B，求实数k的取值范围．
【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】（1）m＝0；（2）[0，1]．
【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，求m的值；
（2）由函数的单调性，求f（x）和g（x）在区间内的值域，由集合的包含关系，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）为幂函数且在（0，+∞）上单调递增，
∴解得m＝0；
（2）由（1）知，f（x）＝x2，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，4]，即A＝[1，4]，
g（x）＝2x﹣k在R上单调递增，
当x∈[1，2]时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k]，即B＝[2﹣k，4﹣k]，
∵A∩B＝B，∴B A，
∴解得0≤k≤1，即实数k的取值范围为[0，1]．
【点评】本题考查了幂函数的定义及单调性，交集和子集的定义，是基础题．
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